第5章 運動學基礎(chǔ)

1、理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)1第第 5 章章 運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)5-2 點的運動學點的運動學5-3 剛體的基本運動剛體的基本運動5-1 運動學的基本概念運動學的基本概念理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)2 運動學運動學是是研究物體在空間位置隨時間變化的幾何研究物體在空間位置隨時間變化的幾何性質(zhì)的科學性質(zhì)的科學。在運動學中從幾何學的觀點研究物體的。在運動學中從幾何學的觀點研究物體的運動規(guī)律，不考慮影響運動的物理因素如力和質(zhì)量等。運動規(guī)律，不考慮影響運動的物理因素如力和質(zhì)量等。5-1 運動學的基本概念運動學的基本概念 機器是由機構(gòu)組成的，機器是由機構(gòu)組成

2、的，這些機構(gòu)用來進行運動這些機構(gòu)用來進行運動的傳遞與轉(zhuǎn)變，以實現(xiàn)的傳遞與轉(zhuǎn)變，以實現(xiàn)預(yù)期的運動。例如車輪預(yù)期的運動。例如車輪的運動會帶動車輛前進。的運動會帶動車輛前進。理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)3 運動學的主要內(nèi)容運動學的主要內(nèi)容 包括建立機械運動的描述方包括建立機械運動的描述方法法,即即選擇合適的參量對物體的機械運動進行定量描選擇合適的參量對物體的機械運動進行定量描述述。研究表征運動幾何性質(zhì)的基本物理量，如速度、。研究表征運動幾何性質(zhì)的基本物理量，如速度、加速度、角速度和角加速度等。研究運動分解與合加速度、角速度和角加速度等。研究運動分解與合成的規(guī)律。成的規(guī)律。理論

3、力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)4 學習運動學的目的學習運動學的目的 除了為后續(xù)課程打基礎(chǔ)外，除了為后續(xù)課程打基礎(chǔ)外，也可以直接用來解決工程實際問題，例如機構(gòu)運動也可以直接用來解決工程實際問題，例如機構(gòu)運動分析。分析。 運動學的力學模型運動學的力學模型 ： 點和剛體點和剛體 點點：不考慮：不考慮質(zhì)量質(zhì)量，忽略體積大小的幾何上的點；，忽略體積大小的幾何上的點； 剛體剛體：由無數(shù)點組成的不變形物體。：由無數(shù)點組成的不變形物體。理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)5 運動是運動是絕對的絕對的，但，但運動的描述則是相對的運動的描述則是相對的。因。因此，在描述物體的運動時

4、都需要指明相對于哪個此，在描述物體的運動時都需要指明相對于哪個物體。用來確定點或物體位置和運動的另一個物物體。用來確定點或物體位置和運動的另一個物體稱為體稱為參考體參考體。固結(jié)在參考體上的坐標系稱為。固結(jié)在參考體上的坐標系稱為參參考系考系。一般工程問題中，如不加特別說明都取。一般工程問題中，如不加特別說明都取與與地面固連的坐標系為參考系地面固連的坐標系為參考系。理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)6（1） 點的位置的確定點的位置的確定rtrtrvt ddlim0rtrtvtvat 220ddddlim運動方程運動方程)(trr 1、點的運動的矢量表示法（3） 加速度加速度（描述

5、速度（描述速度變化的快慢與方向變化的快慢與方向)（2） 點的速度（描述點點的速度（描述點運動的快慢與運動方向運動的快慢與運動方向)顯然矢端曲線就是顯然矢端曲線就是動點的動點的運動軌跡運動軌跡。理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)7 如果取矢徑的原點與如果取矢徑的原點與直角坐標系的原點重合，直角坐標系的原點重合，則有如下關(guān)系則有如下關(guān)系（1） 點的位置的確定點的位置的確定kzj yi xr 直角坐標表示的點的運動直角坐標表示的點的運動方程為方程為)( , )( , )(321tfztfytfx 以上也就是以上也就是點的軌跡的參數(shù)方程點的軌跡的參數(shù)方程。2、點的運動的直角坐標表示法

6、理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)8ktzjtyitxtrvdddddddd kvjvivvzyx （2） 點的速度點的速度 tzvtyvtxvzyxdd , dd , dd 故故2z2y2xvvvv ,),cos(vvjvy 速度大小速度大小,),cos(vvivx 方向方向vvkvz ),cos(理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)9 （3） 加速度加速度kajaiaktzjtyitxktvjtvitvtvazyxzyx 222222ddddddddddddddzyxaaaa222 aakaaajaaaiazyx ),cos( , ),cos( , ),c

7、os(大小和方向為大小和方向為同理同理理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)10 當點作直線運動時，已知點在某瞬時的速度當點作直線運動時，已知點在某瞬時的速度v = 5 m/s，問這時的加速度是否為，問這時的加速度是否為a = 0？為什么？為什么？思考思考 題題 5-1 答答: :不能確定。因為加速度是速度對時間的變不能確定。因為加速度是速度對時間的變化率，所以不能由某瞬時的速度來確定加速度?；剩圆荒苡赡乘矔r的速度來確定加速度。理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)11 一人在路燈下由燈柱起以勻速一人在路燈下由燈柱起以勻速v沿直線背離燈柱沿直線背離燈柱行走。設(shè)

8、人高行走。設(shè)人高AB=l，燈高，燈高OD=h，試求頭頂影子，試求頭頂影子M 的軌跡、速度和加速度。的軌跡、速度和加速度。例例 題題 5-1理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)12解：取坐標軸解：取坐標軸Ox如圖。由三角形相似關(guān)系，有如圖。由三角形相似關(guān)系，有即即從而求得點從而求得點M 的軌跡為直的軌跡為直線，運動方程為線，運動方程為 M 點的速度點的速度ABBMODOM lvtxhx vtlhhx vlhhtxvM dd例例 題題 5-1而加速度而加速度 a = 0 ，即點，即點M 作勻速直線運動。作勻速直線運動。理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)13橢圓規(guī)的

9、曲柄橢圓規(guī)的曲柄OA可繞定軸可繞定軸O轉(zhuǎn)動，端點轉(zhuǎn)動，端點A以鉸鏈連接以鉸鏈連接于規(guī)尺于規(guī)尺BC；規(guī)尺上的點；規(guī)尺上的點B和和C可分別沿互相垂直的可分別沿互相垂直的滑槽運動，滑槽運動，j j =w wt，w w為常為常量。試求規(guī)尺上任一點量。試求規(guī)尺上任一點M 的運動方程、軌跡方程、的運動方程、軌跡方程、速度及加速度方程。速度及加速度方程。bCMaABACOA 2已知：已知：例例 題題 5-2理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)141)(2222 bybax 解：考慮任意位置，點解：考慮任意位置，點M的的坐標坐標 x，y可以表示成可以表示成上式即為上式即為點點M的運動方程的運動

10、方程。 上式中消去角上式中消去角j j，即得點，即得點M的的軌跡方程軌跡方程:例例 題題 5-2tbbytbabaxw wj jw wj jsin sincos)( cos)( 可見點可見點M的軌跡為的軌跡為橢圓橢圓。有一種橢圓規(guī)就是據(jù)。有一種橢圓規(guī)就是據(jù)此原理制作的。此原理制作的。理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)15tbyvtbaxvyxw ww ww ww wcossin)( 點點M的速度方程：的速度方程： 點點M的加速度方程：的加速度方程：tbyatbaxayxw ww ww ww wsincos)(22 tbbytbabaxw wj jw wj jsin sinco

11、s)( cos)( 點點M的運動方程的運動方程:理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)16 以點的軌跡作為坐標軸來確定動點的位置的方法以點的軌跡作為坐標軸來確定動點的位置的方法叫叫自然法自然法。該方法適用于。該方法適用于動點的動點的 軌跡為已知軌跡為已知的情況。的情況。（1） 點的位置的確定點的位置的確定 弧坐標表示的弧坐標表示的運動方程運動方程為為s = f (t) 選定軌跡上的一點選定軌跡上的一點O為參為參考點，并設(shè)點考點，并設(shè)點O的某一側(cè)為正的某一側(cè)為正向，動點向，動點M在軌跡上的位置由在軌跡上的位置由弧長弧長s確定確定, s 稱為動點稱為動點M在軌在軌跡上的跡上的弧坐標弧

12、坐標。4、點的運動的自然表示法理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)17（2）點的速度）點的速度trvtlim0 tststrvttddlimlim00 經(jīng)過經(jīng)過D D t時間時間,點沿軌跡由點沿軌跡由M 到到M，矢徑有增量，矢徑有增量 ，則則r為為切切向向單單位位矢矢。tettddesetsv 理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)18tevetstevetvevttvadddddddd)(ddddtt22ttt t22ttddddetsetva (一一) 切向加速度（表示速度大小的變化）切向加速度（表示速度大小的變化）（3） 點的加速度點的加速度tevv 理論力

13、學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)19(二二) 法向加速度（法向加速度（ 表示速度方向的變化）表示速度方向的變化）tevtevatlimddt0tn ,22sin , 0 ,0j jj jst時時當當 1|t e2sin22sin|2|ttttj jj j eeee。線方向單位矢為線方向單位矢為指向軌跡內(nèi)凹一側(cè)。法指向軌跡內(nèi)凹一側(cè)。法即沿法線方向。即沿法線方向。方向垂直于方向垂直于于是于是ntt, eeej j j jj jvtsstte ddddddddtn2neva 為軌跡在點為軌跡在點M的曲率半徑。的曲率半徑。理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)20n2tnt

14、ddevetvaaa ,2n2taaa 全加速度的大小和方向為全加速度的大小和方向為 為軌跡曲線在點為軌跡曲線在點M 處的曲率處的曲率半徑。半徑。nt|arctanaa 理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)21何謂點的坐標，點的位移和點的路程。何謂點的坐標，點的位移和點的路程。 在下述情況下，點分別作何種運動在下述情況下，點分別作何種運動？ (a) at0，an0；(b) at0，an0； (c) at0，an0，(d) at0，an0。思思 考考 題題 5-2思思 考考 題題 5-3理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)22思思 考考 題題 5-4 火車頭（可看

15、作一個點）沿圖示的軌道運動?；疖囶^（可看作一個點）沿圖示的軌道運動。問：圖中所畫的問：圖中所畫的 和和 ，哪些是可能的？哪些是不，哪些是可能的？哪些是不可能的？并說明理由。可能的？并說明理由。va理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)23思思 考考 題題 5-4a 點點B和點和點F可能；可能；v 0, an 0, 指向曲率中心；指向曲率中心；a 答：點答：點A不可能；不可能；v=0, an=0, 沿軌跡切線；沿軌跡切線；若點若點C是曲線的拐點是曲線的拐點,就是可能的就是可能的,點點D、點、點E、點、點G不可能。不可能。理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)24 點從

16、位置點從位置 M0 處以處以 s =250t+5t2 規(guī)律沿半徑規(guī)律沿半徑 r =1500 m的圓弧運動，其中的圓弧運動，其中s以以m計，計，t以以s計，當計，當 t =5 s時，試求點在軌跡上的位置時，試求點在軌跡上的位置M及其速度和加及其速度和加速度。速度。 例例 題題 5-3理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)25解：因已知點沿圓弧軌跡的運動解：因已知點沿圓弧軌跡的運動方程，宜用自然法求解。取方程，宜用自然法求解。取M0為為弧坐標弧坐標 s 的原點，的原點，s 的正負方向如的正負方向如圖所示。圖所示。 當當t = 5 s時，點的位置時，點的位置 M 可由弧可由弧坐標確定坐

17、標確定 m 137552502 tts先求出點的速度和切向加速度、法先求出點的速度和切向加速度、法向加速度向加速度 ,10250ddttsv 2tm/s10dd tva例例 題題 5-322n)10250(15001tva 理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)26 故在這瞬時點的全加速度故在這瞬時點的全加速度 的大的大小和方向分別為小和方向分別為 s/m 8 .602n2t2 aaa代入代入 t = 5 ss/m 300 v,s/m102t a2ns/m 60 a 得得例例 題題 5-3,166. 0 tannt aa 5 . 9 22n)10250(15001tva ,102

18、50ddttsv 2tm/s10dd tva理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)27 銷釘銷釘B可沿半徑等于可沿半徑等于R的的固定圓弧滑道固定圓弧滑道DE和擺桿和擺桿OC的的直槽中滑動直槽中滑動,OA=R=0.1 m。已。已知擺桿的轉(zhuǎn)角知擺桿的轉(zhuǎn)角 （t以以s計，計，j j 以以rad計）。試求銷計）。試求銷釘在釘在t1=(1/4 ) s 和和t2=1 s時的加時的加速度。速度。t2sin8 j j例例 題題 5-4理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)28解：已知銷釘解：已知銷釘B的軌跡是圓的軌跡是圓弧弧DE，中心在點，中心在點A，半徑是半徑是R。選滑道上點。選

19、滑道上點O作為弧坐標作為弧坐標的原點，并以的原點，并以O(shè)D為正向。則為正向。則點點B在任一瞬時的弧坐標在任一瞬時的弧坐標 Rs 但是，由幾何關(guān)系知但是，由幾何關(guān)系知 =2j j ，且，且 ，將其代入上式，將其代入上式， 得得t2sin8 j j 2sin402tRs j j這就是點這就是點B的弧坐標表示的運動方程。的弧坐標表示的運動方程。例例 題題 5-4理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)29點點B速度大小：速度大?。?22cos20ddttsv 點點B的加速度的加速度 a 在切向的在切向的投影：投影： 2sin10dd3tttva 在法向的投影：在法向的投影： 2cos40

20、1 . 02cos2024222nttva 例例 題題 5-4理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)3023t11m/s 10 aaa1的實際指向沿切線的負向的實際指向沿切線的負向,與圖示與圖示相反。相反。,s/m 4024n22 aaa2 沿半徑沿半徑 B2A。例例 題題 5-4當當t1=(1/4 )s 時，時，j j1p p/8 rad，v1=0，又，又a1t= -p p3/10 m/s2，a1n=0。則點則點B的加速度大小的加速度大小當當t2=1 s時，時，j j20 0，v2= p p2/20 m/s ，又又a2t=0，a2n= p p4/40 m/s2 。則點。則點B的

21、的加速度大小加速度大小 2sin103tta 2cos4024nta 22cos20tv 理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)31 點點P 沿螺旋線自外向內(nèi)運動。它走過的弧長與沿螺旋線自外向內(nèi)運動。它走過的弧長與時間的一次方成正比。試問該點的速度是越來越快，時間的一次方成正比。試問該點的速度是越來越快，還是越來越慢？加速度是越來越大，還是越來越小？還是越來越慢？加速度是越來越大，還是越來越??？例例 題題 5-5理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)32解：運動方程：解：運動方程：ttdd,eketsvkts 點的速度大小不變。點的速度大小不變。 22nt, 0dd

22、kvastva n2nnekeaa 全加速度全加速度 點自外向里運動時，其曲率半徑越來越小，所點自外向里運動時，其曲率半徑越來越小，所以點以點P的加速度數(shù)值越來越大。的加速度數(shù)值越來越大。理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)33 由于剛體上各點間的距離保持不變，因此各點由于剛體上各點間的距離保持不變，因此各點的運動不可能各不相關(guān)，在它們的軌跡、速度和加的運動不可能各不相關(guān)，在它們的軌跡、速度和加速度之間必然存在一定的聯(lián)系。研究剛體的運動，速度之間必然存在一定的聯(lián)系。研究剛體的運動，就是要確定就是要確定剛體作為整體的運動與其上各點的運動剛體作為整體的運動與其上各點的運動之間的關(guān)系

23、之間的關(guān)系，這樣才可能對機構(gòu)的運動傳遞加以研，這樣才可能對機構(gòu)的運動傳遞加以研究。究。 剛體的運動可以有多種形式，但基本的形式有兩剛體的運動可以有多種形式，但基本的形式有兩種，即本章將研究的種，即本章將研究的平移和定軸轉(zhuǎn)動平移和定軸轉(zhuǎn)動。這是工程中常。這是工程中常見的運動，也是研究剛體復(fù)雜運動的基礎(chǔ)。見的運動，也是研究剛體復(fù)雜運動的基礎(chǔ)。5-3 剛體的基本運動剛體的基本運動理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)34 剛體在運動中剛體在運動中,其上其上任意一條直線任意一條直線始終與它的始終與它的初始位置平行，這種運動稱為初始位置平行，這種運動稱為平行移動平行移動，也稱為，也稱為平移

24、或平動平移或平動。1. 剛體的平移 圖中兩桿圖中兩桿O1A與與O2B平行且相等平行且相等, 在圖示平面在圖示平面內(nèi)擺動。內(nèi)擺動。 物快物快AB作作平移平移。 圖中凸輪和頂桿圖中凸輪和頂桿AB, 在圖示平面內(nèi)作在圖示平面內(nèi)作平移平移。理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)35 能否根據(jù)剛體上的一條直線判定該剛體是否能否根據(jù)剛體上的一條直線判定該剛體是否作作平移平移？為什么？為什么？思思 考考 題題 5- 5 答：不能。例如直線軌道上行駛的車輪，與轉(zhuǎn)動答：不能。例如直線軌道上行駛的車輪，與轉(zhuǎn)動軸平行的任一直線與初始位置平行，但其他直線則軸平行的任一直線與初始位置平行，但其他直線則不然

25、，因此不然，因此輪不是作平移輪不是作平移。理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)36 輪子沿直線軌道運動時輪子沿直線軌道運動時, 連接輪的平行連桿作連接輪的平行連桿作平移平移,其上各點的軌跡是短幅旋輪線。其上各點的軌跡是短幅旋輪線。直線平移直線平移：剛體平移時剛體平移時,其上各點其上各點的軌跡為直線；的軌跡為直線；曲線平移曲線平移：剛體平移時剛體平移時,其上各點其上各點的軌跡為曲線。的軌跡為曲線。理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)37)0dd( dd)(dddd trtrrrttrABAABABABABrrr 剛體平移的特點： 由剛體平移的定義，由剛體平移的定義

26、， 是常矢量。是常矢量。ABrABvv dd)(dddd222222trrrttrAABAB ABaa 理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)38 由于點由于點A和點和點B是剛體上的任意兩點，因此可以是剛體上的任意兩點，因此可以得出如下結(jié)論：得出如下結(jié)論： 剛體作平移時，其上各點的剛體作平移時，其上各點的軌跡相同軌跡相同，同一同一瞬時瞬時各點有各點有相同的速度和相同的加速度相同的速度和相同的加速度，即：，即：平平移剛體的運動可以簡化為一個點的運動移剛體的運動可以簡化為一個點的運動。ABABaavv 理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)39行駛在彎道上的車廂是否作平

27、移？為什么？行駛在彎道上的車廂是否作平移？為什么？ 答：不是，因為車廂上任作一條線段與原先的答：不是，因為車廂上任作一條線段與原先的位置不平行。但當車廂的大小與彎道的曲率半徑相位置不平行。但當車廂的大小與彎道的曲率半徑相比較小時，可以近視將車廂看作曲線平移。比較小時，可以近視將車廂看作曲線平移。思思 考考 題題 5- 6理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)402、剛體的定軸轉(zhuǎn)動（1） 剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點 剛體在運動時，其剛體在運動時，其上某一直線上各點保持上某一直線上各點保持不動，剛體的這種運動不動，剛體的這種運動稱為稱為定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動，簡稱轉(zhuǎn)，簡稱轉(zhuǎn)動。其

28、固定不動的直線動。其固定不動的直線稱為剛體的轉(zhuǎn)軸。稱為剛體的轉(zhuǎn)軸。 剛體不在轉(zhuǎn)軸上的剛體不在轉(zhuǎn)軸上的各點各點均作圓周運動。均作圓周運動。理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)41(2) 定軸轉(zhuǎn)動剛體位置的確定定軸轉(zhuǎn)動剛體位置的確定 剛體的轉(zhuǎn)動方程剛體的轉(zhuǎn)動方程j j = f (t) 單位為弧度單位為弧度(rad) 圖示轉(zhuǎn)角圖示轉(zhuǎn)角j j，是固定面，是固定面A與固連在轉(zhuǎn)動剛體上的動平面與固連在轉(zhuǎn)動剛體上的動平面B的夾角的夾角。j j 確定了剛體的位確定了剛體的位置，它的符號規(guī)定如下：從置，它的符號規(guī)定如下：從 z 軸正向看軸正向看,逆時針為正，順時針逆時針為正，順時針為負。剛體轉(zhuǎn)角

29、為負。剛體轉(zhuǎn)角j j 與與 t 的函數(shù)的函數(shù)關(guān)系：關(guān)系：上式稱為剛體的轉(zhuǎn)動方程上式稱為剛體的轉(zhuǎn)動方程。理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)42角速度也為代數(shù)量。其正負號這角速度也為代數(shù)量。其正負號這樣來確定，從樣來確定，從 z 軸的正端向負端軸的正端向負端看，剛體逆時針轉(zhuǎn)動為正，順時看，剛體逆時針轉(zhuǎn)動為正，順時針轉(zhuǎn)動為負。單位用針轉(zhuǎn)動為負。單位用rad/s(弧度弧度/秒）。工程中常用單位還有轉(zhuǎn)速秒）。工程中常用單位還有轉(zhuǎn)速 n ，單位為單位為r /min（轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)/分分)。(3) 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角速度和角加速度定軸轉(zhuǎn)動剛體的角速度和角加速度n與與w w 的關(guān)系為的關(guān)系為:rad/

30、s30602nn w w)( ddlim 0代數(shù)量代數(shù)量j jj jj jw w ttt角速度：角速度：理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)43角加速度角加速度: 如果如果 與與w w 同號，則為加速轉(zhuǎn)動同號，則為加速轉(zhuǎn)動, 反之則為減速轉(zhuǎn)動反之則為減速轉(zhuǎn)動 (一）勻速轉(zhuǎn)動一）勻速轉(zhuǎn)動 當當w w = 常量常量, 為勻速轉(zhuǎn)動時，有為勻速轉(zhuǎn)動時，有j jj jw ww w 220ddddlimtttt( rad/s2 )下面討論兩種特殊情況。下面討論兩種特殊情況。 j j = j j 0+ w w t =0 式中式中j j0 是是 t = 0 時剛體的轉(zhuǎn)角。時剛體的轉(zhuǎn)角。理論力學

31、電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)44 )(22102022000j jj j w ww w w wj jj j w ww wttt當當 =常量常量, 為勻變速轉(zhuǎn)動時。有為勻變速轉(zhuǎn)動時。有式中式中j j0和和w w0是是t = 0時剛體的轉(zhuǎn)角和角速度。時剛體的轉(zhuǎn)角和角速度。(二二) 勻變速轉(zhuǎn)動勻變速轉(zhuǎn)動 上述公式類似于點作勻變速直線運動的情況。上述公式類似于點作勻變速直線運動的情況。理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)45 以以w w表示剛體的角速度，則它在表示剛體的角速度，則它在t s內(nèi)的轉(zhuǎn)角為內(nèi)的轉(zhuǎn)角為j j=w w t，是否正確？，是否正確？ 答：不正確。答：不

32、正確。思思 考考 題題 5- 7理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)463、轉(zhuǎn)動剛體上點的速度和加速度 對于作對于作定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動的剛體，研究其上某點的速度的剛體，研究其上某點的速度或加速度有時具有重要的意義。例如，膠帶運輸機或加速度有時具有重要的意義。例如，膠帶運輸機的傳遞速度就是帶輪邊緣上一點的速度。的傳遞速度就是帶輪邊緣上一點的速度。 除了剛體作平移的情況，剛體上各點的速度、除了剛體作平移的情況，剛體上各點的速度、加速度一般各不相同，因此，不能籠統(tǒng)說：加速度一般各不相同，因此，不能籠統(tǒng)說：“剛體剛體的速度或加速度的速度或加速度”，應(yīng)該通過，應(yīng)該通過剛體作為整體的運動剛體

33、作為整體的運動來來研究剛體上各點的速度或加速度研究剛體上各點的速度或加速度。理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)47w wj jj jRtRtRtsvtt ddlim lim00 已知轉(zhuǎn)動剛體上各點都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)已知轉(zhuǎn)動剛體上各點都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運動，故研究剛體上點的運動用弧坐標比較作圓周運動，故研究剛體上點的運動用弧坐標比較方便。方便。D Ds = R D Dj j速度速度 設(shè)研究轉(zhuǎn)動剛體上一點設(shè)研究轉(zhuǎn)動剛體上一點M的運動。在的運動。在D Dt 時間內(nèi)，時間內(nèi)，點點M 走過的弧長為走過的弧長為理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)48,RtR

34、)R(ttva w ww w ddddddt222nw ww w RR)R(va 422t2nw w Raaa22nt tanw w w w |RR|a|a| 切向加速度為切向加速度為法向加速度為法向加速度為全加速度大小為全加速度大小為方向為方向為理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)速度分布圖速度分布圖加速度分布圖加速度分布圖49 (1) 在同一瞬時，轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)所有各點的速度和加在同一瞬時，轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)所有各點的速度和加速度的大小，分別與這些點到轉(zhuǎn)軸的距離成正比。速度的大小，分別與這些點到轉(zhuǎn)軸的距離成正比。結(jié)論結(jié)論: (2) 在同一瞬時，轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)所有各點的全加速在同一瞬時，轉(zhuǎn)動

35、剛體內(nèi)所有各點的全加速度的方向與半徑間的夾角度的方向與半徑間的夾角 都相同。都相同。理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)50思思 考考 題題 5-8 試畫出各圖中轉(zhuǎn)動剛體上點試畫出各圖中轉(zhuǎn)動剛體上點A和點和點B的速度和的速度和加速度的方向。加速度的方向。理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)51思思 考考 題題 5-8 答答: :圖中轉(zhuǎn)動剛體上點圖中轉(zhuǎn)動剛體上點A和點和點B的速度和加速度的速度和加速度的方向為的方向為: :理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)52思思 考考 題題 5-8 答答: :圖中轉(zhuǎn)動剛體上點圖中轉(zhuǎn)動剛體上點A和點和點B的速度和

36、加速度的的速度和加速度的方向為方向為: :理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)53解：由于蕩木解：由于蕩木AB在運動中始在運動中始終平行于直線終平行于直線O1O2，在蕩木，在蕩木上任意作一直線，也保持與上任意作一直線，也保持與原先的位置平行，故蕩木作原先的位置平行，故蕩木作平移。平移。O1A作定軸轉(zhuǎn)動。作定軸轉(zhuǎn)動。例例 題題 5- 6 蕩木用兩條等長的鋼索平行吊起，如圖所示。蕩木用兩條等長的鋼索平行吊起，如圖所示。鋼索長為鋼索長為l，單位為，單位為m。當蕩木在圖示平面內(nèi)擺動。當蕩木在圖示平面內(nèi)擺動時時, 鋼索的擺動規(guī)律為鋼索的擺動規(guī)律為 ，其中，其中 t 為時間，為時間，單位為

37、單位為s；轉(zhuǎn)角；轉(zhuǎn)角j j0的單位為的單位為rad， 試求當試求當t=0和和 t=2s時，蕩木的中點時，蕩木的中點M的軌跡、速度和加速度。的軌跡、速度和加速度。t4sin0j jj j 理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)54 為求中點為求中點M 的軌跡、速度的軌跡、速度和加速度，只需求出和加速度，只需求出A點（或點（或B點）的軌跡、速度和加速度即可。點）的軌跡、速度和加速度即可。點點 A 在圓弧上運動，圓弧的半在圓弧上運動，圓弧的半徑為徑為l。M點的軌跡與點的軌跡與A點相同，點相同，過過M點作平行且等于點作平行且等于O1A的線段的線段O3M,則則M點以點以O(shè)3為圓心，為圓心，

38、l為半為半徑的圓弧運動。如以最低點徑的圓弧運動。如以最低點O為為起點，規(guī)定弧坐標起點，規(guī)定弧坐標s向右為正，向右為正，則點則點A的的運動方程運動方程為為tls4 sin0j j 例例 題題 5- 6理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)55再求導一次，得點再求導一次，得點A的切向加的切向加速度速度tltva4 sin16dd02tj j 點點A的法向加速度的法向加速度tllva4cos16 22022nj j 例例 題題 5- 6將上式對時間求導，得點將上式對時間求導，得點A的速度的速度tltsv4 cos4dd0j j 理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)56上

39、式代入上式代入t = 0和和t = 2s，就可求得這兩瞬時點，就可求得這兩瞬時點A的的速度和加速度，亦即點速度和加速度，亦即點M在這兩瞬時的速度和加在這兩瞬時的速度和加速度。計算結(jié)果列表如下：速度。計算結(jié)果列表如下：例例 題題 5- 600j j02 (鉛直向上）鉛直向上）0 （水平向右）（水平向右）00an (m/s2)at (m/s2)v (m/s)j j (rad)t (s)04j jll0216j j l20216j j,4 sin0tlsj j tlv4 cos40j j ,4 sin1602ttlaj j tla4cos16 2202nj j 理論力學電子教案理論力學電子教案運動學

40、基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)57 滑輪的半徑滑輪的半徑r =0.2m，可繞，可繞水平軸水平軸O轉(zhuǎn)動，輪緣上纏有不轉(zhuǎn)動，輪緣上纏有不可伸長的細繩，繩的一端掛可伸長的細繩，繩的一端掛有物體有物體A（如圖），已知滑輪（如圖），已知滑輪繞 軸繞 軸 O 的 轉(zhuǎn) 動 規(guī) 律的 轉(zhuǎn) 動 規(guī) 律 j j =0.15 t3 ，其中，其中t 以以s計，計，j j 以以rad計，試求計，試求t = 2s 時輪緣時輪緣上點上點M和物體和物體A的速度和加速的速度和加速度。度。 例例 題題 5-7理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)58 首先根據(jù)滑輪的轉(zhuǎn)動規(guī)律，首先根據(jù)滑輪的轉(zhuǎn)動規(guī)律，求得它的角速度和角加速度求得它的

41、角速度和角加速度，245. 0t j jw wt 9 . 0 j j 代入代入 t =2 s， 得得輪緣上點輪緣上點M 在在 t =2 s 時的速度時的速度為為 s/m 36. 0rad/s8 . 1m2 . 0 w wrvM解：解：例例 題題 5-7， srad 81/. w w2srad 81/. r = 0.2 m理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)5922ts/m 360rad/s8 . 1m2 . 0.ra 222ns/m 648. 0rad/s)8 . 1(m2 . 0 w wra全加速度全加速度 aM 的大小和方向的大小和方向: s/m 741. 0m/s648.

42、 036. 022222n2t aaaM,556. 08 . 18 . 1 tan22 w w 29 例例 題題 5-7加速度的兩個分量加速度的兩個分量:， srad 81/. w w2srad 81/. r = 0.2 m理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)60 因為因為物體物體A與輪緣上點與輪緣上點M的的運動不同，前者作運動不同，前者作直線平移直線平移，而后者隨滑輪作而后者隨滑輪作圓周運動圓周運動，因，因此，兩者的速度和加速度都不此，兩者的速度和加速度都不完全相同。由于細繩不能伸長，完全相同。由于細繩不能伸長，物體物體A與點與點M的速度大小相等，的速度大小相等，A的加速度與

43、點的加速度與點M切向加速度的切向加速度的大小也相等，于是有大小也相等，于是有sm 360/.vvMA 2tsm 360/.aaA 它們的方向鉛直向下。它們的方向鉛直向下。例例 題題 5-7理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)61 半徑半徑R=0.2m的滑輪可繞水平的滑輪可繞水平軸軸O 轉(zhuǎn)動，輪緣上繞有不能伸長轉(zhuǎn)動，輪緣上繞有不能伸長的細繩，繩的一端與滑輪固連，的細繩，繩的一端與滑輪固連，另一端則系有物塊另一端則系有物塊A，設(shè)物塊，設(shè)物塊A從位置從位置B出發(fā)，以勻加速度出發(fā)，以勻加速度 a= 4.9m/ s2向 下 降 落 ， 初 速向 下 降 落 ， 初 速 v0=4m/s，試

44、求當物塊落下距離，試求當物塊落下距離s=2m時輪緣上一點時輪緣上一點 M 的速度和的速度和加速度。加速度。例例 題題 5-8理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)62解：系統(tǒng)為勻變速轉(zhuǎn)動，根據(jù)解：系統(tǒng)為勻變速轉(zhuǎn)動，根據(jù) v2 v02 = 2as，得點，得點M的速度的速度點點M的法向加速度的法向加速度:點點M的切向加速度的切向加速度: 點點M的全加速度的全加速度:s/m 96. 5(4m/s)m2m/s9 . 4222220 vasv2tm/s9 . 4dd atva222202nm/s6 .177m2 . 0(4m/s)m2m/s9 . 422 Rvasva 22n2tsm 17

45、8/aaa 例例 題題 5-8理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)63 減速箱由四個齒輪構(gòu)成，如圖所示。齒輪減速箱由四個齒輪構(gòu)成，如圖所示。齒輪和和III安裝在同一軸上，與軸一起轉(zhuǎn)動。各齒輪的齒數(shù)安裝在同一軸上，與軸一起轉(zhuǎn)動。各齒輪的齒數(shù)分別為分別為z1=36，z2=112 ，z3=32 和和 z4=128 ，如主動輪，如主動輪的轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)速n1=1450 r/min，試求從動輪，試求從動輪的轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)速n4。例例 題題 5-9理論力學電子教案理論力學電子教案運動學基礎(chǔ)運動學基礎(chǔ)64解：用解：用n1， n2 ， n3和和n4分分別表示各齒輪的轉(zhuǎn)速，且有別表示各齒輪的轉(zhuǎn)速，且有32nn 傳動比傳動比i12，i34為為, 122112zznni