彈塑性力學(xué)習(xí)題解

1、彈塑性力學(xué)習(xí)題解解題者：尹華杰第一章 習(xí)題解1.試說明材料力學(xué)和彈性力學(xué)的異同。答：相同點：都是研究固體變形體受力后的變形行為；基本假定一樣，研究方法相同。 不同點：彈性力學(xué)分為數(shù)學(xué)彈性力學(xué)和應(yīng)用彈性力學(xué)兩部分。數(shù)學(xué)彈性力學(xué)除基本假定外，不附加任何其他假定，所有彈性力學(xué)變量的求解，完全用求解特定邊界條件下的彈性力學(xué)基本方程的方法，得到的是在基本假定前提下的準(zhǔn)確解；應(yīng)用彈性力學(xué)除基本假定外，對于數(shù)學(xué)上不容易求解的問題，附加一些較合理的假定，簡化在數(shù)學(xué)上存在的求解困難，達到能求解的程度，得到的是近似解。 材料力學(xué)是應(yīng)用彈性力學(xué)的一個分支，它的附加假定是平截面假定，從而使彈性力學(xué)的求解大為簡化，但也

2、限定了構(gòu)件的形狀只能是細長桿件，把空間三維的力學(xué)問題簡化成了一維問題，使求解過程大為簡化。第一章 習(xí)題解2.寫出彈性力學(xué)的六個基本假定，并說明每個假定對建立彈性力學(xué)理論的作用答：物體是連續(xù)的 實際問題是由分子構(gòu)成的，分子是由原子、原子核、自由電子構(gòu)成。在這一尺度量級上，物體是離散的。而當(dāng)物體的尺寸較大時，可看成物體的各質(zhì)點間是連續(xù)的。 這一假定說明研究的物體是宏觀尺寸的。對微觀尺寸不適用。這一假定使得從數(shù)學(xué)上可采用連續(xù)性數(shù)學(xué)描述所研究問題，如采用微積分等。物體是完全彈性的 從材料的拉伸曲線，可看出物體的彈性階段，僅是材料性質(zhì)的一部分。而彈性力學(xué)僅研究物體的線彈性階段。非線性彈性階段因為很短，其

3、應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系用線彈性部分替代。 數(shù)學(xué)上用線性方程近似描述材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。第一章 習(xí)題解 物體是均勻的 實際物體是多成分構(gòu)成的，各種成分的性質(zhì)有差別，在物體的各成分分布基本均勻，其性質(zhì)也基本相同時，可近似看成性質(zhì)均勻。這樣取物體內(nèi)任一位置的材料研究，不影響整個結(jié)果。 對任一微分單元建立的性能參數(shù)間的數(shù)學(xué)關(guān)系，適用于整個物體。物體是各向同性的 由于實際物體的不均勻性，以金屬材料為例，由晶粒組成晶包，晶包組成金屬，其在各個方向的性質(zhì)是不相同的。但它們的尺度很小，又隨機排列，宏觀表現(xiàn)的性能接近各向同性。 從數(shù)學(xué)上講，各向同性的問題在建立數(shù)學(xué)描述時，坐標(biāo)系可取符合構(gòu)件形狀的，易于建立數(shù)學(xué)方程，而不

4、影響最終結(jié)果。第一章 習(xí)題解 位移和形變是微小的 材料性質(zhì)上保證是彈性的情況下，位移和形變很小。這可從材料拉伸曲線上看到。 在數(shù)學(xué)方程建立時，可忽略更高階的微小變形對力的平衡帶來的影響，即不考慮受力后，位移使力作用點變化，帶來的微量功變化，使數(shù)學(xué)方程保持線性。無初應(yīng)力和初應(yīng)變 尤其金屬材料和塑料等人工加工材料，由于在制成過程中的受力，會在制成后構(gòu)件中保留部分殘余變形或殘余應(yīng)力。 在彈性力學(xué)中計算時，認為殘余應(yīng)力和殘余應(yīng)變等于零。而殘余應(yīng)力和殘余應(yīng)變的影響，在實際工程計算時，應(yīng)疊加在彈性力學(xué)的計算結(jié)果上。第二章 習(xí)題解1.說明彈性力學(xué)兩個平面問題的異同。 答：相同點：兩者均是數(shù)學(xué)上的二維問題，兩

5、者的獨立應(yīng)力分量都是xy坐標(biāo)面內(nèi)的應(yīng)力分量，所受邊界力均平行于xy坐標(biāo)面。所得到的彈性力學(xué)方程除彈性常數(shù)不同外，形式上相同。 不同點：平面應(yīng)力問題的結(jié)構(gòu)為一很薄的平板，邊界力對稱分布于平分板厚的中面，應(yīng)力分量 。平面應(yīng)變問題的結(jié)構(gòu)是一很長的直線柱體，邊界力垂直于柱體軸線并沿軸線長度不變化，由于柱體很長可以認為軸向位移為零，從而軸向應(yīng)變?yōu)榱悖瑥椥粤W(xué)變量有下列關(guān)系： 0yzxzz0, 0, 0, 0yzxzzzw第二章 習(xí)題解2.試寫出彈性力學(xué)平面應(yīng)力問題的平衡方程、幾何方程和物理方程。解：平衡方程： 幾何方程： 物理方程： 00YxyXyxxyyyxxyuxvyvxuxyyxxyxyxyyyx

6、xxyxyxyyyxxEEEEEE1211121122第二章 習(xí)題解3.圣維南原理的作用是什么？答：作用是對邊界固定支承處、集中力或集中力偶作用處等應(yīng)力分布不能準(zhǔn)確確定的位置，如果物體內(nèi)的應(yīng)力與外力可構(gòu)成一平衡力系，這些因素的影響是局部的，在這些位置近處的應(yīng)力分布有顯著的改變，但遠處所受的影響可忽略不計。 第二章 習(xí)題解4. 為什么彈性力學(xué)平面問題按位移求解是直接解法？而按應(yīng)力求解應(yīng)力必須滿足相容方程？ 答：按位移求解法是在特定的邊界條件下，求解用位移表示的平衡方程，再由位移通過幾何方程求解應(yīng)變，求得應(yīng)變后，代入物理方程求解應(yīng)力。這一方法求得的解滿足所有彈性力學(xué)方程，求解過程一步一步進行，不受

7、其他方程的約束，所以為直接解法。而按應(yīng)力求解，由于求得應(yīng)力分量后，由物理方程求解應(yīng)變，再由應(yīng)變求解位移時，應(yīng)變分量的個數(shù)多于位移個數(shù)，解不唯一，要保證位移的唯一性，應(yīng)力或應(yīng)變或位移分量間必須滿足保證位移協(xié)調(diào)的相容方程。第二章 習(xí)題解5.為什么在推導(dǎo)相容方程時，使用了平衡方程。在應(yīng)力求解時的三個方程中，用兩個平衡方程和一個相容方程，這是否矛盾？答：不矛盾。這是因為在推導(dǎo)相容方程時，為了簡化方程，對平衡方程求導(dǎo)，消去相容方程中的剪應(yīng)力分量。通過能滿足相容方程的正應(yīng)力分量，再求解出的剪應(yīng)力分量，不一定能滿足平衡方程。因為對偏微分方程積分，相差一任意函數(shù)。 第二章 習(xí)題解6.設(shè)有任意形狀的等厚度薄板，

8、體力可以不計，在全部邊界上（包括孔口邊界上）受有均勻壓力q。試證x=y= - q及xy=0能滿足平衡微分方程、相容方程和邊界條件，因而是正確的解答。 證明：由題意可知 X=Y=0平衡方程 000000 xqYxyxqXyxxyyyxxq第二章 習(xí)題解平衡方程 相容方程邊界條件 000000 xqYxyxqXyxxyyyxx0222qyx滿足 滿足 YlmXmlxyyyxxq代入邊界條件，可見滿足邊界條件。應(yīng)力解x=y= - q及xy=0，同時滿足平衡方程、相容程和邊界條件，因而是任意形狀的等厚度薄板的平面問題正確解答。如圖，在任意邊界上有： qmYqlX第三章 習(xí)題解1.設(shè)有矩形截面的懸臂梁，

9、在自由端受有集中荷載P，體力可以不計。試根據(jù)材料力學(xué)公式寫出彎曲應(yīng)力x和剪應(yīng)力xy的表達式，并取擠壓應(yīng)力y=0，然后證明，這些表達式滿足平衡微分方程和相容方程。這些表達式是否就表示正確的解答？解：根據(jù)材料力學(xué)的求解方法與本題圖可得： yhPxx04222yxyxyhIPIPxy第三章 習(xí)題解代入平衡方程得：滿足平衡方程。代入相容方程得：滿足相容方程。 這些表達式不是正確解答。剪應(yīng)力引起翹曲變形，而在固定端處的變形與之不對應(yīng)。在集中力作用處，將產(chǎn)生不確定的應(yīng)力集中，不能用材料力學(xué)式子描述。 0000 xyIPyIPyyxxyyyxx022IPxyyx第三章 習(xí)題解2.試證明，如果體力雖然不是常量

10、，但卻是有勢的力，即 其中V是勢函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示成為試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。證明：因體力不等于零的情況下的平衡方程的解，可分解為齊次方程解和特解。而：是齊次方程解。令： ,yVYxVXyxVxVyxyyx22222,yxxyxyyx22222,第三章 習(xí)題解0, xyyxVV代入平衡方程得： 0000 yVyVYxyxVxVXyxxyyyxx滿足平衡方程，可作為特解。所以應(yīng)力分量可寫成： yxVxVyxyyx22222,第三章 習(xí)題解相容方程 平面應(yīng)力時： V：VVyYxXVVyxyxyYxXyxyx24242242222222222221212121221平面應(yīng)變時第三章 習(xí)

11、題解3.試證明：在發(fā)生最大與最小剪應(yīng)力的面上，正應(yīng)力的數(shù)值都等于兩個主應(yīng)力的平均值。證明： 取主應(yīng)力1在x方向，2在y方向，任一外法線方向為N的斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力為：當(dāng) 取最大或最小值時， ，此時：2212mlN12 lmNN21,21ml 221N第四章 習(xí)題解1.試寫出用直角坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量表示極坐標(biāo)系下應(yīng)力分量的表達式。解：或： xyxyrxyyxxyyxr222222sincoscossincossin2cossincossin2sincos2sin22cos2sin2cos222sin2cos22yxxyrxyyxyxxyyxyxr第四章 習(xí)題解2.試推導(dǎo)出平面應(yīng)變情況下，僅受

12、內(nèi)壓力作用的軸對稱圓筒的應(yīng)力分量表達式。解：平面應(yīng)力時，僅受內(nèi)壓作用的軸對稱圓筒的徑向和周向應(yīng)力分量表達式為：因為方程中不包含材料常數(shù)，在平面應(yīng)變情況下，它們不變。平面應(yīng)變情況下的軸向應(yīng)力分量為：aarqabrbqabrb111122222222第四章 習(xí)題解部的結(jié)構(gòu)情況本解法沒有考慮圓筒端剪應(yīng)力分量為零由于問題的軸對稱性。，qabarz1222第四章 習(xí)題解3.采用疊加法，推導(dǎo)出下面(a)圖所示受力情況的平板開小圓孔的應(yīng)力分量表達式。解：(a)圖所示受力情況，可以看成（b）圖和（c）圖所示受力情況的疊加。而（b）圖受力情況下應(yīng)力分量解為：（c）圖所示受力情況下應(yīng)力分量解為：012122221

13、2221rrarqqarqq（a）（c）（b）題3圖 左右兩邊受均勻分布拉力q1，上下兩邊受均勻分布拉力q2的開小圓孔平板的應(yīng)力疊加示意圖221qq 221qq 221qq 221qq 1q2q第四章 習(xí)題解兩者疊加得：22222144212222213112sin2312cos23112cos2raraqqraqqraraqqrr2222214421222122222122213112sin2312cos2123112cos212raraqqraqqraqqraraqqraqqrr第四章 習(xí)題解4.求出3題中的拉力q1=2q2時，在孔口平行和垂直兩拉力方向的周向應(yīng)力值。其中最大的值比q2大了

14、多少倍？解：把q1=2q2代入3題的應(yīng)力表達式可得：。qq：a，rq：a，rraraqraqraqraraqraqrrrrrr倍大了比時在時在500520003112sin2312cos21233112cos21232222222244222222222222第五章 習(xí)題解1.溫度應(yīng)力的求解采用的是位移法求解。為什么特解用位移勢函數(shù)求解，而通解用應(yīng)力函數(shù)求解，這樣可以嗎？答：這樣做可以。因為彈性力學(xué)溫度應(yīng)力問題的齊次方程有唯一解，其解與求解方法無關(guān)，不論采用哪種求解方法，只要其能滿足方程和邊界條件，都是方程的解。 第六章 習(xí)題解1.空間問題求解主應(yīng)力和主方向的方法與平面問題求解主應(yīng)力和主方向的

15、方法一樣嗎？請給出說明。答：一樣。兩者都是假定把斜面的外法線方向取為應(yīng)力主方向，然后求解方向余弦的系數(shù)矩陣的行列式，解出主應(yīng)力。求解應(yīng)力主方向都是求解方向余弦的比值，然后根據(jù)方向余弦的平方和等于1，求解出各個方向余弦。2.應(yīng)力張量不變量的“不變”的含義是什么？ 答：應(yīng)力張量不變量的“不變”的含義是，它們不隨坐標(biāo)系變化，在各種坐標(biāo)系中其數(shù)值都是同樣的。3.八面體應(yīng)力中的“八面體”有什么特點？八面體剪應(yīng)力與八面體剪應(yīng)變間存在什么關(guān)系？答：這里說的“八面體”是其方向余弦的平方均是1/3的斜面，在直角坐標(biāo)系的八個象限中組成的八面體。八面體剪應(yīng)力和八面體剪應(yīng)變間的關(guān)系為：88G第八章 習(xí)題解1.從金屬材

16、料的拉伸曲線能看到材料的彈性和塑性有哪些區(qū)別？ 答：金屬材料的拉伸曲線在彈性范圍時，應(yīng)力和應(yīng)變保持一一對應(yīng)關(guān)系，在外載荷卸除后，結(jié)構(gòu)的形狀能夠完全恢復(fù)原狀。 在塑性范圍內(nèi)，在外載荷卸除后，結(jié)構(gòu)的形狀不能夠完全恢復(fù)原狀，存在永久變形，應(yīng)力和應(yīng)變存在多值性關(guān)系，與加載歷史有關(guān)。相繼彈性范圍隨著新的塑性出現(xiàn)，只增不減。在相繼彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變保持增量線性關(guān)系。第八章 習(xí)題解2.為什么材料進入塑性狀態(tài)后，瞬時應(yīng)力和瞬時應(yīng)變就不存在單值對應(yīng)關(guān)系？答：這是因為材料進入塑性狀態(tài)后，如果出現(xiàn)卸載，卸載時的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系進入相繼彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變曲線以近于平行初始彈性曲線線性部分，從卸載點下降。如果卸載

17、后再加截，又有新的塑性出現(xiàn)，再卸載時的相繼彈性范圍又有了新的變化，在應(yīng)力和應(yīng)變圖上表現(xiàn)出瞬時應(yīng)力和瞬時應(yīng)變存在多值關(guān)系。如果跟蹤加載歷史，仍能找出對應(yīng)的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系。第八章 習(xí)題解3.塑性力學(xué)關(guān)于材料有哪些基本假設(shè)？答：一、假定材料沒有粘性效應(yīng)；二、假定材料無限韌性；三、假定材料的彈性與塑性互不相關(guān)，各自獨立；四、假定材料是穩(wěn)定的。4.強化規(guī)律是什么規(guī)律？答：強化規(guī)律是相繼屈服面的變化規(guī)律。第八章 習(xí)題解5.什么是等向強化？什么是隨動強化？這兩種強化模型中記錄史參數(shù)有什么基本不同點？答：等向強化：材料如果在一個方向得到強化，則在各個方向都有同等的強化。 隨動強化：材料若在一個方向強化了，則在

18、相反方向?qū)⑼鹊娜趸?在一維情況下：等向強化模型中記錄史參數(shù)為 ，是一單增不減的正數(shù)。隨動強化模型中記錄史參數(shù)為 為彈性范圍的中心，在應(yīng)力和應(yīng)變坐標(biāo)系中，由 式描述的直線是隨動強化模型中心的軌跡。2*。E，ppp或ppE第八章 習(xí)題解6.什么是材料的時間效應(yīng)？在通常塑性力學(xué)中不計金屬材料的時間效應(yīng)，這意味著什么？答：材料的時間效應(yīng)或粘性效應(yīng)表現(xiàn)在兩個方面：一個是高速率加載時，材料的應(yīng)力和應(yīng)變曲線與靜態(tài)下的應(yīng)力和應(yīng)變曲線存在明顯的差別，即應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系與應(yīng)變率有關(guān)；另一方面是金屬材料在高溫恒應(yīng)力下，低速率的蠕變，或者恒應(yīng)變下應(yīng)力值隨時間的減小。相對靜態(tài)常溫下的應(yīng)力和應(yīng)變曲線，這兩種情況的應(yīng)力和應(yīng)變曲線均與時間有關(guān)。通常在塑性力學(xué)中不計金屬材料的時間效應(yīng)，實際上是限于研究常溫靜載下金屬的塑性。第九章 習(xí)題解1.什么叫初始屈服曲面？什么叫相繼屈服曲面？屈服函數(shù)與哪些因素有關(guān)？ 答：材料從無初應(yīng)力和無初應(yīng)變的原始狀態(tài)加載，第一次達到屈服狀態(tài)時，描述屈服狀態(tài)的函數(shù)描繪的幾何曲面，叫初始屈服曲面。 在出現(xiàn)了初始屈服曲面后，再有新的屈服出現(xiàn)，然后再卸載形成的屈服曲面叫相繼屈服曲面。 屈服函數(shù)與應(yīng)力狀態(tài)和加載歷史有關(guān)。第九章 習(xí)題解2.試敘述特列斯加和米塞斯屈服條