《電磁場與電磁波》第三版 電子課件003

1、第3章邊值問題的解法第第3章邊值問題的解法章邊值問題的解法3.1 邊值問題的提法邊值問題的提法 3.2 唯一性定理唯一性定理 3.3 鏡像法鏡像法 3.4 分離變量法分離變量法 3.5 有限差分法有限差分法 習(xí)題習(xí)題第3章邊值問題的解法3.1 邊值問題的提法邊值問題的提法 所謂邊值問題，就是在給定邊界條件下如何求解電場或電位函數(shù)所滿足的方程。就邊界條件而言，不同的問題有不同的給定方式，通?？梢苑譃槿?；而要求解的方程對于靜電場或恒定電場問題通常是電位函數(shù)滿足的方程。因此下面首先來討論邊界條件的分類和電位函數(shù)應(yīng)滿足的方程。 3.1.1 邊值問題的分類 實(shí)際問題總是有邊界的。所有的邊值問題可以歸結(jié)

2、為以下三類： (1) 已知場域邊界面S上各點(diǎn)電位的值，即給定 )(1SfS(3-1-1)稱為第一類邊界條件或狄利克利條件。這類問題稱為第一類邊值問題。 第3章邊值問題的解法 (2) 已知場域邊界面S上各點(diǎn)電位法向?qū)?shù)的值，即給定 )(2SfSn(3-1-2)稱為第二類邊界條件或諾伊曼條件。這類問題稱為第二類邊值問題。 (3) 已知場域邊界面S上各點(diǎn)電位和電位法向?qū)?shù)的線性組合值，即給定 )()(3SfSn(3-1-3)稱為第三類邊界條件或混合邊界條件。這類問題稱為第三類邊值問題。 第3章邊值問題的解法 如果邊界面S是導(dǎo)體，則上述三類問題分別變?yōu)椋阂阎鲗?dǎo)體表面的電位；已知各導(dǎo)體的總電量；已知一

3、部分導(dǎo)體電位和另一部分導(dǎo)體的電荷量。 如果場域伸展到無限遠(yuǎn)處，必須提出所謂無限遠(yuǎn)處的邊界條件。對于電荷分布在有限區(qū)域的情況，則在無限遠(yuǎn)處電位為有限值，即式(3-1-4)稱為自然邊界條件。 必須指出，如果給定邊界上的電位，則該給定邊界上的法向?qū)?shù)也就確定。因?yàn)樵谌我膺吔缟?，它的電位和它上面的電荷密度是相互制約的，若給定了邊界上的電位后，電位的法向?qū)?shù)就不能再任意給定了，反之亦然。 有限值lim rr(3-1-4)第3章邊值問題的解法3.1.2 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程 在線性、各向同性、均勻的電介質(zhì)中，將式(2-1-16)代入式(2-2-9)，得式(3-1-5)稱為靜電場的泊

4、松方程(Poissons Equation)，它表示求解區(qū)域的電位分布取決于當(dāng)?shù)氐碾姾煞植肌?對于那些電荷分布在導(dǎo)體表面的靜電場問題，在感興趣的區(qū)域內(nèi)多數(shù)點(diǎn)的體電荷密度等于零，即V=0，因而有 V2(3-1-5)02(3-1-6)式(3-1-6)稱為拉普拉斯方程(Laplaces Equation)。第3章邊值問題的解法3.2 唯唯 一一 性性 定定 理理 如前所述，所有的邊值問題都可以歸結(jié)為在給定的邊界條件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程的問題。 在靜電場中，在每一類邊界條件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是唯一的，這稱為靜電場的唯一性定理(Uniqueness Theorem)。 下面用反

5、證法來證明在第一類邊界條件下，拉普拉斯方程的解是唯一的。 考慮一個(gè)由表面邊界S包圍的體積V，由格林第一定理： SnVdd )(S V 2(3-2-1)第3章邊值問題的解法SnVSVdd )( 2令上式中=， 得 因?yàn)?=0， 所以有 2SnV SVdd )(2 設(shè)在給定邊界上的電位時(shí)，拉普拉斯方程有 和 兩個(gè)解，由于拉普拉斯方程是線性的，兩個(gè)解的差 也滿足方程 ， 因此有 122102SnVS Vdd )( 2(3-2-4)(3-2-2)(3-2-3)第3章邊值問題的解法0d )(2V V在邊界S上，電位 ， 所以 在邊界S上的值為 ，式(3-2-1)變?yōu)?SSS321021SSS(3-2-2

6、)因?yàn)?非負(fù)， 故只有 ，由此必然得到電位函數(shù) =常數(shù)。又由于邊界上電位的值等于零，即 ， 因此 =0。 所以可以推得 ， 這就證明了解的唯一性。其他兩類邊界條件的證明與上面的證明類似， 在此略去。 2）（00S21第3章邊值問題的解法 唯一性定理給出了拉普拉斯方程(或泊松方程)定解的充分必要條件，這個(gè)定理啟發(fā)我們， 在解拉普拉斯方程(或泊松方程)的時(shí)候，不管采用什么方法，只要能找到一個(gè)既能滿足給定的邊界條件，又能滿足拉普拉斯方程(或泊松方程)的電位函數(shù)，則這個(gè)解就是正確的。任何一種方法求得的同一問題的解必然是完全相同的。下面介紹的鏡像法和分離變量法就是唯一性定理的應(yīng)用。 第3章邊值問題的解法

7、3.3 鏡像法鏡像法 鏡像法是解靜電場問題的一種間接方法，它巧妙地應(yīng)用唯一性定理，使某些看來難解的邊值問題易于解決。 當(dāng)實(shí)際電荷(或電荷分布)靠近導(dǎo)體表面時(shí)，由于導(dǎo)體表面上出現(xiàn)感應(yīng)電荷，必然會對實(shí)際電荷的場產(chǎn)生影響。例如地球?qū)芸諅鬏斁€所產(chǎn)生電場的影響就不可忽略。類似的，發(fā)射或接收天線的場分布會因支撐它們的金屬導(dǎo)電體的出現(xiàn)而顯著地改變。也就是說，為了計(jì)算空間的場，不僅要考慮原電荷的電場，還要考慮感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場，這就必須知道導(dǎo)體表面的電荷分布。但是要直接分析這些問題往往是復(fù)雜而困難的。 第3章邊值問題的解法 所謂鏡像法，就是暫時(shí)忽略邊界的存在，在所求的區(qū)域之外放置虛擬電荷來代替實(shí)際導(dǎo)體表面上

8、復(fù)雜的電荷分布來進(jìn)行計(jì)算。這個(gè)虛擬的電荷被稱為實(shí)際電荷的鏡像(Image)。 根據(jù)唯一性定理，只要鏡像電荷與實(shí)際電荷一起產(chǎn)生的電位能滿足給定的邊界條件，又在所求的區(qū)域內(nèi)滿足拉普拉斯方程， 這個(gè)結(jié)果就是正確的。 使用鏡像法時(shí)要注意以下三點(diǎn)： (1) 鏡像電荷是虛擬電荷； (2)鏡像電荷置于所求區(qū)域之外； (3)導(dǎo)電體的表面是等位面。 第3章邊值問題的解法3.3.1 點(diǎn)電荷與平面邊界點(diǎn)電荷與平面邊界 在無限大導(dǎo)電平面上方d處有一點(diǎn)電荷，則導(dǎo)電平面對點(diǎn)電荷的影響可以用置于導(dǎo)電平面下方的鏡像電荷q來代替， 如圖3-1所示， 空間任一點(diǎn)P(x, y, z)的電位為 )(1)(1(4 )11(422222

9、20210dzyxdzyxqrrq(3-3-1)第3章邊值問題的解法圖3-1 平面邊界上的點(diǎn)電荷與其鏡像第3章邊值問題的解法 下面來驗(yàn)證解的正確性。 顯然，電位函數(shù) 在上半平面(除點(diǎn)電荷所在的點(diǎn)外)均滿足拉普拉斯方程，即 ，而在邊界上(z=0的平面)，電位函數(shù)滿足 的邊界條件。根據(jù)唯一性定理，式(3-3-1)必是所求問題的解。 由此可知，點(diǎn)P(x, y, z)處的電場強(qiáng)度為 0200zzyxrzrzryryrxrxqEaaa)()()(43132313231320(3-3-2)第3章邊值問題的解法在導(dǎo)電平面上，有 r1= r2= r = ， 電場強(qiáng)度簡化為222dyxzrqdEa3042導(dǎo)體表

10、面的感應(yīng)電荷密度為 3042)(rqdzSEa如果將無限大導(dǎo)電平面看做半徑為無限大的圓， 則在無限大導(dǎo)電平面表面的感應(yīng)電荷為qqdSQSS2 0 0 2322d )h(d 42d(3-3-5)(3-3-4)(3-3-3)可見， 導(dǎo)體表面感應(yīng)的總電荷正是預(yù)期值q。 第3章邊值問題的解法 當(dāng)一點(diǎn)電荷置于兩平行導(dǎo)電平面之中時(shí)，其鏡像電荷數(shù)趨于無窮。然而，對于兩相交平面，若兩平面的夾角為，且360/為偶數(shù)，則可以用鏡像法來求解，此時(shí)鏡像電荷的個(gè)數(shù)為360/1，再加上原電荷總共有360/個(gè)。對于平面邊界，這些點(diǎn)電荷位于與原電荷關(guān)于邊界對稱的位置上，且兩者大小相等、符號相反。若360/不是偶數(shù)，則鏡像電荷

11、就會出現(xiàn)在所求區(qū)域之內(nèi)，這將改變該區(qū)域內(nèi)電位所滿足的方程，因而不能用鏡像法求解。 【例3-1】圖3-2所示為自由空間垂直放置的兩個(gè)半無限大導(dǎo)電接地平面組成的直角劈，今有一電量為100 nC的點(diǎn)電荷置于點(diǎn)(3，4，0)，求點(diǎn)(3，5，0)處的電位和電場強(qiáng)度，其中各坐標(biāo)單位為m。 第3章邊值問題的解法 解解 兩平面夾角為90，則n=360/90=4。為滿足邊界上電位為零，需要三個(gè)虛擬電荷，如圖32所示，則所求點(diǎn)(3，5， 0)處的電位為)1111(443210rrrrq其中, 22242223222222214)(3)(4)(3)(4)(3)(4)(3)(zyxrzyxrzyxrzyxr第3章邊值

12、問題的解法所以在點(diǎn)(3，5，0)處的電位 =735.2 V根據(jù) zyxzyxEaaa該點(diǎn)處的電場強(qiáng)度為 E =19.8ax+891.36ay V/m對于曲面邊界情形，鏡像電荷的量值與原電荷量值不一定相等，且其位置一般也不與實(shí)際電荷關(guān)于邊界對稱。 第3章邊值問題的解法圖3-2 兩垂直平面間的點(diǎn)電荷第3章邊值問題的解法3.3.2點(diǎn)電荷與球面邊界點(diǎn)電荷與球面邊界 自由空間中接地導(dǎo)體球半徑為a，一個(gè)點(diǎn)電荷q置于距球心距離d處，如圖3-3所示。此時(shí)仍然用鏡像法討論，即接地導(dǎo)體球?qū)c(diǎn)電荷的影響可以用置于導(dǎo)體球內(nèi)部的鏡像電荷來代替。 那么，此時(shí)鏡像電荷的大小和位置如何確定呢？ 由于導(dǎo)電球面彎曲，因此鏡像電荷

13、在數(shù)量上一般不等于真實(shí)電荷q。假設(shè)為q1=mq，其位置應(yīng)在球內(nèi)，又因?yàn)閷?dǎo)體球在靠近點(diǎn)電荷的一邊感應(yīng)電荷密度大，而遠(yuǎn)離點(diǎn)電荷的一邊感應(yīng)電荷密度小，同時(shí)考慮到球上的電荷分布左右應(yīng)對稱， 所以鏡像電荷將位于上半球內(nèi)的球心與實(shí)際電荷的連線上，設(shè)在距原點(diǎn)b處 ,則球外任意點(diǎn)處由原電荷和鏡像電荷共同產(chǎn)生的電位為 第3章邊值問題的解法圖3-3 接地導(dǎo)體球外的點(diǎn)電荷第3章邊值問題的解法)1(4210rmrq(3-3-6)式中， cos2cos2222221rbbrrrddrr 電位函數(shù)在球表面處滿足電位為零的邊界條件，即在r = a處對任意角度，有 ararrbbrmrddrcos2cos212222(3-3

14、-7)第3章邊值問題的解法為確定m和b，需要兩個(gè)方程。將上式兩邊平方，并令cos的系數(shù)及其余項(xiàng)相等， 可得 222222()22admabadmab由此解出 damdab，2(3-3-8)(3-3-9)因此， 鏡像電荷的大小為 qdaq1(3-3-10)第3章邊值問題的解法 顯然，m1，只有當(dāng)d=a時(shí)，才有m=1。亦即僅當(dāng)真實(shí)電荷在球面上時(shí)，鏡像電荷在數(shù)量上才等于真實(shí)電荷。當(dāng)電荷q向遠(yuǎn)離球體的方向移動時(shí)，鏡像電荷則趨向于球心。 球體表面的電荷密度等于電通量密度的法向分量， 即 2/3222200)cos2(4r )(addaadaqarrrSaDa(3-3-11) 將球體表面電荷密度沿整個(gè)球面

15、積分即可得其總的感應(yīng)電荷量為mq，顯然與鏡像電荷相同。這正說明了鏡像法是利用鏡像電荷代替復(fù)雜感應(yīng)電荷分布以實(shí)現(xiàn)原區(qū)域中場的分析。 第3章邊值問題的解法 當(dāng)球不接地時(shí)，球面電位不等于零，而球面上的凈電荷為零。為滿足導(dǎo)體表面凈電荷等于零的邊界條件，需再加入一個(gè)鏡像電荷q2=q1，其位置在球心以保持球面仍為等位面。此時(shí)，球外任一點(diǎn)的電位為 )r1(4210rmrmq此時(shí)，球的電位等于q2在球面上產(chǎn)生的電位， 即 00244qaq 鏡像法不僅適用于原電荷為點(diǎn)電荷的情況，也同樣適用于原電荷為線電荷的情況。下面討論線電荷的鏡像問題。 (3-3-12)(3-3-13)第3章邊值問題的解法3.3.3線電荷的鏡

16、像線電荷的鏡像 自由空間中無限長接地導(dǎo)體圓柱半徑為a，一個(gè)線電荷密度為l的無限長帶電直線置于離圓柱軸線距離d處，如圖3-4所示。 因?yàn)閷?dǎo)體圓柱接地，所以導(dǎo)體圓柱內(nèi)的電位和電場均為零，在無限長帶電直線所在的位置以外的區(qū)域(亦在導(dǎo)體圓柱外)，電位函數(shù)應(yīng)滿足拉普拉斯方程，即 002S其中， S代表圓柱表面。 (3-3-14)第3章邊值問題的解法圖3-4 接地?zé)o限長導(dǎo)體圓柱外的線電荷第3章邊值問題的解法 導(dǎo)體圓柱在帶電直線的作用下，柱面上將出現(xiàn)感應(yīng)電荷。 導(dǎo)體圓柱外空間任一點(diǎn)的電位應(yīng)該為帶電直線感應(yīng)電荷和柱面上感應(yīng)電荷分別產(chǎn)生的電位疊加。假設(shè)感應(yīng)電荷為 l , 其位置在導(dǎo)體圓柱內(nèi)，因?yàn)閷?dǎo)體圓柱在靠近線

17、電荷的一邊感應(yīng)電荷密度大，而遠(yuǎn)離線電荷的一邊感應(yīng)電荷密度小，同時(shí)考慮到圓柱上的電荷分布上下應(yīng)對稱，所以鏡像電荷將位于圓柱軸線與實(shí)際帶電線電荷的連線上，設(shè)在距原點(diǎn)b處，則柱外任意點(diǎn)P處的電位為 )lnln(210 adadll(3-3-15)第3章邊值問題的解法式中：cos2cos22222bbdd 電位函數(shù)在圓柱表面處滿足電位為零的邊界條件，即在=a處對任意角度，有 222222)(cos2ln )(cos2ln baabbaadaddall(3-3-16)另外，在導(dǎo)體圓柱表面電場強(qiáng)度的切向分量等于零，即 0a(3-3-17)第3章邊值問題的解法由此得到合理的解為 lldab，2(3-3-18

18、)此時(shí)圓柱外空間任一點(diǎn)處的電位為 aldln20(3-3-19)圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為 )cos2(2)(22220addaaadlaS(3-3-20)第3章邊值問題的解法llaSSaddaazaadSd)cos2( d 2)( d10 2 0 22220 單位長度圓柱上的感應(yīng)電荷為 (3-3-21) 可見，感應(yīng)電荷的總量與鏡像電荷的大小相等。鏡像法的本質(zhì)就是用集中鏡像電荷作用代替分布的感應(yīng)電荷。 第3章邊值問題的解法 【例【例3-2】兩半徑均為a的無限長平行雙導(dǎo)線，導(dǎo)線間距為D，若導(dǎo)線間的電壓為U，求空間內(nèi)任一點(diǎn)的電位和單位長度的電容。 解解 由于兩圓柱導(dǎo)體間的電壓為U，因此兩圓柱導(dǎo)體帶

19、等量異號的電荷。當(dāng)兩導(dǎo)體間距離較近時(shí)，由于正、負(fù)電荷相互吸引，因此兩導(dǎo)體表面上的電荷分布不均勻，相互靠近的一側(cè)電荷密度大，相互遠(yuǎn)離的一側(cè)電荷密度小?？梢詫蓤A柱導(dǎo)體上的電荷分布看成是集中分布的線電荷l和-l，設(shè)它們的位置如圖3-5所示， 則利用接地導(dǎo)體圓柱的鏡像得 hab2第3章邊值問題的解法圖3-5無限長平行雙導(dǎo)線的電位與單位長度的電容第3章邊值問題的解法由于h+b=D， 因此可得 2242aDDh而 2242aDDhDb以原點(diǎn)為參考點(diǎn)，線電荷l和-l在空間任意點(diǎn)P處所產(chǎn)生的電位分別為 0000ln2ln2ll第3章邊值問題的解法ln20lP處的總電位為 右邊圓柱上任一點(diǎn)的電位為 halln

20、20右左邊圓柱上任一點(diǎn)的電位為 ahlln20左左因此， 兩圓柱導(dǎo)體間的電壓為 ahUlln0右左左第3章邊值問題的解法單位長度的電容為 ）1-)2(2ln(20aDaDC 上式求得的雙導(dǎo)線單位長度的電容與第2章中求得的電容計(jì)算公式(2-4-2)有所不同，這是由于上面的計(jì)算過程考慮了兩導(dǎo)線間電荷的相互作用，使電荷的中心位置發(fā)生了偏移。這也提示我們，當(dāng)兩導(dǎo)線相互靠近時(shí)，其上的電荷分布會相互影響。如果Da， 此時(shí)電荷中心不會偏離圓柱中心軸， 則有 )ln(0aDC這與第2章的結(jié)果完全一致。 第3章邊值問題的解法3.4 分分 離離 變變 量量 法法3.4.1直角坐標(biāo)系中的分離變量法直角坐標(biāo)系中的分離

21、變量法 如果待求問題的邊界面形狀適合用直角坐標(biāo)系表示，則用直角坐標(biāo)系中的分離變量法求解。在直角坐標(biāo)系中，電位函數(shù)的拉普拉斯方程為 0222222zyx(3-4-1)第3章邊值問題的解法 當(dāng)邊界結(jié)構(gòu)滿足各坐標(biāo)相互獨(dú)立時(shí)，可將待求的電位函數(shù) 用三個(gè)單變量函數(shù)的乘積來表示，即 (x, y, z)= f (x)g(y)h(z)將式(3-4-2)代入式(3-4-1)中，并除 以后， 得 (3-4-2)0dd1dd1dd1222222zhhyggxff(3-4-3)注意到式(3-4-3)三項(xiàng)中的每一項(xiàng)都是一個(gè)單變量的函數(shù)，因此要使上式成立，只有每項(xiàng)等于常數(shù)，且三個(gè)常數(shù)之和等于0， 即 第3章邊值問題的解法

22、7)-4-(3 06)-4-(3 dd15)-4-(3 dd14)-4-(3 dd1222222222222zyxzyxkkkkzhhkyggkxff 上面各式中， kx、ky和kz稱為分離常數(shù)。由式(3-4-7)可知，kx、ky、kz中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，且它們不能全為實(shí)數(shù)，也不能全為虛數(shù)或者為零。常系數(shù)二階微分方程式(3-4-4)式(3-4-6)的解的形式由分離常數(shù)的取值決定。 第3章邊值問題的解法 以 f (x)為例, 若kx為實(shí)數(shù)，則微分方程式(3-4-4)的解為 f (x)=A1sinkxx+A2coskxx (3-4-8) 若kx為虛數(shù)，令kx=jx(x為實(shí)數(shù)), 則微分方程(3-4

23、-4)的解為 f (x)=B1sinhxx+B2coshxx (3-4-9)或 f (x)=B 1exp(xx)+B 2exp(-xx) (3-4-10) 若kx=0，則微分方程式(3-4-4)的解為 f (x)=C1x+C (3-4-11) 第3章邊值問題的解法 g(y)、h(z)和f (x)的情況類似，ky和kz的取值不同，方程式(3-4-5)和式(3-4-6)對應(yīng)的解的形式亦不同。這樣，根據(jù)滿足式(3-47)的kx、ky和kz取值的不同組合情況，拉普拉斯方程的解(x, y, z)= f (x)g(y)h(z)也將有不同的組合形式。然而，根據(jù)唯一性定理，在給定的邊界條件下，拉普拉斯方程的解

24、是唯一的因此，對于給定邊界條件的具體問題的解，拉普拉斯方程解的形式由邊界條件來確定。下面舉例說明。 【例3-3】如圖3-6所示長方形截面的導(dǎo)體槽，槽可以視為無限長，其上有一塊與槽絕緣的蓋板，槽的電位為0，蓋板的電位為U0，求槽內(nèi)的電位函數(shù)。 第3章邊值問題的解法 解解 因?yàn)椴垩貁方向無限長，所以電位函數(shù)與z無關(guān)，這是一個(gè)矩形域的二維場問題。 在直角坐標(biāo)系中， 電位函數(shù)(x, y)的拉普拉斯方程為 by,axyx0 0 02222其邊界條件為 0000000 00 0U,ax,bxax,yby,axby,x令(x, y)= f (x)g(y)，則由分離變量法可得以下三個(gè)方程： 第3章邊值問題的解

25、法 0 dd1 dd122222222yxyxkkkyggkxff在 f (x)的三種可能的解中，只有 f (x)=A1sinkxx，且kx的取值必須為kx= (n=1, 2, 3, )，才能滿足 |x=0, 0yb=0和 |x=a, 0yb=0 的邊界條件，sin 稱為方程式(3-4-4)在上述邊界條件下的本征函數(shù)(Eigenfunction)，kx= 稱為本征值(Eigenvalue)。 annaxan第3章邊值問題的解法222)(jankkxy 由于 ，若要g(y)的解滿足 | y=0,0 xa=0的邊界條件，只有yanBygsinh)(1因此, 電位函數(shù)(x, y)的通解為 yanxa

26、nDyanxanBAyxnnnnnsinhsinsinhsin),(11式中，系數(shù)Dn由 |y=b, 0 xa=U0的邊界條件決定，即 banxanDUbxnnsinhsin),(10第3章邊值問題的解法將上式進(jìn)行傅立葉級數(shù)展開，即等式兩邊同乘以sin ， 再對x從0到a積分，得xam annaxxambanxanDxxamU 01 00 )dsinsinhsin( )dsin( 等式的左邊：)co1 ( )dsin( 0 00smmaUxxamUa利用三角函數(shù)的正交性質(zhì)，有 mnamnxxamxana 2 0 )dsin(sin 0第3章邊值問題的解法等式的右邊： amnnbamDaxxam

27、banxanD 01 sinh2)dsinsinhsin( 故 0m4 1,3,5,sinhUDmnmba因此， 槽內(nèi)的電位函數(shù)為 1,3,5,n sinh sin sinh4),(10banxanbannUyxn第3章邊值問題的解法【例3-4】如圖3-7所示的兩板距離為d的平行板電容器中存在著體密度為V的恒定電荷，其中一塊板的電位為0，另一塊板的電位為U0，求電容器內(nèi)的電位分布。 解解 因?yàn)槠叫邪咫娙萜髦械碾姾审w密度V是恒定的，介質(zhì)為空氣，且兩極板的電位為給定值，所以它屬于第一類邊值問題。 第3章邊值問題的解法圖3-7 電容器中的電位第3章邊值問題的解法 由于平行板電容器中的電荷體密度為V，

28、因此電容器內(nèi)的電位函數(shù)應(yīng)滿足泊松方程： 02V其邊界條件為 0 000yx和和由于平行板電容器在y和z方向均為無限大，因此待求區(qū)域內(nèi)的電位函數(shù)僅是變量x的函數(shù)。泊松方程可以寫為 022ddVx第3章邊值問題的解法將上式積分兩次，得到通解 21202CxCxV應(yīng)用邊界條件得 C2=0 0012ddUCV因此，電容器內(nèi)的電位函數(shù)為 )(0 )2(20020dxxddUxVV第3章邊值問題的解法3.4.2圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法 在求解圓柱空間或有柱面邊界的場問題時(shí)，采用圓柱坐標(biāo)系較為方便。圓柱坐標(biāo)系中電位的拉普拉斯方程為 01)(122222z(3-4-12)采用分離變量法

29、，令 (, , z)= f ()g()h(z)，代入上式, 得 0dddd)dd(dd22222zhfggfhfgh(3-4-13)第3章邊值問題的解法將上式兩邊同除以 , 得 22222dd1dd1)dd(dd1zhhggff要使上式對所有的、和z均成立，等式的兩端必須等于常數(shù)，令其為k2，則有2222222dd1k)dd(dddd1ggffkzhh(3-4-14)(3-4-15)(3-4-16)第3章邊值問題的解法要使方程式(3-4-16)對所有的、都成立，必須使方程兩端都等于常數(shù)，令此常數(shù)為n2，則有 0)dd(dd0dd222222nkffgng方程式(3-4-15)和式(3-4-17

30、)的解的形式分別為 h(z)=Asinhkz+Bcoshkz (3-4-19) g()=Csinn+Dcosn (3-4-20) 其中，n為整數(shù)。 第3章邊值問題的解法0)()dd(dd222fnkff(3-4-21)由數(shù)學(xué)物理方程的知識，可知方程式(3-4-21)為貝賽爾方程，其解為 f (k)=FJn(k)+GNn(k) (3-4-22)式中，Jn(k)為n階第一類貝塞爾函數(shù)，Nn(k)為第二類貝塞爾函數(shù)(也稱紐曼函數(shù))。它們的表達(dá)式分別為 20(-1)J ()()2!(1)2mmnnmkkkmmn(3-4-23)將方程式(3-4-18)兩邊同乘以f /2，得 第3章邊值問題的解法-210

31、201121(1)!()J ()(ln) 2 !21( 1)11 !()2nmnnnmnmmn mmmkkknmkN kkmkmmnmkk為奇數(shù)！式中，=0.577 72為歐拉常數(shù)，而 0 1 -d )(ttexxt貝塞爾函數(shù)具有以下正交關(guān)系： jiHjikkiinain 0)d(J )(J 0 式中， (3-4-24)(3-4-25)第3章邊值問題的解法22 222 0 J () dJ ()1J ()2ainininiianHkk ak ak a(3-4-26)對于第一類邊界條件Jn(kia)=0，有 )(J2)(J221222akaakaHinini對于第二類邊界條件Jn(kia)=0，有

32、 2221J ()2iniianHk ak a(3-4-27)(3-4-28)第3章邊值問題的解法圓柱坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的一個(gè)解為 =(Asinhkz+Bcoshkz)(Csinn+Dcosn) FJn(k)+GNn(k) (3-4-29)有時(shí)也將式(3-4-29)中的sinh kz和coshkz改用e-kz 和ekz的形式表示，具體用什么函數(shù)取決于邊界條件。式中的所有系數(shù)均由邊界條件確定。 如果研究的問題是圓柱沿z方向無限長，則電位與z無關(guān)， 此時(shí)拉普拉斯方程變?yōu)?01)(1222(3-4-30)應(yīng)用分離變量法，方程式(3-4-30)的解為 第3章邊值問題的解法)( )cossin(ln1

33、21nnnnnnnFDnBnACC(3-4-31)其中的系數(shù)由邊界條件確定。 如果圓柱的電位是圓對稱的, 且沿z方向無限長，即電位與和z的方向無關(guān)，則拉普拉斯方程為 0)dd(dd1(3-4-32)方程式(3-4-32)的解為 =C1ln+C (3-4-33)系數(shù)C1和C2由邊界條件確定。 以上分析了各種圓柱結(jié)構(gòu)條件下拉普拉斯方程解的可能形式，下面通過舉例來說明其具體應(yīng)用。 第3章邊值問題的解法 【例3-5】半徑為a、介電常數(shù)為的無限長介質(zhì)圓柱置于均勻電場E0中，圓柱軸線與E0垂直，求圓柱內(nèi)、外的電位和電場分布。 解解 在均勻電場作用下，介質(zhì)圓柱表面將出現(xiàn)極化電荷， 因而空間任一點(diǎn)的電位是均勻

34、電場的電位和圓柱面上的極化電荷所產(chǎn)生的電位的疊加。根據(jù)坐標(biāo)面一致的要求，選擇圓柱坐標(biāo)系如圖3-8所示。此時(shí)均勻電場的電位和圓柱表面的極化電荷所產(chǎn)生的電位均與坐標(biāo)z無關(guān)。設(shè)圓柱內(nèi)、外的電位分別為和 ， 則根據(jù)式(3-4-31)可知 12第3章邊值問題的解法圖3-8 均勻電場中介質(zhì)圓柱的電位第3章邊值問題的解法11212121ln(sincos)() ln(sincos)() nnnnnnnnnnnnnnCCAnBnDFaCCAnBnDFa式中的常數(shù)由邊界條件給出，其邊界條件為： (1) 在圓柱軸線=0處， 1應(yīng)為有限值； (2) 當(dāng)時(shí)， 2應(yīng)為-E0cos； (3) 在=a的圓柱面上， 1= 2

35、, 由邊界條件(1) 得 C2=0, Fn=0此時(shí)圓柱內(nèi)的電位可以表達(dá)為 201第3章邊值問題的解法nnnnnBnAC111)cossin(由邊界條件(2)得 1)( 0 0, 0,C 001121nDB,EDBDACnnnn，此時(shí)圓柱外的電位表達(dá)式為 nnnnnBnAE102)cossin(cos由邊界條件(3)得 nnnnnnnnanBnAaEanBnAC1011)cossin(cos)cossin(第3章邊值問題的解法1100011)cossin(cos)cossin(nnnnnnnnanBnAnEanBnAn上式對任意角度都成立。比較上述兩式中sin和cos的系數(shù)，得 C1=0, A1

36、a=A1a1, B1a= E0a+B1a 1 A1= 0A1a 2, B1= 0E0 0B1a 2 聯(lián)立兩組方程, 解得 0 0, B 2111200010001CAA,aE,EB第3章邊值問題的解法aaEaE )(1cos cos 2200020001再比較其他正弦和余弦項(xiàng)的系數(shù)，得 An=An=Bn=Bn=0 n1綜合上述各系數(shù)， 可得圓柱內(nèi)、外的電位為 分別對上述電位函數(shù)求負(fù)梯度，可得相應(yīng)的電場強(qiáng)度為 a 20001EE第3章邊值問題的解法2200200001cos 1sin aaEaEaE 由E1的表達(dá)式可見，介質(zhì)圓柱內(nèi)的電場比原外加電場E0要小， 這是由于介質(zhì)圓柱在外加電場作用下發(fā)生

37、極化，極化后在右半圓柱面上產(chǎn)生正的極化電荷，在左半圓柱面上產(chǎn)生負(fù)的極化電荷，極化電荷在介質(zhì)圓柱內(nèi)產(chǎn)生的電場與E0反向，因而總電場減弱。第3章邊值問題的解法 【例【例3-6】無限長同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、電位為U，外導(dǎo)體半徑為b、電位為0，其間充填有介質(zhì)，如圖3-9所示，求內(nèi)、外導(dǎo)體間的電位和電場分布。 解解 根據(jù)坐標(biāo)面一致的要求，選擇圓柱坐標(biāo)系。根據(jù)題意圓柱的電位是圓對稱的且沿z方向無限長，即電位與和z的方向無關(guān)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電位為，則根據(jù)式(3-4-33)可得其表達(dá)式為 =C1ln+C2式中的常數(shù)由邊界條件確定。 其邊界條件為： (1) a時(shí)， =U； (2) =b時(shí)， =0。 第3章邊值問

38、題的解法圖3-9 同軸線的電位和電場第3章邊值問題的解法 將上述邊界條件代入電位的表達(dá)式中，可得內(nèi)、外導(dǎo)體間的電位為 其電場強(qiáng)度為 )ln(lnbabUabUln aE這與第2章用高斯定理求得的結(jié)果完全相同。 第3章邊值問題的解法3.4.3球坐標(biāo)系中的分離變量法球坐標(biāo)系中的分離變量法 在求解球空間或有球面邊界的場問題時(shí)，采用球坐標(biāo)系較為方便。球坐標(biāo)系中電位的拉普拉斯方程為0sin1sinsin112222222rrrrrr(3-4-34)采用分離變量法，令 (r, , )= f (r)g()h()，代入上式得 2222222dddddsin0ddsinddsindghffhgfghrrrrrr

39、(3-4-35)將上式兩邊同乘以 得 fghr22sin2222dd1ddsinddsinddddsinhhggrfrrf(3-4-36)第3章邊值問題的解法ddsinddsin1sindddd1222ggmrfrrf要使上式對所有的r、和均成立，等式的兩端必須等于常數(shù)，令其為m2，則有222dd1mhh(3-4-37)(3-4-38)要使方程式(3-4-38)對所有的r、都成立，必須使方程兩端都等于常數(shù)，令此常數(shù)為l(l+1)，則有0) 1(dddd2llrfrr0sin) 1(ddsinddsin122gmllg(3-4-39)(3-4-40)第3章邊值問題的解法方程式(3-4-37)的解

40、為 h()=Cmsinm+Dmcosm (3-4-41)式中，m為整數(shù)。方程式(3-4-39)稱為歐拉方程，其通解為 f (r)=Alrl+Blr-(r+1) (3-4-42) 令x=cos，則方程式(3-4-40)變?yōu)?01) 1(dd)(1dd22gxmllxxx式(3-4-43)稱為連帶勒讓德方程。 如果所研究問題的電位具有球?qū)ΨQ性，則電位與坐標(biāo)無關(guān)，此時(shí)m=0，方程式(3-4-43)變?yōu)?(3-4-43)第3章邊值問題的解法0) 1(dd)(1dd2gllxxx式(3-4-44)稱為l次勒讓德方程。在球坐標(biāo)中的取值范圍0,，實(shí)際問題中，要求勒讓德方程的解在=0和=時(shí)為確定的有限值，即要

41、求它在x=1內(nèi)有界，因此l的取值只能是0，1， 2， 則勒讓德方程的解為l次勒讓德多項(xiàng)式g()=Pl(cos)=Pl(x)。下面是前幾次勒讓德多項(xiàng)式: P0(x)=1 P1(x)=x(3-4-44)P2(x)= (3x2-1)P3(x)= (5x3-3x)2121第3章邊值問題的解法P4(x)= (35x4-30 x2+3)P5(x)= (63x5-70 x3+15x)8181 勒讓德多項(xiàng)式有以下特點(diǎn)： 當(dāng)l為偶數(shù)時(shí), Pl(x)只有偶次項(xiàng)； 當(dāng)l為奇數(shù)時(shí), Pl(x)只有奇次項(xiàng)； 當(dāng)x=1時(shí)，Pl(1)=1； 當(dāng)x=1時(shí)，Pl(1)=(1)l。 勒讓德多項(xiàng)式還可以寫成以下微分形式: llll

42、lxxlx) 1(dd!21)(P2 勒讓德多項(xiàng)式與三角函數(shù)一樣具有正交性， 即 (3-4-45)第3章邊值問題的解法1 1 122 0 )d()P(P nllnlxxxnl(3-4-46)因此, 具有球?qū)ΨQ性問題的拉普拉斯方程的通解為 )(cosP 0)1(llllllrBrA(3-4-47)式中，系數(shù)Al和Bl由邊界條件確定。 對于m0，即電位與有關(guān)的情況，在整個(gè)所研究的區(qū)域內(nèi)解是有限的，則l的取值只能是0，1，2，且lm。于是連帶勒讓德方程式(3-4-43)的解為 )(Pdd)(11)()(P/22xxxxlmmmmml(3-4-48)第3章邊值問題的解法lmlmlmlmmlxxxlx1

43、)(dd)(1!21)()(P2/22 (x)稱為m階l次第一類連帶勒讓德函數(shù)。將式(3-4-45)代入上式中，可得 mlP(3-4-49) (x)的正交關(guān)系為 mlP1 1 )!-()!(122 0 )d()P(P nlmlmllnlxxxmnml(3-4-50)因此，在m0時(shí), 拉普拉斯方程的通解為第3章邊值問題的解法mPrDrCmPrBrAm, lmllmllmm, lmllmllm)sin(cos )cos(cosl1)(l1)(3-4-51)式中，系數(shù)Alm、Blm、Clm和Dlm由邊界條件確定。 第3章邊值問題的解法 【例3-7】設(shè)有一半徑為a的接地導(dǎo)體球(如圖3-10所示)，放置

44、于均勻的外電場E0中，球外為真空。試求空間任一點(diǎn)處的電位和電場分布。 解解 靜電平衡狀態(tài)下球面和球內(nèi)的電位處處相等，因?yàn)閷?dǎo)體球接地，所以球面和球內(nèi)的電位均為零。取球心為球坐標(biāo)的原點(diǎn)，極軸沿E0方向。由于電位對極軸對稱，因此電位與坐標(biāo)無關(guān)，此時(shí)電位函數(shù)的通解如式(3-4-47)，即 0 , )(cos0l1)(arPrBrAlllll其邊界條件為： (1) 當(dāng)r時(shí)，電位 =E0rcos； (2) 在導(dǎo)體球上有| r=a=0。第3章邊值問題的解法圖3-10 均勻電場中導(dǎo)體球的電位第3章邊值問題的解法 由邊界條件(1)可得，A1=E0。當(dāng)l1時(shí)，Al=0，因此 01)(0)(cosPcosllllr

45、BrE 由邊界條件(2)得 0)(cosPcos01)(0llllaBaE上式可展開成如下形式： 0)(cos)(cos)(2210-2110-3PaBPaEaBaB因而有 B1=E0a3, Bl=0 l1所以球外任意點(diǎn)的電位為第3章邊值問題的解法coscos2300raErE球外任意點(diǎn)的電場強(qiáng)度為 sin)(1cos)2(1033033EraEraEraa由上式可見，在導(dǎo)體球表面僅有電場的法向分量，導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷密度為30E0 cos，導(dǎo)體球外的電位(電場)是由均勻電場E0和感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生的。 事實(shí)上，能用分離變量法進(jìn)行求解的結(jié)構(gòu)是十分有限的， 對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的電磁場問題，一般采用數(shù)值法求

46、解。 下節(jié)將討論數(shù)值解法中的有限差分法。 第3章邊值問題的解法3.5 有限差分法有限差分法 前面討論的分離變量法和鏡像法都是求解邊值問題的解析法。事實(shí)上，所求問題的邊界往往是復(fù)雜的，一般難于用解析的方法得到它們的解。在這些情況下，通常采用數(shù)值解法。目前，比較成熟的求解電磁場問題的數(shù)值解法很多，如矩量法、 有限差分法、有限元法、 邊界元法等。采用計(jì)算機(jī)求數(shù)值解， 理論上可以得到任意要求的精度。本節(jié)主要介紹有限差分法。 有限差分法是一種比較容易實(shí)現(xiàn)的數(shù)值解法，它是把微分方程在給定點(diǎn)附近用差分代數(shù)方程代替而計(jì)算電位的一種近似方法。它把求解區(qū)域劃分成網(wǎng)格，把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)的場分布用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的離散的數(shù)

47、值解代替。一般來說， 網(wǎng)格劃分得愈第3章邊值問題的解法細(xì)，所能達(dá)到的精度愈高，當(dāng)然計(jì)算時(shí)間也就愈長。網(wǎng)格的劃分有不同的方法，在這里只討論正方形網(wǎng)格劃分。 將如圖3-11所示的二維平面場劃分成若干正方形格子，每個(gè)格子的邊長為h。線與線的交點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。設(shè)區(qū)域中某點(diǎn)(i, j)的電位為i, j， 則其上下左右四個(gè)點(diǎn)的電位分別為i, j+1、 i, j-1、 i-1, j和 i+1, j 。 i-1, j和 i+1, j可以用在(i, j)點(diǎn)附近的泰勒級數(shù)展開為 3)(332)(22)(13)(332)(22)(1)(! 31)(! 21)()(! 31)(! 21)(hxhxhxhxhxhxjiji

48、jij . ij ,ijijijij . ij ,i，(3-5-1)(3-5-2)第3章邊值問題的解法3)(332)(22)(113)(332)(22)(1)(! 31)(! 21)()(! 31)(! 21)(hxhxhxhxhxhxjijijij . ij ,ijijijij . ij , i，同理可得 i, j+1和 i, j-1的表達(dá)式為 (3-5-3)(3-5-4) 在h足夠小的情況下四階以上的高次項(xiàng)可以忽略。 將式(3-5-1)式(3-5-4)相加，得 )4(1,1,1,1,1,22222jijijijijihyx(3-5-5)第3章邊值問題的解法圖3-11 有限差分法的正方形網(wǎng)格

49、第3章邊值問題的解法4021,1,1,1,Vjijijijijih 設(shè)所研究區(qū)域中的電荷密度為V，則任意(i, j)點(diǎn)電位滿足泊松方程，因此有 (3-5-6)如果所研究的區(qū)域的V=0，則二維拉普拉斯方程的有限差分形式為 41,1,1,1,jijijijiji式(3-5-7)表明，在沒有體電荷分布的區(qū)域，任意點(diǎn)的電位等于圍繞它的四個(gè)點(diǎn)的電位的平均值。 下面我們討論式(3-5-7)的求解方法。 (3-5-7)第3章邊值問題的解法3.5.1簡單迭代法簡單迭代法 首先對待求節(jié)點(diǎn)設(shè)置初值，這個(gè)初值可以任意給定。雖然最終結(jié)果與初值無關(guān)，但若初值選擇得當(dāng)，可以較快地得到結(jié)果。當(dāng)利用計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)迭代計(jì)算時(shí)，為

50、了簡化程序, 初值電位一般可取為零。 當(dāng)初值給定后，再按一個(gè)固定的順序(點(diǎn)的順序是從左到右，從下到上)依次計(jì)算每點(diǎn)的電位，即利用式(3-5-7)，用圍繞它的四個(gè)點(diǎn)的電位平均值作為新值，當(dāng)所有的點(diǎn)計(jì)算完后，用它們的新值代替舊值就完成了一次迭代。然后再進(jìn)行下一次迭代，直到每一點(diǎn)計(jì)算的新值和舊值之差小于指定的范圍為止。 第3章邊值問題的解法 簡單迭代法的特點(diǎn)是用前一次迭代得到的節(jié)點(diǎn)電位作為下一次迭代的初值，迭代公式為4)()()()()1(1,1, 1, 1,nnnnnjijijijiji(3-5-8)其中, 上標(biāo)(n)表示第n次的迭代結(jié)果，上標(biāo)(n+1)表示新的迭代結(jié)果。 第3章邊值問題的解法3.

51、5.2超松弛法超松弛法 一般說來，簡單迭代法的收斂速度比較慢，所以它的實(shí)用價(jià)值不大，實(shí)際中常采用超松弛法。與簡單迭代法相比，超松弛法有兩點(diǎn)重大改進(jìn): 第一， 當(dāng)計(jì)算每一節(jié)點(diǎn)電位時(shí)，把剛才得到的鄰近點(diǎn)第二電位新值代入，即在計(jì)算(i, j)點(diǎn)的電位時(shí)，把它左邊的點(diǎn)和下面的點(diǎn)的電位新值代入，即4)1()()()1()1(1,1, 1, 1,nnnnnjijijijiji(3-5-9)第3章邊值問題的解法式(3-5-9)稱為松弛法或賽德爾法(Relaxation Method)。在該式中，由于提前使用了新值，因此加快了收斂速度。 第二，把式(3-5-9)寫成增量的形式： 44)()1()()()1()

52、()1(,1,1, 1, 1,nnnnnnnjijijijijijiji(3-5-10)這時(shí)每次的增量(即上式右邊的第二項(xiàng))就是要求方程局部達(dá)到平衡時(shí)應(yīng)補(bǔ)充的量。為了加快收斂速度， 將式(3-5-10)改寫為 第3章邊值問題的解法）（)()1()()()1()()1(,1,1, 1, 1,44nnnnnnnjijijijijijijis(3-5-11)式中，s稱為松弛因子，即我們給予每點(diǎn)的增量超過使方程局部達(dá)到平衡時(shí)所需要的值，這將加快收斂速度。用式(3-5-11)的迭代方法稱為超松弛迭代法。 松弛因子s的取值一般在12之間，不同的s取值有不同的收斂速度，它有一個(gè)最優(yōu)值。 【例3-8】長方形截

53、面的無限長導(dǎo)體槽如圖3-12所示，其上有一塊與槽絕緣的蓋板，槽的電位為零，蓋板的電位為100V，求槽內(nèi)的電位函數(shù)。 第3章邊值問題的解法圖3-12 導(dǎo)體槽中的電位第3章邊值問題的解法 解解 在直角坐標(biāo)系中，矩形槽的電位滿足拉普拉斯方程，即 02222yx電位函數(shù)的邊界條件為 |x=0, 0yb =0 和 |x=a, 0yb =0 |y=0, 0 xa =0 和 |y=b, 0 xa =100 V 取步長為1，將長方形截面劃分成x方向格子數(shù)為16、y方向格子數(shù)為10的網(wǎng)格，共有1610=160個(gè)網(wǎng)孔、1711=187個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中槽內(nèi)節(jié)點(diǎn)有159=135個(gè)(待求)，邊界節(jié)點(diǎn)有187135=52個(gè)(

54、電位已知)。設(shè)迭代精度為10 6，利用MATLAB編程 第3章邊值問題的解法實(shí)現(xiàn)的矩形槽內(nèi)電位分布的計(jì)算結(jié)果如表3-1所示。導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布三維曲面、等位線和電場線分布等如圖313所示。 由表3-1可見，矩形槽內(nèi)的電位分布是左右對稱的，這說明計(jì)算的場域可以縮小一半。 對于上述問題采用簡單迭代法，需要的迭代次數(shù)為222， 而采用超松弛法，當(dāng)松弛因子取1.591時(shí)，在同樣的精度下迭代次數(shù)只有40。顯然，超松弛法要比簡單迭代法收斂速度快。 第3章邊值問題的解法表表3-1 例例38矩形槽內(nèi)電位分布的計(jì)算結(jié)果矩形槽內(nèi)電位分布的計(jì)算結(jié)果 第3章邊值問題的解法 圖3-13矩形槽內(nèi)電位分布(a) 電位分布三

55、維曲面； (b) 等位線和電場線分布第3章邊值問題的解法 【例3-9】長方形截面的無限長導(dǎo)體槽，邊界條件如圖3-14所示，求槽內(nèi)的電位函數(shù)。 解解 在直角坐標(biāo)系中，矩形槽的電位滿足拉普拉斯方程， 即 02222yx電位函數(shù)的邊界條件為 axnaxbybxybyaxbyxsin100 和 00 和 0000000，第3章邊值問題的解法圖3-14 導(dǎo)體槽中的電位第3章邊值問題的解法這是一個(gè)含第二類邊界條件的問題，仍然可以采用有限差分法，只要保證每次迭代后第二類邊界上各節(jié)點(diǎn)的取值相等即可。 仍取步長為1，將長方形截面劃分成x方向格子數(shù)為16、y方向格子數(shù)為10的網(wǎng)格，共有1610=160個(gè)網(wǎng)孔、17

56、11=187個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中槽內(nèi)節(jié)點(diǎn)有159=135個(gè)(待求)，邊界節(jié)點(diǎn)有187-135=52個(gè)(電位已知)。設(shè)迭代精度為10-6，利用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)的計(jì)算結(jié)果如表3-2所示。導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布三維曲面、等位線和電場線分布等如圖3-15所示。由表3-2可見，矩形槽內(nèi)的電位分布左右不對稱，且其電位值全部大于零，這是由邊界條件所決定的。如果將y=b的邊界條件改為 axaxby2sin1000 ，則導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布三維曲面、 第3章邊值問題的解法等位線和電場線分布等將如圖3-16所示。由圖3-16可見，當(dāng)xa/2時(shí)，槽內(nèi)的電位分布滿足正弦規(guī)律分布，且電位值大于零；當(dāng)xa/2時(shí), 電位將出現(xiàn)負(fù)值，且其電位分布不滿足正弦分布，越靠近邊緣越是如此，這是由于x=a的邊界條件所致。 由上述分析可見，一個(gè)問題的解取決于其結(jié)構(gòu)形狀及其邊界條件。如果其結(jié)構(gòu)形式相同，但邊界條件改變