理論力學(xué)第十二章

1、12 121 力的功力的功 122 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 123 動(dòng)能定理動(dòng)能定理 124 功率功率 功率方程功率方程 機(jī)械效率機(jī)械效率 125 勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng) 勢(shì)能勢(shì)能 機(jī)械能守恒定理機(jī)械能守恒定理 12-6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例普遍定理的綜合應(yīng)用舉例第十二章第十二章 動(dòng)能定理動(dòng)能定理3 與動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理用矢量法研究不同，動(dòng)能定理用能量法研究動(dòng)力學(xué)問題。能量法不僅在機(jī)械運(yùn)動(dòng)的研究中有重要的應(yīng)用，而且是溝通機(jī)械運(yùn)動(dòng)和其它形式運(yùn)動(dòng)的橋梁。動(dòng)能定理建立了與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的物理量動(dòng)能和作用力的物理量功之間的聯(lián)系，這是一種能量傳遞的規(guī)律。12-1力的功力的功 力的功是力沿路程累積效應(yīng)的

2、度量。力的功是力沿路程累積效應(yīng)的度量。SFFSW cos力的功是代數(shù)量。時(shí),正功；時(shí),功為零；時(shí),負(fù)功。單位：焦耳（）；222m1N1J1一常力的功一常力的功4二變力的功二變力的功 dsFrdF ZdzYdyXdxkdzjdyidxrdkZjYiXF,()ZdzYdyXdxrdF力在曲線路程中作功為F21MM2121cosMMMMdsFdsFW（自然形式表達(dá)式）21MMrdF（矢量式）21MMZdzYdyXdx（直角坐標(biāo)表達(dá)式）dsFWcos元功元功：5三合力的功三合力的功 質(zhì)點(diǎn)M 受n個(gè)力 作用合力為則合力的功nFFF,21 iFRRrdFFFrdRWnMMMM )(212121rdFrdF

3、rdFMMnMMMM 21212121nWWW 21 即 在任一路程上，合力的功等于各分力功的代數(shù)和。iWW6四常見力的功四常見力的功 1重力的功重力的功21)(21zzzzmgmgdzW質(zhì)點(diǎn)系：)()(2121CCiiiizzMgzzgmWW 質(zhì)點(diǎn)系重力的功，等于質(zhì)點(diǎn)系的重量與其在始末位置重質(zhì)點(diǎn)系重力的功，等于質(zhì)點(diǎn)系的重量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與各質(zhì)點(diǎn)的路徑無關(guān)。心的高度差的乘積，而與各質(zhì)點(diǎn)的路徑無關(guān)。mgZYX , 0 , 0質(zhì)點(diǎn)：重力在三軸上的投影：72彈性力的功彈性力的功彈簧原長(zhǎng)，在彈性極限內(nèi)k彈簧的剛度系數(shù)，表示使彈簧發(fā)生單位變形時(shí)所需的力。N/m , N/cm。0l0

4、0)(rlrkFrrr/0212100)(mMMMrdrlrkrdFWdrrdrrrdrrdrrrdr)(21)(2120200)( 2 )(2121lrdkdrlrkWrrrr022011202201, )()(2lrlrlrlrk令)( 22212 kW即彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了變形有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無關(guān)。變形有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無關(guān)。8dFmrdFdsFWz)()(1221)( dFmWz作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的功等于力矩的功。作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的功等于力矩的功。21mdW若m = 常量, 則)(12 mW注意：功的符號(hào)的確定。注意：功的

5、符號(hào)的確定。3萬(wàn)有引力的功萬(wàn)有引力的功)11(120rrGmmW萬(wàn)有引力所作的功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。如果作用力偶，m , 且力偶的作用面垂直轉(zhuǎn)軸 4作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功，力偶的功作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功，力偶的功設(shè)在繞 z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上M點(diǎn)作用有力，計(jì)算剛體轉(zhuǎn)過一角度 時(shí)力所作的功。M點(diǎn)軌跡已知。FFbnFFFF90dtvrdC0dtvFrdFWC正壓力，摩擦力作用于瞬心C處，而瞬心的元位移NF(2) 圓輪沿固定面作純滾動(dòng)時(shí)，滑動(dòng)摩擦力的功圓輪沿固定面作純滾動(dòng)時(shí)，滑動(dòng)摩擦力的功(3) 滾動(dòng)摩擦阻力偶滾動(dòng)摩擦阻力偶m的功的功 5摩擦力的功摩擦力的功(1) 動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的功動(dòng)

6、滑動(dòng)摩擦力的功2121MMMMNdsfdsFWN=常量時(shí), W= fN S, 與質(zhì)點(diǎn)的路徑有關(guān)。RsmmW若m = 常量則10五質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功五質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功 只要只要A、B兩點(diǎn)間距離保持不變兩點(diǎn)間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零內(nèi)力的元功和就等于零。 不變質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力功之和等于零。剛體的內(nèi)力功之和等于零。不變質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力功之和等于零。剛體的內(nèi)力功之和等于零。不可伸長(zhǎng)的繩索內(nèi)力功之和等于零不可伸長(zhǎng)的繩索內(nèi)力功之和等于零。BArdFrdFWBArdFrdF)(BArrdF)(BAdF11六理想約束反力的功六理想約束反力的功約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束約束反力元功為零或元功之

7、和為零的約束稱為理想約束。1光滑固定面約束光滑固定面約束2活動(dòng)鉸支座、固定鉸支座和向心軸承活動(dòng)鉸支座、固定鉸支座和向心軸承3剛體沿固定面作純滾動(dòng)剛體沿固定面作純滾動(dòng)4聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）5柔索約束（不可伸長(zhǎng)的繩索）柔索約束（不可伸長(zhǎng)的繩索）拉緊時(shí)，內(nèi)部拉力的元功之和恒等于零。)( 0)(rdNrdNWNrdNrdNWN)(0rdNrdN1212-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 物體的動(dòng)能是由于物體運(yùn)動(dòng)而具有的能量，是機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的又一種度量。 一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能 二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 221mvT 瞬時(shí)量,與速度方向無關(guān)的正標(biāo)量,具有與

8、功相同的量綱,單位也是J。221iivmT 對(duì)于任一質(zhì)點(diǎn)系：（ 為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的速度）iv222121iiCvmMvT柯尼希定理132J21PT （P為速度瞬心）2JJMdCP22222J21 21)(21J21CCCvMdM22222121)(2121CiiiMvMvvmvmT2222J21)(2121ziiiirmvmT1平動(dòng)剛體平動(dòng)剛體2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體3平面運(yùn)動(dòng)剛體平面運(yùn)動(dòng)剛體三剛體的動(dòng)能三剛體的動(dòng)能1412-3動(dòng)能定理動(dòng)能定理1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：)21()(2)( 2mvdvvdmdtvvmdtd而Wmvd)21(2因此動(dòng)能定理的微分形式動(dòng)能定理的微分形式

9、將上式沿路徑積分，可得21MMWmvmv21222121動(dòng)能定理的積分形式動(dòng)能定理的積分形式兩邊點(diǎn)乘以，有dtvrdrdFdtvvmdtdFvmdtdFam)( 15對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中的一質(zhì)點(diǎn) ：iMiiiWvmd)21(2即 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式iWdT21MMWTT12質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理可寫成以下的形式)(12)( ; FFWTTWdTiiiiiiWvmdWvmd)21( )21(22對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，有2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理將上式沿路徑 積分，可得16例例1 圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤A、B各重P，半

10、徑均為R, 兩盤中心線為水平線, 盤A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問下落距離h時(shí)重物的速度與加速度。(繩重不計(jì)，繩不可伸長(zhǎng)，盤B作純滾動(dòng)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止)17解解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象)/( )(RhQhmWF01T222221 2121BCAOIvgQIT)78(16232121221222222PQgvRgPvgQRgPBA)(12FWTT由PQhgQRMvhQRMPQgv78)/(4 )(0)78(162上式求導(dǎo)得：)( )(21678dtdhvdtdhQRMdtdvvgPQPQgQRMa78)/(818動(dòng)能定理的應(yīng)用練習(xí)題動(dòng)能定理的應(yīng)用練習(xí)題 1圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30k

11、g，桿在鉛垂位置時(shí)彈簧處于自然狀態(tài)。設(shè)彈簧常數(shù)k =3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉(zhuǎn)到水平位置OA，在鉛直位置時(shí)的角速度至少應(yīng)為多大？解解：研究OA桿)(212 . 12221)(kPWF)22 . 14 . 2(03000212 . 18 . 93022) J (4 .388, 8 .284 . 2303121202021T02T由)(12FWTTrad/s67. 3 4 .3888 .280020192行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu), 放在水平面內(nèi)。 動(dòng)齒輪半徑r ,重P, 視為均質(zhì)圓盤；曲柄重Q, 長(zhǎng)l , 作用一力偶, 矩為M(常量), 曲柄由靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)； 求曲柄的角速度 (以轉(zhuǎn)角 的函數(shù)表示

12、) 和角加速度。解解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象MWF)(01T21221222 2 2121321grPvgPgQlTrlrvlv111 , 222222221292)( 4 )(26lgPQrlgrPlgPgQlT根據(jù)動(dòng)能定理，得MlgPQ0129222PQgMl9232將式對(duì)t 求導(dǎo)數(shù)，得2)92(6lPQgM203兩根均質(zhì)直桿組成的機(jī)構(gòu)及尺寸如圖示；OA桿質(zhì)量是AB桿質(zhì)量的兩倍，各處摩擦不計(jì)，如機(jī)構(gòu)在圖示位置從靜止釋放，求當(dāng)OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時(shí)，AB桿B 端的速度。mgmgmgWF35. 1)15. 06 . 0(29 . 02)(01T2222219 . 023121mvmTv9 . 0得

13、代入到 )(1222 65FWTTmvTm/s98. 3 35. 10652vmgmv解解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象2112-4功率功率 功率方程功率方程 機(jī)械效率機(jī)械效率一功率一功率：力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功（它是衡量機(jī)器工作能力的一個(gè)重要指標(biāo)）。功率是代數(shù)量，并有瞬時(shí)性。dtWN作用力的功率：vFvFdtrdFdtWN力矩的功率：30nMMdtdMdtWNzzz功率的單位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s 。22二功率方程二功率方程：由 的兩邊同除以dt 得WdT無用有用輸入即NNNNdtdTdtWdtdT 分析：起動(dòng)階段（加速）：即制動(dòng)階段（減速）：即穩(wěn)定階段（勻速）：即0dtdT0dtd

14、T0dtdT無用有用輸入NNN無用有用輸入NNN無用有用輸入NNN機(jī)器穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，機(jī)械效率0/dtdT%100輸入有用NN是評(píng)定機(jī)器質(zhì)量?jī)?yōu)劣的重要指標(biāo)之一。一般情況下 。2312-5勢(shì)力場(chǎng)、勢(shì)能、機(jī)械能守恒定律勢(shì)力場(chǎng)、勢(shì)能、機(jī)械能守恒定律一勢(shì)力場(chǎng)一勢(shì)力場(chǎng)1力場(chǎng)力場(chǎng)：若質(zhì)點(diǎn)在某空間內(nèi)的任何位置都受到一個(gè)大小和方向完全由所在位置確定的力的作用，則此空間稱為力場(chǎng)。重力場(chǎng)、萬(wàn)有引力場(chǎng)、彈性力場(chǎng)都是勢(shì)力場(chǎng)。質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)力場(chǎng)中受到的場(chǎng)力稱為有勢(shì)力(保守力),如重力、彈力等。2勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng)： 在力場(chǎng)中, 如果作用于質(zhì)點(diǎn)的場(chǎng)力作功只決定于質(zhì)點(diǎn)的始末位置，與運(yùn)動(dòng)路徑無關(guān)，這種力場(chǎng)稱為勢(shì)力場(chǎng)。24二勢(shì)能二勢(shì)能在勢(shì)力場(chǎng)

15、中, 質(zhì)點(diǎn)從位置M 運(yùn)動(dòng)到任選位置M0, 有勢(shì)力所作的功稱為質(zhì)點(diǎn)在位置M 相對(duì)于位置M0的勢(shì)能，用V 表示。00MMMMZdzYdyXdxrdFVM0作為基準(zhǔn)位置，勢(shì)能為零，稱為零勢(shì)能點(diǎn)。勢(shì)能具有相對(duì)性。dVZdzYdyXdx),(zyxVV 是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。等勢(shì)面：質(zhì)點(diǎn)位于該面上任何地方，勢(shì)能都相等。等勢(shì)面：質(zhì)點(diǎn)位于該面上任何地方，勢(shì)能都相等。dzzVdyyVdxxVdV , , zVZyVYxVX質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能： ioiMMiiiiiinnndzZdyYdxXzyxzyxV)(),(111251.重力場(chǎng)重力場(chǎng) 質(zhì)點(diǎn)： 質(zhì)點(diǎn)系：2. 彈性力場(chǎng)彈性力場(chǎng)：取彈簧的自然位置為零勢(shì)能點(diǎn)3. 萬(wàn)有

16、引力場(chǎng)萬(wàn)有引力場(chǎng)：取與引力中心相距無窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能位置PhzzPV)(0hPzzPVCC)(0221kV )(0rrmGmV21有勢(shì)力的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)的始末位置的勢(shì)能之差。有勢(shì)力的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)的始末位置的勢(shì)能之差。三有勢(shì)力的功三有勢(shì)力的功在M1位置：10101WrdFVMM20202WrdFVMMM2位置：21201012VVWWWM1M2：26設(shè)質(zhì)點(diǎn)系只受到有勢(shì)力(或同時(shí)受到不作功的非有勢(shì)力) 作用，則211212VVWTT機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律常量2211 VTVT對(duì)非保守系統(tǒng)，設(shè)非保守力的功為W12 , 則有121122)()(WVTVT四機(jī)械能守恒定律四機(jī)械能守恒定律機(jī)

17、械能：系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能的代數(shù)和機(jī)械能：系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能的代數(shù)和。這樣的系統(tǒng)成為保守系統(tǒng)這樣的系統(tǒng)成為保守系統(tǒng)。例例1 長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)直桿，初瞬時(shí)直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無初速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用桿的傾角和質(zhì)心的位置表達(dá)）。27解解：由于水平方向不受外力，且初始靜止，故質(zhì)心C鉛垂下降。由于約束反力不作功, 主動(dòng)力為有勢(shì)力，因此可用機(jī)械能守恒定律求解。sin2 , sin2 cos12 lylyly即又由機(jī)械能守恒定律：)2(2124120222ylmgymmlmgl將代入上式，化簡(jiǎn)后得sin2ly ygy22sin31sin6mglVT2, 011初瞬時(shí)：222222212412

18、121ymmlymITC)2(2ylmgV任一瞬時(shí)：2812-6普遍定理的綜合應(yīng)用普遍定理的綜合應(yīng)用 動(dòng)力學(xué)普遍定理包括質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)力學(xué)普遍定理包括質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理。動(dòng)能定理。動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理是矢量形式，動(dòng)能定理是標(biāo)量形式，他們都可應(yīng)用研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)能定理還可以研究其它形式的運(yùn)動(dòng)能量轉(zhuǎn)化問題。 動(dòng)力學(xué)普遍定理提供了解決動(dòng)力學(xué)問題的一般方法。動(dòng)力學(xué)普動(dòng)力學(xué)普遍定理提供了解決動(dòng)力學(xué)問題的一般方法。動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用，大體上包括兩方面的含義：遍定理的綜合應(yīng)用，大體上包括兩方面的含義：一是能根據(jù)問題的已知條件和待求量，選擇適當(dāng)?shù)亩ɡ砬?/p>

19、解，包括各種守恒情況的判斷，相應(yīng)守恒定理的應(yīng)用。避開那些無關(guān)的未知量，直接求得需求的結(jié)果。二是對(duì)比較復(fù)雜的問題，能根據(jù)需要選用兩、三個(gè)定理聯(lián)合求解。 求解過程中求解過程中,要正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析要正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析, 提供正確的運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程。提供正確的運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程。 29舉例說明動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用：舉例說明動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用： 例例1 兩根均質(zhì)桿AC和BC各重為P，長(zhǎng)為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設(shè)兩桿軸線始終在鉛垂面內(nèi)，初始靜止，C點(diǎn)高度為h，求鉸C到達(dá)地面時(shí)的速度。30討論 動(dòng)量守恒定理動(dòng)能定理求解。 計(jì)算動(dòng)能時(shí)，利用平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。解解：由于不求系統(tǒng)的內(nèi)力，可以

20、不拆開。研究對(duì)象：整體分析受力：，且初始靜止，所以水平方向質(zhì)心位置守恒。 0)(exFPhhPWF22)(01T222223123121lgPlgPT代入動(dòng)能定理：ghvPhvgPCC3 03122231 CCvgPTlv31 例例2 均質(zhì)圓盤A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質(zhì)量不計(jì)，平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數(shù)f，圓盤作純滾動(dòng)，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。解：選系統(tǒng)為研究對(duì)象)cossin2( cos sin 2)(fSmgmgSfSmgWF22222121212121 0mrmvmvTT運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：rv 2245mvT 由動(dòng)能定理：)cossin2(0452fmgSmv對(duì)求導(dǎo)，得gf

21、a)cos52sin54(32例例3 重150N的均質(zhì)圓盤與重60N、長(zhǎng)24cm的均質(zhì)桿AB在B處用鉸鏈連接。 系統(tǒng)由圖示位置無初速地釋放。求求系統(tǒng)經(jīng)過最低位置B點(diǎn)時(shí)的速度及支座A的約束反力。解解：（：（1）取圓盤為研究對(duì)象）取圓盤為研究對(duì)象; 0)(FmB0 0BBBI00B，圓盤平動(dòng)。33（2）用動(dòng)能定理求速度）用動(dòng)能定理求速度。 取系統(tǒng)研究。初始時(shí)T1=0 ， 最低位置時(shí)：22222121BAvgGIT221222163213121BBBvgGGvgGvgG)30sin)(2()30sin()30sin22(2121)(llGGllGllGWF)(12FWTT)30sin)(2(0632

22、1221llGGvgGGB代入數(shù)據(jù)，得m/s 58. 1Bv34（3）用動(dòng)量矩定理求桿的角加速度）用動(dòng)量矩定理求桿的角加速度 。)31(312221221lgGlgGvlgGlgGLA由于0)()(eAAFmdtdL所以 0 。桿質(zhì)心桿質(zhì)心 C的加速度：的加速度：盤質(zhì)心加速度：盤質(zhì)心加速度：)0( 22CnCCalaa)0( 2BnBBalaarad/s 58. 624. 058. 1lvB（4）由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求支座反力。）由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求支座反力。研究整個(gè)系統(tǒng)。; 021ABcixiXagGagGam代入數(shù)據(jù)，得N401 , 0AAYX2122212GGYlgGlgGamAiyi35 相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩守恒定理相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩守恒定理+動(dòng)能定理動(dòng)能定理+動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理+質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。 可用對(duì)積分形式的動(dòng)能定理求導(dǎo)計(jì)算可用對(duì)積分形式的動(dòng)能定理求導(dǎo)計(jì)算 ，但要注意需取桿，但要注意需取桿AB在在 一般位置進(jìn)行分析一般位置進(jìn)行分析。mLmvPC61)6(12122LmmLILOO291mL222181