材料力學(xué)3-扭轉(zhuǎn)

1、3-1 扭轉(zhuǎn)概念和工程實(shí)例扭轉(zhuǎn)概念和工程實(shí)例第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)3-2 自由扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力計(jì)算自由扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力計(jì)算3-3 關(guān)于切應(yīng)力的若干重要性質(zhì)關(guān)于切應(yīng)力的若干重要性質(zhì)3-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力3-5 扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)變形 扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和剛度計(jì)算扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和剛度計(jì)算3-6 圓軸扭轉(zhuǎn)破壞分析圓軸扭轉(zhuǎn)破壞分析3-1 3-1 扭轉(zhuǎn)概念和工程實(shí)例扭轉(zhuǎn)概念和工程實(shí)例1 1、螺絲刀桿工作時(shí)受扭、螺絲刀桿工作時(shí)受扭。 Me主動(dòng)力偶主動(dòng)力偶阻抗力偶阻抗力偶一、扭轉(zhuǎn)的工程實(shí)例一、扭轉(zhuǎn)的工程實(shí)例2 2、汽車方向盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸工作時(shí)受扭。、汽車方向盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸工作時(shí)受扭。3 3、機(jī)器中的傳動(dòng)軸

2、工作時(shí)受扭。、機(jī)器中的傳動(dòng)軸工作時(shí)受扭。二、扭轉(zhuǎn)的概念二、扭轉(zhuǎn)的概念受力特點(diǎn)：受力特點(diǎn)：桿兩端作用著大小相等、方向相反的力偶，且力桿兩端作用著大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于桿的軸線。偶作用面垂直于桿的軸線。變形特點(diǎn)：變形特點(diǎn)：桿任意兩截面繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。桿任意兩截面繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。主要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿主要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿軸軸。Am Me主動(dòng)力偶主動(dòng)力偶阻抗力偶阻抗力偶em 功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩的關(guān)系：功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩的關(guān)系：m)(kN55. 9 nPMem)(kN024. 7 nPMe其中：其中：P 功率，千瓦（功率，千瓦（kW）其中：其中：P 功率，馬力（功率，馬

3、力（PS）1PS=735.5Nm/s , 1kW=1.36PS eMP其中：其中：P 功率（功率（W），）， 角速度角速度（1/s）602 nMPe 其中：其中：n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（分（rpm, r/min）m)(N 9549 nPMe1kW=1000N.m/s3-2 3-2 自由扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力計(jì)算自由扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力計(jì)算一、外力偶矩計(jì)算一、外力偶矩計(jì)算mm0, 0mTmx T1 1、扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力（截面法）（截面法）xmmmT Tx取右段為研究對(duì)象：取右段為研究對(duì)象：0, 0TmmxmT 內(nèi)力偶矩內(nèi)力偶矩扭矩扭矩T取左段為研究對(duì)象：取左段為研究對(duì)象：二、扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力二、扭

4、轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖2 2、扭矩的符號(hào)規(guī)定、扭矩的符號(hào)規(guī)定：按右手螺旋法則判斷按右手螺旋法則判斷。 右手的四指代表扭矩的旋轉(zhuǎn)方向，大拇指代表其矢量方向，若右手的四指代表扭矩的旋轉(zhuǎn)方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向其矢量方向與截面的外法線方向相同與截面的外法線方向相同，則扭矩規(guī)定為正值，反之為，則扭矩規(guī)定為正值，反之為負(fù)值。負(fù)值。T+T- 例例 1 一傳動(dòng)軸如圖，轉(zhuǎn)速一傳動(dòng)軸如圖，轉(zhuǎn)速n = 300r/min； 主動(dòng)輪輸入的功主動(dòng)輪輸入的功率率P1= 500kW，三個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為：，三個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為： N2= 150kW， N3= 150kW， N4=

5、200kW。試作軸的扭矩圖。試作軸的扭矩圖。 3 3、內(nèi)力圖（扭矩圖）、內(nèi)力圖（扭矩圖）表示構(gòu)件各橫截面扭矩沿軸線變化的圖形表示構(gòu)件各橫截面扭矩沿軸線變化的圖形。扭矩圖扭矩圖作法：同軸力圖：作法：同軸力圖：一、計(jì)算作用在各輪上的外力偶矩mkN9 .15mN)3005001055. 9(31MmkN78. 4mN)1001501055. 9(332 MMmkN37. 6mN)3002001055. 9(34M解：解：M1 M2 M3 M4 ABCD二、分別計(jì)算各段的扭矩二、分別計(jì)算各段的扭矩mkN78. 421MTm9.56kN322MMTmkN37. 643 MT221133M1 M2 M3

6、M4 ABCDT111xM2AT2AM2 BM3 22x33DM4 xT3扭矩圖扭矩圖Tmax = 9.56 kNm 在在BC段內(nèi)段內(nèi)M1 M2 M3 M4 ABCD4.789.566.37T 圖(kNm)mkN78. 41Tm9.56kN2TmkN37. 63T1 1、實(shí)驗(yàn)：、實(shí)驗(yàn)：3-3 關(guān)于切應(yīng)力的若干重要性質(zhì)關(guān)于切應(yīng)力的若干重要性質(zhì)一、一、薄壁圓筒橫截面上的應(yīng)力薄壁圓筒橫截面上的應(yīng)力 薄壁圓筒軸的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒軸的扭轉(zhuǎn)0101rt , r0：為平均半徑）為平均半徑）(壁厚壁厚2 2、變形規(guī)律：、變形規(guī)律：圓周線圓周線形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。形狀、大小、間距

7、不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度?？v向線縱向線傾斜了同一個(gè)角度，小方格變成了平行四邊形傾斜了同一個(gè)角度，小方格變成了平行四邊形。結(jié)論：結(jié)論：, 0000橫截面上橫截面上可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布, , 且方向垂直于其半徑方向。且方向垂直于其半徑方向。,Dt Dt3 3、切應(yīng)力的計(jì)算公式：、切應(yīng)力的計(jì)算公式：2.2020200trtdrrdATAtrT202d薄壁圓筒橫截面上的切應(yīng)力計(jì)算式薄壁圓筒橫截面上的切應(yīng)力計(jì)算式二、關(guān)于切應(yīng)力的若干重要性質(zhì)二、關(guān)于切應(yīng)力的若干重要性質(zhì)1 1、剪切虎克定律、剪切虎克定律l為扭轉(zhuǎn)角為扭轉(zhuǎn)角lr0即即lr0做薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)可得

8、做薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)可得TtrT202lr0剪切虎克定律剪切虎克定律,pG)1 (2EG在彈性范圍內(nèi)切應(yīng)力在彈性范圍內(nèi)切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比關(guān)系。與切應(yīng)變成正比關(guān)系。從受扭的薄壁圓筒表面處截取一微小的正六面體從受扭的薄壁圓筒表面處截取一微小的正六面體單元體單元體zyddzxddMe Me xyzabOcddxdydz0yF0zM自動(dòng)滿足自動(dòng)滿足0 xFyzxxzydddddd存在存在得得2 2、切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理 單元體在其兩對(duì)互相單元體在其兩對(duì)互相垂直的平面上只有切應(yīng)力垂直的平面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力的狀態(tài)稱為而無(wú)正應(yīng)力的狀態(tài)稱為純純剪切應(yīng)力狀態(tài)剪切應(yīng)力狀

9、態(tài)。dabcxyzabOcddxdydz 在相互垂直的兩個(gè)面上，切在相互垂直的兩個(gè)面上，切應(yīng)力總是成對(duì)出現(xiàn)，并且大小應(yīng)力總是成對(duì)出現(xiàn)，并且大小相相等，等，方向同時(shí)指向或同時(shí)背離兩方向同時(shí)指向或同時(shí)背離兩個(gè)面的交線。個(gè)面的交線。一、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力一、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力一）、幾何關(guān)系一）、幾何關(guān)系：由實(shí)驗(yàn)找出變形規(guī)律由實(shí)驗(yàn)找出變形規(guī)律應(yīng)變的變化規(guī)律應(yīng)變的變化規(guī)律1 1、實(shí)驗(yàn)：、實(shí)驗(yàn)：3-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力觀察變形規(guī)律：觀察變形規(guī)律：圓周線圓周線形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng) 了一個(gè)不同的角度

10、。了一個(gè)不同的角度?？v向線縱向線傾斜了同一個(gè)角度，小方格變成了平行四邊形。傾斜了同一個(gè)角度，小方格變成了平行四邊形。扭轉(zhuǎn)平面假設(shè)扭轉(zhuǎn)平面假設(shè)：變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀 、大小、大小 以及間距不變，半徑仍為直線。以及間距不變，半徑仍為直線。定性分析橫截面上的應(yīng)力定性分析橫截面上的應(yīng)力00（1）00（2）因?yàn)橥粓A周上剪應(yīng)變相同，所以同因?yàn)橥粓A周上剪應(yīng)變相同，所以同一圓周上切應(yīng)力大小相等，并且方向一圓周上切應(yīng)力大小相等，并且方向垂直于其半徑方向。垂直于其半徑方向。剪應(yīng)變的變化規(guī)律剪應(yīng)變的變化規(guī)律：dxRddxDDtantanxdddxdd取楔形

11、體取楔形體O1O2ABCD 為為研究對(duì)象研究對(duì)象微段扭轉(zhuǎn)微段扭轉(zhuǎn)變形變形 d Ddxd二）物理關(guān)系二）物理關(guān)系：由應(yīng)變的變化規(guī)律由應(yīng)變的變化規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律PmaxG GdxdG方向垂直于半徑。方向垂直于半徑。d / / dx扭轉(zhuǎn)角變化率扭轉(zhuǎn)角變化率彈性范圍內(nèi)彈性范圍內(nèi)三）靜力關(guān)系：三）靜力關(guān)系：由橫截面上的扭矩與應(yīng)力的關(guān)系由橫截面上的扭矩與應(yīng)力的關(guān)系應(yīng)力的計(jì)算公式應(yīng)力的計(jì)算公式ATAdAIApd2令xGI Tpdd 代入物理關(guān)系式代入物理關(guān)系式 得：得：xGdd pIT圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力計(jì)算式。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力計(jì)算式。pGITx dd AxGAd

12、dd2扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算式變形計(jì)算式橫截面上橫截面上 PPPWTITITmaxmaxmax抗扭截面模量抗扭截面模量，整個(gè)圓軸上整個(gè)圓軸上等直桿：等直桿：PWTmaxmax三、公式的使用條件：三、公式的使用條件：1 1、等直的圓軸，、等直的圓軸， 2 2、彈性范圍內(nèi)工作。、彈性范圍內(nèi)工作。I Ip p截面的極慣性矩截面的極慣性矩，單位：，單位：二、圓軸中二、圓軸中max的確定的確定44, mmm.,33mmm單位單位：maxpPIW PW四、圓截面的極慣性矩四、圓截面的極慣性矩 Ip 和抗扭截面系數(shù)和抗扭截面系數(shù)WpAAId2p162/3ppddIW)d2(202d324dd2dA2/04)4(2

13、d實(shí)心圓截面：實(shí)心圓截面：Odd223pd2DdI4344pp116162/DDdDDIW空心圓截面：空心圓截面：d2dA4432dD 44132DDdDdOd注意：對(duì)于空心圓截面注意：對(duì)于空心圓截面33p16dDW44p32dDIDdOd應(yīng)力分布應(yīng)力分布（實(shí)心截面）（實(shí)心截面）（空心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕，工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕， 結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。1 1、強(qiáng)度條件、強(qiáng)度條件：2 2、強(qiáng)度條件應(yīng)用、強(qiáng)度條件應(yīng)用：1 1）校核強(qiáng)度）校核強(qiáng)度: : .)1 (16,16433空心空心實(shí)心實(shí)心DDWP3

14、-5 3-5 扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)變形 扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和剛度計(jì)算扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和剛度計(jì)算PWTmaxmax PWmaxT2 2）設(shè)計(jì)截面尺寸）設(shè)計(jì)截面尺寸: :3 3）確定外荷載）確定外荷載: :maxTPWm一、一、 扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算max maxpmax WT pmaxmaxWT 等截面圓軸等截面圓軸: :變截面圓軸變截面圓軸: :例例 已知 T=1.5 kN . m， = 50 MPa，試根據(jù)強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)實(shí)心圓軸與 a = 0.9 的空心圓軸。解：解：1. 確定確定實(shí)心圓軸直徑實(shí)心圓軸直徑 316dT 316 Td mm 54 d取取：m 5350.0Pa)10(50)mN101.5(16363 m

15、ax 163maxdT 2. 確定空心圓軸內(nèi)、外徑確定空心圓軸內(nèi)、外徑 )1 (161643DT mm 3 .76)1 (1634TDmm7 .68 Dd mm 68 mm 76 dD，?。喝。?. 重量比較重量比較%5 .394)(4222ddD空心軸遠(yuǎn)比空心軸遠(yuǎn)比實(shí)心軸輕實(shí)心軸輕43p116DW例例 圖示階梯狀圓軸，AB段直徑 d1=120mm，BC段直徑 d2=100mm 。扭轉(zhuǎn)力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的許用切應(yīng)力 = 80MPa ，試校核該軸的強(qiáng)度。解解： 1、求內(nèi)力，作出軸的扭矩圖、求內(nèi)力，作出軸的扭矩圖2214T圖（kNm）MA

16、 MBMC ACBBC段段MPa3 .71mm10016mmN1014362p2max, 2WTAB段段1p1max, 1WT2 2、計(jì)算軸橫截面上的最大切應(yīng)力并校核強(qiáng)度、計(jì)算軸橫截面上的最大切應(yīng)力并校核強(qiáng)度MPa8 .64mm12016mmN102236MPa80即該軸滿足強(qiáng)度條件。即該軸滿足強(qiáng)度條件。2214T圖（kNm）1 1、扭轉(zhuǎn)變形：（相對(duì)扭轉(zhuǎn)角）、扭轉(zhuǎn)變形：（相對(duì)扭轉(zhuǎn)角）PGITdxddxGITLP扭轉(zhuǎn)角單位：弧度（扭轉(zhuǎn)角單位：弧度（radrad） GIP抗扭剛度抗扭剛度。dxGITdPpGITlpiiiGIlT單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角mrad二、二、 扭轉(zhuǎn)桿的變形計(jì)算扭轉(zhuǎn)

17、桿的變形計(jì)算扭轉(zhuǎn)變形與內(nèi)力計(jì)算式扭轉(zhuǎn)變形與內(nèi)力計(jì)算式扭矩不變的等直軸扭矩不變的等直軸PGITdxd各段扭矩為不同值的階梯軸各段扭矩為不同值的階梯軸2 2、剛度條件：、剛度條件： PGITmaxmax 0maxmax180PGITm3 3、剛度條件應(yīng)用：、剛度條件應(yīng)用：1)1)、校核剛度、校核剛度； max max pGTI 3)3)、確定外荷載、確定外荷載: :2)2)、設(shè)計(jì)截面尺寸、設(shè)計(jì)截面尺寸: : maxpGITm例例 已知：已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa， = 0.5

18、 ( )/m 。 AC=? 校核軸的剛度校核軸的剛度解解：1. 變形分析變形分析mN 1801 AMTmN 1402 CMTrad 101.502-p1 GIlTAB rad 101.172-p2 GIlTBC BCABAC rad 1033010171101.502-2-2- .2. 剛度校核剛度校核p111ddGITxp222ddGITx21 TT 因因p11maxmaxdd GITx故故 m/ )( 43. 0180)m1010Pa)(3.010(80mN 180412-59max軸的剛度足夠軸的剛度足夠 例例 傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速為n=500r/min，主動(dòng)輪A 輸入功率N1=400kW，從動(dòng)

19、輪B，C 分別輸出功率N2=160kW，N3=240kW。已知=70MPa， =1/m ，G=80GPa。 (1)試確定AB 段的直徑d1 和BC 段的直徑d2； (2)若AB和BC 兩段選同一直徑，試確定直徑d； (3)主動(dòng)輪和從動(dòng)輪應(yīng)如何安排才比較合理? ?1eMACB2eM3eM1d2dnPMe119549mN76405004009549mN306040016012eeMMmN458040024013eeMM解：解： 1.1.外力外力 2.2.扭矩圖扭矩圖 mm2 .82m102 .821070764016 1633631Td按剛度條件按剛度條件 mm4 .86m104 .8611080180764032180323429421GTd3.3.直徑直徑d1d1的選取的選取 按強(qiáng)度條件按強(qiáng)度條件 mN7640mN4580 mm4 .861d1eMACB2eM3eM1d2d 31max16dT1803241maxdGT 按剛度條件按剛度條件 4.4.直徑直徑d d2 2的選取的選取 按強(qiáng)度條件按強(qiáng)度條件 1eMACB2eM3eM1d2dmN7640mN4580 mm3 .69m103 .6910704580161633632Tdmm76m107611080180458032180323429422GTdmm7