第6章振動與波

1、 振動與波（振動與波（Oscillation and Wave）六、六、 振動振動Oscillation前言：前言：振動和波是物理中的重要領域。振動和波是物理中的重要領域。1 1）大量存在）大量存在。（一般講，小物體作急速振動；（一般講，小物體作急速振動； 大物體振動較慢。）大物體振動較慢。）2 2）是宇宙兩大運動之一）是宇宙兩大運動之一無無“序序”運動；運動；分子熱運動、銀河星系的運動；分子熱運動、銀河星系的運動；有序運動；有序運動；有規(guī)序的運動。其中一類就是周期有規(guī)序的運動。其中一類就是周期運動，振動就是一種周期運動。運動，振動就是一種周期運動。周期運動特點：有周期和平衡位置。運動系統(tǒng)經(jīng)過

2、一周周期運動特點：有周期和平衡位置。運動系統(tǒng)經(jīng)過一周期時間以后又回到原來的狀態(tài)；物體運動總是在一個特期時間以后又回到原來的狀態(tài)；物體運動總是在一個特定位置附近往復進行。定位置附近往復進行。彈簧振子彈簧振子振動振動-描寫某一系統(tǒng)狀態(tài)的物理量在一定范圍描寫某一系統(tǒng)狀態(tài)的物理量在一定范圍 內(nèi)作周期性變化，則這系統(tǒng)的運動稱為振動。內(nèi)作周期性變化，則這系統(tǒng)的運動稱為振動。X（一）、簡諧振動（一）、簡諧振動（Simple harmonic motion） 簡諧振動：簡諧振動：我們所要研究的我們所要研究的x-t曲線，即位移時間曲線曲線，即位移時間曲線 是純余弦曲線的振動，即余弦式振動。是純余弦曲線的振動，即

3、余弦式振動。1、簡諧振動的特點：、簡諧振動的特點： （以彈簧振子為例）（以彈簧振子為例）（1）、彈簧振子的振動：）、彈簧振子的振動：xt振子在彈性力和慣性兩因素相互作用振子在彈性力和慣性兩因素相互作用下在平衡位置附近往復運動。下在平衡位置附近往復運動。（2）、簡諧振動運動微分方程：）、簡諧振動運動微分方程：設振子設振子m在某一位置在某一位置x,由胡克定律和牛頓第二定律有：由胡克定律和牛頓第二定律有：22fkxd xfmdt 22d xkxdtm 20km令2220d xxdt解此微分方程：解此微分方程：cos()xAtA：振幅；：振幅；：初相位。：初相位。（由初始條件決定（由初始條件決定的待定

4、常數(shù)。）的待定常數(shù)。）（3）、簡諧振動的特點：）、簡諧振動的特點：運動學特征：運動學特征：222d xaxdt a與與x恒成正比且反向恒成正比且反向cos()xAtx是是t的余弦函數(shù)的余弦函數(shù)動力學特征：動力學特征：fkx 合外 要證明一個運動是簡諧振動，可以從是否滿足下面要證明一個運動是簡諧振動，可以從是否滿足下面三個方程之一為依據(jù)。三個方程之一為依據(jù)。fkx cosxAt2220d xxdtcos()xAtsin()sin()mdxvAtdtVt 2cos()cos()mdvaAtdtat 2、簡諧振動中的位移、速度和加速度、簡諧振動中的位移、速度和加速度（1）、）、A-振幅振幅mV-速度

5、振幅速度振幅ma-加速度振幅加速度振幅tx（2）、）、x-t曲線、曲線、v-t曲線和曲線和a-t曲線：曲線：vtattxav3、簡諧振動的周期、頻率和圓頻率：、簡諧振動的周期、頻率和圓頻率：作簡諧振動的物體，其運動狀態(tài)每經(jīng)過一個相同的時間作簡諧振動的物體，其運動狀態(tài)每經(jīng)過一個相同的時間T就重復一次，時間就重復一次，時間T就稱為振動的就稱為振動的周期周期。振動學中把振動學中把1秒內(nèi)物體完成振動的次數(shù)稱為秒內(nèi)物體完成振動的次數(shù)稱為頻率頻率。1T把把 秒內(nèi)物體完成振動的次數(shù)稱為秒內(nèi)物體完成振動的次數(shù)稱為圓頻率圓頻率。22T2cos ()cos(2 )2tTtT一個振動系統(tǒng)的周期、頻率或圓頻率決定于什

6、么因素？一個振動系統(tǒng)的周期、頻率或圓頻率決定于什么因素？彈簧振子：彈簧振子：2kmmTkk為彈簧的倔強系數(shù)為彈簧的倔強系數(shù)m為質(zhì)點質(zhì)量為質(zhì)點質(zhì)量由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，稱固有圓頻率（或角頻率）；T稱固有周期。例例1：試確定單擺的固有圓頻率及周期。：試確定單擺的固有圓頻率及周期。mlmgf22 daldt22 sindmgmldt22sin dmgmldt當 角很小時，220dgdtl 2glTlg0 cost微分方程的解為 sinmg小球受的切向分力：小球受的切向分力：小球受的切向加速度：小球受的切向加速度：根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律單擺的小角擺動是簡諧振動，其振動的角頻率和周期為：單擺的小

7、角擺動是簡諧振動，其振動的角頻率和周期為：例例2：判斷下列運動是否是簡諧振動？并說明理由。：判斷下列運動是否是簡諧振動？并說明理由。（1）拍皮球時，皮球的運動。設球與地面碰撞為彈性碰撞。）拍皮球時，皮球的運動。設球與地面碰撞為彈性碰撞。（2）細線懸掛一小球，令其在水平面內(nèi)作勻速率圓周運動。）細線懸掛一小球，令其在水平面內(nèi)作勻速率圓周運動。（3）小滑塊在半徑很大的光滑球面上作小幅度滑動。）小滑塊在半徑很大的光滑球面上作小幅度滑動。（4）在均勻加速上升的升降機頂上豎直懸掛的單擺的運動。）在均勻加速上升的升降機頂上豎直懸掛的單擺的運動。解解： （1）不是簡諧振動。）不是簡諧振動。 原因：皮球受重力作

8、用，原因：皮球受重力作用， mg不隨位移而變化。不隨位移而變化。（2）不是簡諧振動。無平衡位置。但是）不是簡諧振動。無平衡位置。但是 在豎直平面上的投影的在豎直平面上的投影的 運動是簡諧運動是簡諧 運動。運動。mlmgTcos()xAt為圓周運動角速率，A為圓周運動的半徑。oxmgR（3）是簡諧振動。）是簡諧振動。2222sin(0d xmgmdtd xgxdtRgR切向方向負號表示力指向平衡位置，使 減少）與簡諧振動微分方程一致mglasin(mgmam aa切絕切相切牽）（4）是簡諧振動。）是簡諧振動。切向方向受力：切向方向受力：222222sinsin()0d xaaadtmgm aax

9、d xxmgmaldtld xgaxdtlgal切相切牽切相切牽）與簡諧振動微分方程一致總結：要求會建立一維諧振動的微分方程?？偨Y：要求會建立一維諧振動的微分方程。分析振動方向受力分析振動方向受力按牛頓第二定律建立方程按牛頓第二定律建立方程方程變化方程變化振動微分方程振動微分方程amgTa切相a切牽sinmgcosmg4、簡諧振動的周相：、簡諧振動的周相：（1）、定義：）、定義：cos()xAtsin()sin()mdxvAtdtVt 2cos()cos()mdvaAtdtat 周相（用角度表示）周相（用角度表示）周期周期 (用時間表示）用時間表示）T()t（2）、特點：）、特點：（1）一定的

10、周相對應一個確定的運動狀態(tài)。）一定的周相對應一個確定的運動狀態(tài)。（2）一定的運動狀態(tài)對應一定的周相。）一定的運動狀態(tài)對應一定的周相。（3）周相差表示了兩作同周期振動物體在同一時刻運動）周相差表示了兩作同周期振動物體在同一時刻運動 狀態(tài)的差異。狀態(tài)的差異。同相：同相：21()()0(2)ttn或兩振動完全同步兩振動完全同步(21) )n或反相：反相：兩振動步調(diào)完全相反兩振動步調(diào)完全相反超前：超前：21()()tt落后：落后：21()()tt0AXoXo txXo-AXo2/2/3 tx2 tx tx tx) 2/() 0(AXo例例3：判斷以下說法是否正確？并說明理由。：判斷以下說法是否正確？并

11、說明理由。（1）質(zhì)點作簡諧振動時，從平衡位置運動到最遠點需時）質(zhì)點作簡諧振動時，從平衡位置運動到最遠點需時1/4周期，因此走過該距離的一半需時周期，因此走過該距離的一半需時1/8周期。周期。（2）如下圖所示，看來）如下圖所示，看來x(t)曲線似乎在曲線似乎在v(t)曲線的前方，曲線的前方，即即x(t)的極大值處于鄰近的極大值處于鄰近v(t)極大值的右側，故說位移極大值的右側，故說位移x比比速度速度v領先領先/2（3）位移）位移cos()xAt兩次對兩次對t求導可得加速度求導可得加速度2cos()aAt 二者括號中二者括號中()t是一樣的，是一樣的，故說故說x與與a同相。同相。sin()vAt

12、解解（1）不對。因為簡諧振動的速度）不對。因為簡諧振動的速度不是常數(shù)，故經(jīng)過相等距離所需時間不同。不是常數(shù)，故經(jīng)過相等距離所需時間不同。（2）不對。由）不對。由x-t、v-t圖比較圖比較x、v的位移時，應從的位移時，應從t=0看看起，如圖所示，起，如圖所示，v的第一極大值在的第一極大值在x的第一極大值左方，的第一極大值左方，故，故，v比比x領先領先/2（3）不對。比較兩個量的位相時，應都寫成余弦（或）不對。比較兩個量的位相時，應都寫成余弦（或正弦）函數(shù)，并使前面的系數(shù)同號。正弦）函數(shù)，并使前面的系數(shù)同號。與與cos()xAt比較位相時，比較位相時，2cos()aAt 應寫成：應寫成：2cos(

13、)aAt可看出可看出a與與x反相。反相。若比較若比較v與與x的位相，的位相，v應寫成：應寫成：cos()2vAt則則v比比x領先領先/2振幅和初相的值是由初始條件決定的；振幅和初相的值是由初始條件決定的；初始條件：初始條件：t=0時的初位移時的初位移 、初速度、初速度0v)cos(tAx)sin(tAv由：由：00()varctgx解之：解之：22002vAx0sinvA 以以t=0代入：代入：0cosxA由振動的周期性，可知，只要研究一個周期內(nèi)不同時刻由振動的周期性，可知，只要研究一個周期內(nèi)不同時刻的函數(shù)的函數(shù)()t，即可知整個周期性運動，比用時間，即可知整個周期性運動，比用時間t描述方便、

14、直接。描述方便、直接。0 x（3）、振幅）、振幅A、初位相、初位相 的確定：的確定：5、振動的能量、振動的能量： （以彈簧振子為例）（以彈簧振子為例）動能：動能：222211sin ()22kEmvmAt勢能：勢能：22211cos ()22pEkxkAt系統(tǒng)機械能：系統(tǒng)機械能：)(cos21)(sin2122222tkAtmA221122kpEEEmvkx2km22221122mAkAA結論由彈簧振子可推廣到一切簡諧振動！結論由彈簧振子可推廣到一切簡諧振動！從簡諧振動的機械能守恒推導建立簡諧振動的微分從簡諧振動的機械能守恒推導建立簡諧振動的微分方程：方程：221122mvkxE求導求導0dv

15、dxmvkxdtdt小結：小結：（1）振動動能和振動勢能均隨時間作周期性變化，其數(shù)）振動動能和振動勢能均隨時間作周期性變化，其數(shù)值在值在 之間重復變化。如果振動的周期為之間重復變化。如果振動的周期為T，則則 和和 變化的周期為變化的周期為T/2。（2）振動動能、振動勢能的變化并不同步，動能最大時）振動動能、振動勢能的變化并不同步，動能最大時勢能為零，勢能最大時，動能為零。勢能為零，勢能最大時，動能為零。（3）振動的總能量保持不變。）振動的總能量保持不變。2102k AkEpE22dvd xdxvdtdtdt0dvdxmvkxdtdt220d xkxdtm一振動是否是簡諧振動的判據(jù)：一振動是否是

16、簡諧振動的判據(jù)：fkx 2220d xxdtcosxAt2211()(22dxmkxEdt恒量)6、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法：、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法：x質(zhì)點質(zhì)點P任意時刻位置由任意時刻位置由At、質(zhì)點質(zhì)點P在在x軸上的投影作簡諧振動：軸上的投影作簡諧振動：cos()xAt旋轉(zhuǎn)矢量法優(yōu)點：形象化，尤其是使旋轉(zhuǎn)矢量法優(yōu)點：形象化，尤其是使 相位和圓頻率具體化。相位和圓頻率具體化。用一勻速轉(zhuǎn)動的矢量來研究簡諧振動的方法用一勻速轉(zhuǎn)動的矢量來研究簡諧振動的方法稱旋轉(zhuǎn)矢量法。其中軌跡圓稱為參考圓。稱旋轉(zhuǎn)矢量法。其中軌跡圓稱為參考圓。pA確定確定p用旋轉(zhuǎn)矢量法確定初位相：用旋轉(zhuǎn)矢量法確定初位相： txx

17、0v 0v 3232x0v 0v 0v 2323x0v x430v 0v 43求振動方程步驟：求振動方程步驟：1、首先確定系統(tǒng)是作簡諧振動。、首先確定系統(tǒng)是作簡諧振動。2、據(jù)簡諧振動方程、據(jù)簡諧振動方程cos()xAt確定確定A、 、即可。即可。例例4：一定滑輪的半徑為：一定滑輪的半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為M，其上掛一輕繩，其上掛一輕繩，繩的一端系一質(zhì)量為繩的一端系一質(zhì)量為m的物體，另一端與固定的輕彈簧相的物體，另一端與固定的輕彈簧相連，如圖，設彈簧的倔強系數(shù)為連，如圖，設彈簧的倔強系數(shù)為k，繩與滑輪間無滑動，繩與滑輪間無滑動，并忽略軸的摩擦力及空氣阻力，現(xiàn)將物體從平衡位置拉下并忽略軸的摩擦力及

18、空氣阻力，現(xiàn)將物體從平衡位置拉下一微小距離一微小距離 ，然后放手，從放手瞬間開始計時，并，然后放手，從放手瞬間開始計時，并以平衡位置為坐標原點，以平衡位置為坐標原點，OX向下為正向，求：向下為正向，求：（1）證明物體作簡諧振動。）證明物體作簡諧振動。（2）寫出振動方程。）寫出振動方程。0lRk1T1T2T2TmgaMRmk0l1xox解：選物體、定滑輪、彈簧組成振動系統(tǒng)，受力分析如圖解：選物體、定滑輪、彈簧組成振動系統(tǒng)，受力分析如圖系統(tǒng)平衡時系統(tǒng)平衡時對物體：對物體：10mgT對定滑輪：對定滑輪：120TR TR對彈簧：對彈簧：21Tkx（ 為系統(tǒng)平衡時彈簧伸長量）為系統(tǒng)平衡時彈簧伸長量）1x

19、1mgkx當物體拉一微小距離，作振動，取任一時刻，有：當物體拉一微小距離，作振動，取任一時刻，有：11mgTmaTmgma12122aT RT RITTIR21()Tk xx（ 為彈簧總伸長量）為彈簧總伸長量）1xx聯(lián)立方程求得：聯(lián)立方程求得：2222()0IkxmaRd xkxIdtmR 即：222kkIMmmR令其中其中212IMR初始條件：初始條件：0000,0txl v時2200002vAxxl10cos ()0 xA0cos()2kxltMm振動方程：振動方程：例例5：已知一簡諧振動的位移曲線如圖，寫出振動方：已知一簡諧振動的位移曲線如圖，寫出振動方程。程。xt0241解：由圖知解：

20、由圖知A=4。據(jù)。據(jù)0t 時時2Ax 0v 1t 0 x 0v 時時作出旋轉(zhuǎn)矢量圖作出旋轉(zhuǎn)矢量圖x0v 0v A由圖得初位相由圖得初位相3 矢量在矢量在1秒內(nèi)轉(zhuǎn)過了秒內(nèi)轉(zhuǎn)過了12 得得56所以振動方程：所以振動方程：54cos()63xt（二）、（二）、諧振動的合成諧振動的合成（Superposition of Harmonic Oscillation)1 1、同（振動）方向、同頻率的兩個諧振動的合成、同（振動）方向、同頻率的兩個諧振動的合成 設兩簡諧振動均沿設兩簡諧振動均沿x軸進行，位移分別：軸進行，位移分別：111cos()xAt222cos()xAt（1 1）、三角函數(shù)法）、三角函數(shù)法2

21、1xxx)cos()cos(2211tAtA)cos(tA)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAarctgtx1x2xx結論：兩個同方向、同頻率的諧振動合成后結論：兩個同方向、同頻率的諧振動合成后 仍為同頻率仍為同頻率 的諧振動的諧振動 （2 2）、旋轉(zhuǎn)矢量法）、旋轉(zhuǎn)矢量法)cos(111tAx)cos(222tAxA1A2A1YX22x1xx11sinA22sinAA1A2A與與角速度相同角速度相同則則A的量值在旋轉(zhuǎn)過程中不變。的量值在旋轉(zhuǎn)過程中不變。222121222121221221212212cos2cos()2cos()AAAA AAA

22、A AAAA A所以所以)cos(212212221AAAAA0t 時A1A2A1YX22x1xx11sinA22sinA討論：討論：a)22112211coscossinsinAAAAarctg11221122sinsincoscosAAtgAA0t 時由幾何關系可證，由幾何關系可證，t時刻時刻A在在ox軸上投影為：軸上投影為：)cos(tA21xxxb）A:)cos(212212221AAAAA212(0 1 2nn 、 、）兩振動同相兩振動同相則則12AAA振動加強振動加強21(21)(0 1 2nn 、 、）兩振動反相兩振動反相12AAA則則振動減弱振動減弱若若12AA則則0A 共同作

23、用下靜止共同作用下靜止一般情況：一般情況：1212()AAAAA例例6：求振動：求振動15cos(3)3xt247 cos(3)3xt和和的合振動方程，并用旋轉(zhuǎn)矢量表示。的合振動方程，并用旋轉(zhuǎn)矢量表示。解：合振幅解：合振幅22121221222cos()457257 cos()332AAAA A初周相：初周相：11221122sinsincoscosAAarctgAA11221122sinsincoscos45sin7sin3345cos7cos334333AAarctgAAarctgarctg或1A2AAOx3畫出矢量圖：畫出矢量圖：由圖可見，應取由圖可見，應取43，于是合振動方程：，于是合

24、振動方程：42cos(3)3xt* *2 2、同方向、不同頻率的兩個諧振動的合成、同方向、不同頻率的兩個諧振動的合成 設兩簡諧振動均沿設兩簡諧振動均沿x軸進行，位移分別：軸進行，位移分別：1111cos()xAt2222cos()xAt21且，A1A2A1YX22x1xx11sinA22sinAcos()xAtA1A2A1YX22x1xx11sinA22sinA12AAa如圖：若2112022t 1時：=22112121()()222tttttttt1111則 時刻有：=211222tttt1所以：22121221212cos()()AAAA At討論（特殊情況）：討論（特殊情況）：2121即

25、兩分振動頻率都較大，頻率即兩分振動頻率都較大，頻率差較小差較小為突出不同頻率產(chǎn)生效果，設兩分振動振幅相等，初位為突出不同頻率產(chǎn)生效果，設兩分振動振幅相等，初位相均為零，即：相均為零，即：12120AAa得得,合振動初相：合振動初相：01122coscoscosxatxatxAt即合振幅：合振幅：2212122121222212212221212cos()()2cos()021 cos()22cos ()22 cos()2AAAA Ataaatatatat可見，合振動位移是以較高角頻率可見，合振動位移是以較高角頻率 變化變化;而合振動的振幅是以較低頻率而合振動的振幅是以較低頻率 變化，范圍變化，

26、范圍在在 之間。之間。2122120 2a21212 cos()cos()22xatt上式也可由三角函數(shù)關系上式也可由三角函數(shù)關系: :coscos2coscos22直接得到直接得到（但不能準確解釋其物理意義！（但不能準確解釋其物理意義！), 所以所以,合振動位移：合振動位移：122由前知若兩分振動振幅相等，初位相相等但若兩分振動振幅相等，初位相相等但不不為零，即：為零，即：12120AAa合振動位移為多少合振動位移為多少? ?2121122 cos()cos()222xatt111222coscoscosxatxatxAt亦即（）（）（）1212AAa時情形又如何？1212AA時情形又如何？

27、1xt2xtxttx拍：由兩個頻率都較大而頻率差又很小的同方向的簡諧拍：由兩個頻率都較大而頻率差又很小的同方向的簡諧 振動合成時，產(chǎn)生合振幅時而加強時而減弱的周期振動合成時，產(chǎn)生合振幅時而加強時而減弱的周期 性變化現(xiàn)象。性變化現(xiàn)象。一拍：合振幅變化的一個周期。一拍：合振幅變化的一個周期。拍頻：單位時間內(nèi)拍出現(xiàn)的次數(shù)。拍頻：單位時間內(nèi)拍出現(xiàn)的次數(shù)。若振幅變化的周期為若振幅變化的周期為T拍拍,2)(22121tTt拍212拍T21212/1拍T拍現(xiàn)象的頻率等于兩個分振動頻率之差。拍現(xiàn)象的頻率等于兩個分振動頻率之差。12120AAa 時*3、互相垂直的同頻率諧振動的合成、互相垂直的同頻率諧振動的合成

28、11cos()xAt22cos()yAt以上兩式實為質(zhì)點運動的運動方程，消去以上兩式實為質(zhì)點運動的運動方程，消去t即可得質(zhì)點運動的軌跡方程。即可得質(zhì)點運動的軌跡方程。)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx(1)012軌跡方程簡化為：軌跡方程簡化為：21AyxA22yxS)cos(2221tAAYXS12A1A2任意時刻位移：任意時刻位移：可見，仍是簡諧振動?？梢?，仍是簡諧振動。12(2)21AyxA YX1222212AyAxYXYX2/12(3)(4)2/121222212AyAx軌跡為一般橢圓軌跡為一般橢圓210210順時針方向運動順時針方向運動逆時針方向運動逆時

29、針方向運動210/2、(5)*4、相互垂直的不同頻率簡諧振動的合成、相互垂直的不同頻率簡諧振動的合成周相差：周相差：2121()()t隨時間變化隨時間變化當當 和和 相差不大時，相差不大時， 隨時間由隨時間由 緩慢緩慢變化，軌跡由直線變成橢圓，又由橢圓變成直線。變化，軌跡由直線變成橢圓，又由橢圓變成直線。0 2a21如果如果21和和相差較大時，合振動復雜，但若相差較大時，合振動復雜，但若21:為整數(shù)比時，能得到穩(wěn)定的封閉軌道曲線。在圖上就是為整數(shù)比時，能得到穩(wěn)定的封閉軌道曲線。在圖上就是圖形與圖形與OX軸、軸、OY軸相交點的數(shù)目比。軸相交點的數(shù)目比。 *(三）阻尼振動（三）阻尼振動（Dampe

30、d Oscillation） 強迫振蕩（強迫振蕩（Forced Oscillation）1、阻尼振動、阻尼振動能量減小的原因：能量減小的原因：1）阻力的存在）阻力的存在2）引起鄰近質(zhì)點振動，以波的形式向周圍傳播）引起鄰近質(zhì)點振動，以波的形式向周圍傳播 能量。能量。因能量耗散而衰減的振動稱因能量耗散而衰減的振動稱阻尼振動。阻尼振動。又因能量與振幅平方成正比，又稱又因能量與振幅平方成正比，又稱減幅振動。減幅振動。振動物體速度不太大時，阻力正比速度振動物體速度不太大時，阻力正比速度22220202rfb v k xdxmb v k xd tdxbd xkxd tmd tm rfbv且且回復力回復力kx據(jù)牛頓第二定律有：據(jù)牛頓第二定律有：22d xmbvkxdt 220d xb dxkxdtm dtm即：即：阻尼振動微分方程阻尼振動微分方程20km2bm令令不存在阻力時的固有頻率不存在阻力時的固