第二章靜電場-1

1、第二章 靜電場2.1 2.1 電荷與電荷密度電荷與電荷密度 一、電荷一、電荷1. 帶電體與電荷 帶電體的特性：能夠吸引輕小物體 2. 電荷分類 正電荷、負電荷 3. 電量 帶電體所帶電荷的多少叫電量，在國際單位制（SI單位制）中，電量的單位是庫侖（C） 4. 電荷的基本性質(zhì) 1）分布的離散性 2）量子性 e1.60210-19C 3）守恒性 電荷守恒定律電荷守恒定律 4）相對論不變性 M(x,y,z) M(x,y,z) M(x,y,z) S S l l q q q 圖21 體電荷、面電荷、線電荷的概念 (a) (b) (c) 1. 體密度2. 面密度3. 線密度0,limssqx y zs 0

2、,limllqx y zl 0,limqx y z 4. 點電荷)()(rrQrQdrrQdr)()(二、電荷密度二、電荷密度2.2 2.2 庫侖定律庫侖定律 文字表述文字表述在真空中，兩個靜止點電荷之間的作用力，與這兩個電荷的電量乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比，作用力的方向在兩個電荷的連線上，兩電荷同號為斥力，異號為吸力。 數(shù)學表達式數(shù)學表達式 1）來自實驗定律的表達式 x y z 真空中的兩個點電荷 1r2rO12F21F1Q2QRRRQQkRRQQkF22312121/CNm10910988. 82299kRR/RR R一、庫侖定律一、庫侖定律2 2）電磁學通用表達式）電磁學通用

3、表達式通常將系數(shù) 記為其中稱為真空電容率或真空介電常數(shù) 于是120918.8538 10/3610F mk014k1121232200Q QRQ QRF4R4R3 3）庫侖定律符合牛頓第三定律）庫侖定律符合牛頓第三定律 二、靜電力的疊加原理二、靜電力的疊加原理 311NNijijiijjj0ijj ij iQ QRFF4R數(shù)學表達式例題例題2.12.1解：利用疊加原理 三個點電荷的力 x y z 3(1,0,1)P6110Q1(1,1,0)P634 10Q 628 10Q 2(0,1,1)P1F12F13F1212Rrrxz12121230122143.6 10()2QQFRRxzN 1313

4、Rrryz2131312301311.8 10()42QQFRyzNR 211213103.61.81.82FFFxyzN y2.3 2.3 電場和電場強度電場和電場強度 2. 2. 電場力的本質(zhì)電場力的本質(zhì)一個電荷的電場作用在另一個電荷上的力。一、電場一、電場1. 1. 法拉第的場的觀點法拉第的場的觀點 3. 3. 電場的物質(zhì)性電場的物質(zhì)性1）電場是伴隨著電荷而生的一種特殊物質(zhì)。 2）電場沒有可見的形態(tài)，但其具有可以被檢測的運動速度、能量和動量，占有空間。 3）場和實物是物質(zhì)存在的兩種不同形式。 電荷在其周圍空間產(chǎn)生電場這種物質(zhì)，當其它帶電體的電荷處于這個電場之中時，就會與該電場作用而受力。

5、Q2 Q 3 Q 4 Q n Q F2F3F4FnF二、電場強度二、電場強度1. 1. 電場強度的引入電場強度的引入Q2 Q3 Q4 Qn QF2F3F4FnFA點：(/)AFQ表明：表明： 是一個大小和方向都確定的值，與試驗電荷本身電量的大小和符號無關。B點： 比值 是另外的一個確定值(/)BFQ 可見， 是一個反映電場空間各點性質(zhì)的物理量，我們將其記作 ，稱為電場強度電場強度。/FQE0limQFEQ 單位：牛頓/庫侖(N/C) 伏特/米(V/m) 物理意義： 電場強度是一個矢量函數(shù)，它逐點描述了電場空間的性質(zhì)。FQE用電場強度表示電場力：定義式2. 2. 點電荷的電場點電荷的電場3200

6、44QRQRERR304Q QRFR試驗電荷 在場源點電荷Q的電場中所受的庫侖力為Q于是，點電荷電場強度表示為3101( , , )4NiiiiRE x y zQR3. 3. 電場的疊加原理電場的疊加原理iR其中 代表自Qi 到P (x, y, z)點的相對位置矢量 1）離散電荷系統(tǒng) 如果真空中有N個點電荷Q1、Q2、QN，則任意場點P (x, y, z) 處的總電場強度等于各個點電荷單獨產(chǎn)生的電場強度的矢量和2）連續(xù)電荷系統(tǒng)體電荷體電荷的電場 , ,P x y zq,M x y z330011( )( ) 44RRdE rqrdRR 微元電荷總場強301( )( )( )4RE rdE rr

7、 dR SSqq, ,P x y z, ,P x y z,M x y z,M x y zll面電荷、線電荷的電場面電荷301( )( )4sSRE rr dSR( )sdqr dS線電荷301( )( )4llRE rr dlR( )ldqr dl22 1/2Rrx求：圓面電荷軸線上的電場r x x P a dr RdEdrdEdE204sdrrdrddERRdrExdE2200cos4srdrdxR22 3/202sxrdrxrx22 1/2012()sxxax22 3/2002asxrdrExrx4. 4. 例題例題2.32.3面積微元的電場其中圓環(huán)的電場圓面的電場解：22 1/2/0 l

8、im12()sa xxExax221/2/001lim12(1)2ssaa xxx x02sEn 討論：1） x a 的情況 這與點電荷場強公式一致?？梢?，只要a / x足夠小，就可以把帶電圓面視為點電荷。 這個結論表明，帶電體能否被看作點電荷，不在于其本身絕對尺寸的大小，而在于其線度與它到場點的距離相比是否足夠小。22011122 ()saxx2.4 2.4 電力線與電通量電力線與電通量 一一. .電力線電力線 1定義：定義： 電力線是充滿電場空間的一個假想曲線族，曲線上每一點的切線方向與該點電場強度的方向平行，曲線的疏密與場強的大小成正比。 333222111EduhEduhEduh3性質(zhì)

9、：性質(zhì)： 電力線發(fā)自正電荷（或無窮遠），止于負電荷（或無窮遠），不形成閉合回線，在無電荷處不中斷。 任何兩條電力線不會相交。這說明靜電場中每一點的場強只有一個方向。2.微分方程微分方程 電力線實質(zhì)上就是矢量分析中所介紹的矢量線，其微分方程為 a. 正點電荷 圖29 幾種常見電場系統(tǒng)的電力線圖 b. 負點電荷 d. 異號面電荷 c. 兩個正電荷 4幾種常見電荷系統(tǒng)的電力線幾種常見電荷系統(tǒng)的電力線 二二. 電通量電通量 1電通量密度電通量密度單位：庫侖/米2(C/m2)，與電荷面密度的單位相同。0DE方向：在真空中， 與 方向處處相同，模值相差0。DE定義： 稱為（真空）電通量密度(也稱作電位移矢

10、量)D2電通量電通量定義：電場中任意點處矢量面元與該點電通量密度矢量的點積，叫作此面元所通過的電通量，記作其中為面元法線與矢量的夾角單位：電通量是標量，單位是庫侖（C），與電荷單位相同。cosdD dSDdS 如果S為一閉合曲面，則S上通過的電通量可以寫成cosssD dSDdS 討論：/2（即 與 指向曲面的兩側）時， 為負， ddDDn n D n D s ds 圖210 通量的符號 M n s ds M (a) (b) 由于閉合曲面一般都規(guī)定其面元法線指向外，因此，若 0 稱有電通量“流出”閉合面； a的區(qū)域內(nèi)在r a 時取“”，r a 時 r a 時 利用電位定義式求U討論：討論：當電

11、荷以面密度分布時，電荷面兩側的電場強度是不相等的，而兩側的電位卻是連續(xù)的，這一結論對于面電荷兩側的電場和電位具有普遍意義。24aQs 21rE rU1 r a o o EU, a R zd ),(zrP 2L 2L z r z o (a) 求: (a) 此線電荷產(chǎn)生的任意點電位。 (b) 當L時，任意點的電位和電場強度。例例2.10 真空中長度為L的線電荷與z 軸重合且電荷沿線均勻分布，電荷密度為 l解: (a) 設線電荷L的中點為原點，L 所在直線為z軸建立柱坐標系 利用疊加原理2/2/2202/2/2/2/2200| ) () (ln4) ( 4 4LLlLLLLllzzrzzzzrzdR

12、zdU22220)()()()(2222ln4zLrzLzLrzLl 電荷元ldqdz22220222222222201122limln4112211112222limln4/()()()()()() ()() lLlLzrzLLLUzrzLLLzrzzrzLLLLLLrLrLlLln2lim0(b)當L時 這表明，當場源電荷延伸至無限時，直接應用無限遠參考點的電位積分式將出現(xiàn)電位發(fā)散的結果。 改進：將參考點選在有限遠的某一點上。 0z 0 P 0r r z y z P P 0P (b) o (b) 解法解法1 利用電位定義求解利用高斯定律利用電位定義式無限長線電荷的電場 rrEl02選取有限

13、遠點 為參考點),(0000zrP02PPPPUE dlE dlCrrrlll1ln2ln21ln20000積分路徑0PPPPPPdlr0PPdlPPdlz只有 段 ，所以PP0E dl (b) 解法解法2 利用有限長度線電荷的結果求解U選取有限遠點 為參考點),(0000zrP00000000ln21ln2ln2limln2limln2lim00rrrrrLrLUUUUlllLlLlLPPPP利用電位定義式，可求得電場強度rrrrrrrrrUElll000021ln2ln1ln2)()(當r = r0時，上式等于零，可見這里 是電位參考點。 ),(0000zrP2.8 2.8 電位的泊松方程

14、和拉普拉斯方程電位的泊松方程和拉普拉斯方程1、靜電場的微分方程、靜電場的微分方程泊松（Poison）方程拉普拉斯（Laplace）方程在= 0 的無電荷區(qū)域內(nèi)，Poison方程變?yōu)長aplace方程02 UUE根據(jù)電位定義式)(0E高斯定律02 U得到泊松方程2、例題、例題2.11解：在所求區(qū)域內(nèi)，電位函數(shù)滿足Poison方程 0022dxUd對 x 兩次積分，得 212002CxCxU代入邊界條件00,0VUUaxx 兩個無限大平面 x = 0 和 x = a 之間均勻填充體密度為 的電荷，已知 ，求兩平面間任意點的電位和電場。 000,0VUUaxx0,220001CaVaC求得待定常數(shù)

15、xaVaxU)(00020022所以，電位分布 )(000002aVaxxdxdUxUE電場強度 2.9 2.9 電偶極子電偶極子 一對等值異號點電荷相距一微小距離所構成的電荷系統(tǒng) 。1、定義、定義2、電偶極子的（遠區(qū)）電位、電偶極子的（遠區(qū)）電位 1R 2R 圖222 電偶極子的電位 -Q Q y r o x z ),(rP 012114()QURR2/1221cos)2/(l rlrR1/2111(1cos )lRrr111(1cos )2lRrr應用疊加原理展開204cosrlQU211(1cos )2lRrr同理因此3、電偶極矩、電偶極矩引入一個矢量，模值為p = Ql，方向由Q指向Q

16、 lQl lQl pp302044cosrrprpU)sincos2 (4130)(rrpUrrUrUE電偶極子的遠區(qū)電場強度 電偶極子的遠區(qū)電位 電偶極子的遠區(qū)電位和電場分別與 r2 和 r3 成反比。因此，其位和場隨距離 r 的下降速度比單個點電荷更為迅速，這是由于兩個點電荷Q 和Q 的作用在遠區(qū)相互抵消的緣故。 圖223 偶極子的電場和電位 cos12Cr 22sinCr 4、等電位面和電力線、等電位面和電力線等電位面電力線CrpU204cos210coscos4prCC233222111FduhFduhFduhEdrEdrrsincos2drdr22sinCr令則球坐標系中代入電場分量表達式所以，電力線方程為350)(341RpRRRpE5、不依賴坐標系的電位和電場強度表達式、不依賴坐標系的電位和電場強度表達式304RRpUR是電偶極子中心指向場點P 的相對位置矢量 6、均勻外場中的電偶極子、均勻外場中的電偶極子電位電場強度o +Q-Q F Fo r rlE r rEQFEQFEplQElFTsinsin2sin2EpT電偶極子中心所受的合力為零而所受力矩矢量形式：轉動趨勢是力圖使偶極矩與外場方向一致 例2.12 在均勻外電場中，放置一個中心在坐標原點的電偶極子，試求零電位面的曲面方程和此面上的電場強度。 Ep