六、 動力學(xué)問題的有限元法

1、第一節(jié) 變形體動力學(xué)問題概述變形體動力學(xué)問題在工程和科學(xué)問題中非常普遍。該類變形體動力學(xué)問題在工程和科學(xué)問題中非常普遍。該類問題由隨時間變化的載荷或邊界條件產(chǎn)生。問題由隨時間變化的載荷或邊界條件產(chǎn)生。這類動力學(xué)問題涉及的對象包括各種機械零部件、工程這類動力學(xué)問題涉及的對象包括各種機械零部件、工程結(jié)構(gòu)、彈性介質(zhì)。結(jié)構(gòu)、彈性介質(zhì)。根據(jù)問題的特點和載荷及受力體的動態(tài)特性，一般意根據(jù)問題的特點和載荷及受力體的動態(tài)特性，一般意義上的變形體動力學(xué)問題按如下三個途徑處理。義上的變形體動力學(xué)問題按如下三個途徑處理。v 指邊界條件和指邊界條件和/ /或體力變化緩慢，或者物體內(nèi)加速度分或體力變化緩慢，或者物體內(nèi)加

2、速度分布均勻等類型的問題。這類變形體問題的平衡微分方程布均勻等類型的問題。這類變形體問題的平衡微分方程中忽略了慣性項，但載荷是時間的函數(shù)。在某時刻中忽略了慣性項，但載荷是時間的函數(shù)。在某時刻t t，采用動靜法將整體慣性力轉(zhuǎn)化為體力，或者忽略慣性力。采用動靜法將整體慣性力轉(zhuǎn)化為體力，或者忽略慣性力。對應(yīng)此刻載荷的靜力學(xué)解作為對應(yīng)此刻載荷的靜力學(xué)解作為t t時刻的解。工程上可取時刻的解。工程上可取隨時間變化載荷的最大值的靜力學(xué)解作為問題的準(zhǔn)靜態(tài)隨時間變化載荷的最大值的靜力學(xué)解作為問題的準(zhǔn)靜態(tài)解。解。v 盡管這種靜態(tài)情況在實際上并不存在，但作為一種基本盡管這種靜態(tài)情況在實際上并不存在，但作為一種基本

3、力學(xué)模型，在工程實踐上具有重要意義。很多實際問題力學(xué)模型，在工程實踐上具有重要意義。很多實際問題可近似歸入準(zhǔn)靜態(tài)問題，而滿足工程上的精度要求。可近似歸入準(zhǔn)靜態(tài)問題，而滿足工程上的精度要求。1)1) 準(zhǔn)靜態(tài)問題準(zhǔn)靜態(tài)問題v 通過這種近似處理，可以避免大量的動力學(xué)模型解算，通過這種近似處理，可以避免大量的動力學(xué)模型解算，而在有限的計算機資源下，可把實際問題的模型在準(zhǔn)靜而在有限的計算機資源下，可把實際問題的模型在準(zhǔn)靜態(tài)假設(shè)前提下考慮得更細(xì)致、更實用。在許多情況下，態(tài)假設(shè)前提下考慮得更細(xì)致、更實用。在許多情況下，由此帶來的對實際情況的逼近將大大抵消由于準(zhǔn)靜態(tài)假由此帶來的對實際情況的逼近將大大抵消由于準(zhǔn)

4、靜態(tài)假設(shè)產(chǎn)生的誤差。設(shè)產(chǎn)生的誤差。v 至于哪些問題可作準(zhǔn)靜態(tài)來處理，需要綜合考慮分析目至于哪些問題可作準(zhǔn)靜態(tài)來處理，需要綜合考慮分析目的與精度要求，構(gòu)件的尺度和動態(tài)特性（固有振動周的與精度要求，構(gòu)件的尺度和動態(tài)特性（固有振動周期），載荷的特性（上升前沿和作用時間），計算機資期），載荷的特性（上升前沿和作用時間），計算機資源情況等。源情況等。2) 結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題v 該領(lǐng)域研究下列問題：彈性結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）的自由振動該領(lǐng)域研究下列問題：彈性結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）的自由振動特性（頻率和振型）分析；瞬態(tài)響應(yīng)分析；頻率響應(yīng)特性（頻率和振型）分析；瞬態(tài)響應(yīng)分析；頻率響應(yīng)分析；響應(yīng)譜分析等。分析；響應(yīng)譜分析

5、等。v 就結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應(yīng)分析而言，典型的有結(jié)構(gòu)在沖擊載就結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應(yīng)分析而言，典型的有結(jié)構(gòu)在沖擊載荷下的響應(yīng)問題。結(jié)構(gòu)動力學(xué)中這類問題的特點是，荷下的響應(yīng)問題。結(jié)構(gòu)動力學(xué)中這類問題的特點是，載荷作用前沿時間與構(gòu)件的自振基頻周期相近，遠(yuǎn)大載荷作用前沿時間與構(gòu)件的自振基頻周期相近，遠(yuǎn)大于應(yīng)力波在構(gòu)件中的傳播時間?；蛘邩?gòu)件上長時間作于應(yīng)力波在構(gòu)件中的傳播時間。或者構(gòu)件上長時間作用隨時間劇烈變化的載荷。用隨時間劇烈變化的載荷。v 結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題在工程中具有普遍性。結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題在工程中具有普遍性。3) 彈塑性動力學(xué)問題彈塑性動力學(xué)問題v 這是連續(xù)介質(zhì)變形體動力學(xué)問題的另一個重要領(lǐng)域。這是連續(xù)介質(zhì)變形

6、體動力學(xué)問題的另一個重要領(lǐng)域。涉及許多科學(xué)和工程領(lǐng)域，如高速碰撞，爆炸沖擊，涉及許多科學(xué)和工程領(lǐng)域，如高速碰撞，爆炸沖擊，人工地震勘探，無損探傷等。人工地震勘探，無損探傷等。v 這類問題的研究要深入到介質(zhì)中的彈塑性波的傳播過這類問題的研究要深入到介質(zhì)中的彈塑性波的傳播過程以及考慮波動效應(yīng)前提下介質(zhì)中應(yīng)力應(yīng)變的響應(yīng)。程以及考慮波動效應(yīng)前提下介質(zhì)中應(yīng)力應(yīng)變的響應(yīng)。v 這類問題中載荷的特點是構(gòu)件上載荷作用前沿時間遠(yuǎn)這類問題中載荷的特點是構(gòu)件上載荷作用前沿時間遠(yuǎn)少于應(yīng)力波在構(gòu)件中的傳播時間。該狀態(tài)通常由構(gòu)件少于應(yīng)力波在構(gòu)件中的傳播時間。該狀態(tài)通常由構(gòu)件高速碰撞或爆炸載荷產(chǎn)生。高速碰撞或爆炸載荷產(chǎn)生。對

7、于上述后兩類問題，描述質(zhì)點平衡和運動的微分方程對于上述后兩類問題，描述質(zhì)點平衡和運動的微分方程相同，包含慣性力項和阻尼力項。其數(shù)值求解方法主要相同，包含慣性力項和阻尼力項。其數(shù)值求解方法主要是有限元法。是有限元法。aNue),(),(),(tzyxwtzyxvtzyxuuaaaane21), 2 , 1()()()(nitwtvtuiiiia在連續(xù)介質(zhì)的動力學(xué)問題中，描述力學(xué)參量的坐標(biāo)是在連續(xù)介質(zhì)的動力學(xué)問題中，描述力學(xué)參量的坐標(biāo)是四維：四維：3 3個空間坐標(biāo)和一個時間坐標(biāo)。進(jìn)行有限元法求個空間坐標(biāo)和一個時間坐標(biāo)。進(jìn)行有限元法求解時，只對空間區(qū)域進(jìn)行離散化，得到離散多自由度解時，只對空間區(qū)域進(jìn)

8、行離散化，得到離散多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)模型。系統(tǒng)的動力學(xué)模型。其有限元法步驟與靜力學(xué)問題相同。只是在單元上對其有限元法步驟與靜力學(xué)問題相同。只是在單元上對隨時間變化的節(jié)點位移進(jìn)行插值，得到單元內(nèi)隨時間隨時間變化的節(jié)點位移進(jìn)行插值，得到單元內(nèi)隨時間變化的假設(shè)位移場：變化的假設(shè)位移場：為建立有限元動力學(xué)響應(yīng)控制方程，利用達(dá)朗倍爾原為建立有限元動力學(xué)響應(yīng)控制方程，利用達(dá)朗倍爾原理，在每個時刻理，在每個時刻 t t，將連續(xù)介質(zhì)中質(zhì)點加上慣性力，將連續(xù)介質(zhì)中質(zhì)點加上慣性力 和阻尼力和阻尼力 ，則系統(tǒng)的動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為等效靜，則系統(tǒng)的動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為等效靜力學(xué)問題。對等效系統(tǒng)應(yīng)用虛功原理：力學(xué)問題。對等效

9、系統(tǒng)應(yīng)用虛功原理：u u dSdVdVTuuufuSTVTVT)( )()()()(tQtaKtaCtaM 將前面位移空間離散表達(dá)式和單元的幾何方程、物理方將前面位移空間離散表達(dá)式和單元的幾何方程、物理方程代入上式虛功方程，并考慮到變分的任意性，得到離程代入上式虛功方程，并考慮到變分的任意性，得到離散系統(tǒng)控制方程散系統(tǒng)控制方程結(jié)構(gòu)有限元動力學(xué)方程：結(jié)構(gòu)有限元動力學(xué)方程： 方程中的系數(shù)矩陣分別為：系統(tǒng)質(zhì)量矩陣，阻尼方程中的系數(shù)矩陣分別為：系統(tǒng)質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣，整體剛度矩陣。右端項為整體節(jié)點載荷向量。矩陣，整體剛度矩陣。右端項為整體節(jié)點載荷向量。上述矩陣由相應(yīng)的單元矩陣組集而成：上述矩陣由相應(yīng)的

10、單元矩陣組集而成：其中：其中：eeeeQQCCKKMMdSdVdVdVdVeeeeeSTVTeVTeVTeVTeTNfNQNNCBDBKNNM)()()(tQtaKtaM 如果忽略阻尼，則結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程簡化為：如果忽略阻尼，則結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程簡化為：上式動力學(xué)方程的右端項為零時就得到結(jié)構(gòu)自由振動方上式動力學(xué)方程的右端項為零時就得到結(jié)構(gòu)自由振動方程。程。從動力學(xué)方程導(dǎo)出過程可以看出，動力學(xué)問題的有限元從動力學(xué)方程導(dǎo)出過程可以看出，動力學(xué)問題的有限元分析中，由于平衡方程中出現(xiàn)了慣性力和阻尼力，從而分析中，由于平衡方程中出現(xiàn)了慣性力和阻尼力，從而引入了質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣，運動方程是耦合的二階常引入了質(zhì)

11、量矩陣和阻尼矩陣，運動方程是耦合的二階常微分方程組，而不是代數(shù)方程組。該方程又稱為有限元微分方程組，而不是代數(shù)方程組。該方程又稱為有限元半離散方程，因為對空間是有限元離散的，對時間是連半離散方程，因為對空間是有限元離散的，對時間是連續(xù)的。續(xù)的。當(dāng)求解該微分方程組，得出節(jié)點位移響應(yīng)后，其它計當(dāng)求解該微分方程組，得出節(jié)點位移響應(yīng)后，其它計算步驟與靜力分析相同。算步驟與靜力分析相同。有限元動力學(xué)方程的求解雖然可以采用常規(guī)的常微分有限元動力學(xué)方程的求解雖然可以采用常規(guī)的常微分方程組解法，但由于實際問題有限元模型的階數(shù)往往方程組解法，但由于實際問題有限元模型的階數(shù)往往很高，用常規(guī)方法不經(jīng)濟(jì)，通常采用一些

12、對有限元方很高，用常規(guī)方法不經(jīng)濟(jì)，通常采用一些對有限元方程有效的解法，主要分為兩類：直接積分法和振型疊程有效的解法，主要分為兩類：直接積分法和振型疊加法。加法。1 1、協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣和集中質(zhì)量矩陣、協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣和集中質(zhì)量矩陣該矩陣稱為協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣或一致質(zhì)量矩陣。因為它和剛該矩陣稱為協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣或一致質(zhì)量矩陣。因為它和剛度矩陣依據(jù)同樣的原理、過程和插值函數(shù)導(dǎo)出，還表示度矩陣依據(jù)同樣的原理、過程和插值函數(shù)導(dǎo)出，還表示質(zhì)量在單元上呈某種分布。質(zhì)量在單元上呈某種分布。此外，有限元中還經(jīng)常采用集中質(zhì)量矩陣，它是一個對此外，有限元中還經(jīng)常采用集中質(zhì)量矩陣，它是一個對角矩陣，由假定單元質(zhì)量集中在節(jié)點上得到。角

13、矩陣，由假定單元質(zhì)量集中在節(jié)點上得到。上節(jié)導(dǎo)出的單元質(zhì)量矩陣為：上節(jié)導(dǎo)出的單元質(zhì)量矩陣為：dVeVTeNNM對于對于3 3節(jié)點三角形單元，按上述公式計算得到的一致質(zhì)量節(jié)點三角形單元，按上述公式計算得到的一致質(zhì)量矩陣為：矩陣為：該單元的集中質(zhì)量矩陣為：該單元的集中質(zhì)量矩陣為：實際應(yīng)用中，兩種質(zhì)量矩陣都有應(yīng)用，得到的計算結(jié)果實際應(yīng)用中，兩種質(zhì)量矩陣都有應(yīng)用，得到的計算結(jié)果相差不多。采用集中質(zhì)量矩陣可以使計算得到簡化，提相差不多。采用集中質(zhì)量矩陣可以使計算得到簡化，提高計算效率，由此得到的自振頻率常低于精確解。高計算效率，由此得到的自振頻率常低于精確解。在波傳播問題和高速瞬態(tài)非線性分析中，通常采用顯

14、式在波傳播問題和高速瞬態(tài)非線性分析中，通常采用顯式動力學(xué)求解方法配合使用線性位移單元和集中質(zhì)量陣。動力學(xué)求解方法配合使用線性位移單元和集中質(zhì)量陣。2 2、阻尼矩陣、阻尼矩陣單元阻尼矩陣：單元阻尼矩陣：稱為協(xié)調(diào)阻尼矩陣。這種阻尼是由阻尼力正比于質(zhì)點稱為協(xié)調(diào)阻尼矩陣。這種阻尼是由阻尼力正比于質(zhì)點運動速度得到的，屬于粘性阻尼。顯然，這種阻尼陣運動速度得到的，屬于粘性阻尼。顯然，這種阻尼陣與質(zhì)量矩陣成正比。與質(zhì)量矩陣成正比。對結(jié)構(gòu)而言，阻尼并非粘性的，而主要是由于材料內(nèi)對結(jié)構(gòu)而言，阻尼并非粘性的，而主要是由于材料內(nèi)部摩擦效應(yīng)引起的能量耗散，但這種耗散機理尚未完部摩擦效應(yīng)引起的能量耗散，但這種耗散機理尚

15、未完全清楚，更難以用數(shù)學(xué)模型表達(dá)，故通常假設(shè)這種情全清楚，更難以用數(shù)學(xué)模型表達(dá)，故通常假設(shè)這種情況的阻尼力正比于應(yīng)變速率，從而可導(dǎo)出比例于單元況的阻尼力正比于應(yīng)變速率，從而可導(dǎo)出比例于單元剛度矩陣的單元阻尼陣，大多數(shù)情形下足夠精確。剛度矩陣的單元阻尼陣，大多數(shù)情形下足夠精確。上述兩種阻尼矩陣稱為比例阻尼或振型阻尼。其比例上述兩種阻尼矩陣稱為比例阻尼或振型阻尼。其比例系數(shù)一般依賴于頻率，很難精確確定。系數(shù)一般依賴于頻率，很難精確確定。一個通行的方法是將結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣簡化為結(jié)構(gòu)剛度一個通行的方法是將結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣簡化為結(jié)構(gòu)剛度陣和結(jié)構(gòu)質(zhì)量陣的線性組合：陣和結(jié)構(gòu)質(zhì)量陣的線性組合：其中其中，是不依賴于

16、頻率的常數(shù)。這種振型阻尼稱是不依賴于頻率的常數(shù)。這種振型阻尼稱為為RayleighRayleigh阻尼阻尼。當(dāng)。當(dāng)= 0= 0時，較高階振型受到的阻尼時，較高階振型受到的阻尼較大；當(dāng)較大；當(dāng)= 0 = 0 時，較低階振型受到的阻尼大時，較低階振型受到的阻尼大。由于系統(tǒng)的固有振型對于結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣和結(jié)構(gòu)剛度矩由于系統(tǒng)的固有振型對于結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣和結(jié)構(gòu)剛度矩陣具有正交性，因此，系統(tǒng)振型對上述陣具有正交性，因此，系統(tǒng)振型對上述RayleighRayleigh阻尼阻尼矩陣也是正交的。所以這類阻尼矩陣又稱為矩陣也是正交的。所以這類阻尼矩陣又稱為振型阻尼振型阻尼。采用振型阻尼矩陣后，可以利用系統(tǒng)振型對動力學(xué)方

17、采用振型阻尼矩陣后，可以利用系統(tǒng)振型對動力學(xué)方程進(jìn)行變換，得到解程進(jìn)行變換，得到解耦耦的方程組，使每個方程可以獨的方程組，使每個方程可以獨立求解，給計算帶來方便。立求解，給計算帶來方便。0KaaM)()(tt )(sin0tt a其中其中 是是n n階向量，表示有限元離散結(jié)構(gòu)所有自由度的階向量，表示有限元離散結(jié)構(gòu)所有自由度的振幅，振幅，是該向量振動的頻率。將上式代入自由振動是該向量振動的頻率。將上式代入自由振動方程得到：方程得到：研究結(jié)構(gòu)自由振動特性。設(shè)阻尼和外力均為零，則結(jié)研究結(jié)構(gòu)自由振動特性。設(shè)阻尼和外力均為零，則結(jié)構(gòu)自由振動有限元運動方程為：構(gòu)自由振動有限元運動方程為：設(shè)各自由度作簡諧運

18、動：設(shè)各自由度作簡諧運動：該方程描述的問題稱為廣義特征值問題。該方程描述的問題稱為廣義特征值問題。其中特征值：其中特征值： 代表系統(tǒng)的代表系統(tǒng)的n n個固有頻率，個固有頻率，并有：并有：n,21 特征向量：特征向量： 代表系統(tǒng)的代表系統(tǒng)的n n個固有振型，或稱個固有振型，或稱為主振型。其幅度是不確定的，但可以用下列方法對其正為主振型。其幅度是不確定的，但可以用下列方法對其正則化：則化： 求解該問題可以得到求解該問題可以得到n對特征解（特征對）對特征解（特征對）這樣的固有振型又稱為正則振型，以后默認(rèn)所謂固有這樣的固有振型又稱為正則振型，以后默認(rèn)所謂固有振型即是指這種正則振型。振型即是指這種正則振

19、型。容易證明，固有振型具有對容易證明，固有振型具有對M和和K的正交性：的正交性： 定義：它們分別稱為固有振型矩陣和固有頻率矩陣它們分別稱為固有振型矩陣和固有頻率矩陣固有振型矩陣和固有頻率矩陣固有振型矩陣和固有頻率矩陣l原來的特征值問題可以表示成：原來的特征值問題可以表示成： 固有頻率和固有振型是一個結(jié)構(gòu)自由振動的基本特性，固有頻率和固有振型是一個結(jié)構(gòu)自由振動的基本特性，也是結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的基本要素。也是結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的基本要素。求解結(jié)構(gòu)自由振動的廣義特征值問題，由于系統(tǒng)自由度求解結(jié)構(gòu)自由振動的廣義特征值問題，由于系統(tǒng)自由度很多，而研究系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)和動態(tài)特性時，往往只需要很多，而研究系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)和動

20、態(tài)特性時，往往只需要少數(shù)低階特征值和特征向量。因此在有限元分析中發(fā)展少數(shù)低階特征值和特征向量。因此在有限元分析中發(fā)展了許多針對上述特點的效率較高的算法。其中應(yīng)用最廣了許多針對上述特點的效率較高的算法。其中應(yīng)用最廣泛的有泛的有LanczosLanczos法、子空間迭代法、逆迭代法等。法、子空間迭代法、逆迭代法等。瞬態(tài)響應(yīng)分析是計算動力強迫響應(yīng)分析的最一般方法。其瞬態(tài)響應(yīng)分析是計算動力強迫響應(yīng)分析的最一般方法。其目的是計算結(jié)構(gòu)受隨時間變化激勵作用下的行為。瞬態(tài)激目的是計算結(jié)構(gòu)受隨時間變化激勵作用下的行為。瞬態(tài)激勵定義在時間域中，每個瞬時的大小已知。激勵可以是作勵定義在時間域中，每個瞬時的大小已知。

21、激勵可以是作用力和強迫運動。用力和強迫運動。根據(jù)結(jié)構(gòu)和載荷的性質(zhì)，可以用兩種不同的數(shù)值方法進(jìn)行根據(jù)結(jié)構(gòu)和載荷的性質(zhì)，可以用兩種不同的數(shù)值方法進(jìn)行瞬態(tài)響應(yīng)分析：直接積分法和振型疊加法。前者對全耦合瞬態(tài)響應(yīng)分析：直接積分法和振型疊加法。前者對全耦合的有限元離散運動方程直接進(jìn)行積分；后者利用主振型對的有限元離散運動方程直接進(jìn)行積分；后者利用主振型對運動方程進(jìn)行變換和解耦，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)根據(jù)相應(yīng)于各振型運動方程進(jìn)行變換和解耦，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)根據(jù)相應(yīng)于各振型的響應(yīng)累加而成。的響應(yīng)累加而成。1、直接積分法v第一，將求解時間域第一，將求解時間域0 0tTtT內(nèi)任何時刻內(nèi)任何時刻t t都滿足運動方都滿足運動方程的要求

22、降低為在相隔程的要求降低為在相隔tt的離散時間點上滿足運動方的離散時間點上滿足運動方程。程。直接積分法的兩個前提：直接積分法的兩個前提：v第二，在離散時間點之間的第二，在離散時間點之間的tt區(qū)域，對位移，速度，區(qū)域，對位移，速度，加速度進(jìn)行假設(shè)。相當(dāng)于對運動微分方程組在時間域加速度進(jìn)行假設(shè)。相當(dāng)于對運動微分方程組在時間域進(jìn)行離散化，并逐點求解。進(jìn)行離散化，并逐點求解。直接積分法概述：v直接積分法的時間離散化方程有顯式和隱式兩類。在直接積分法的時間離散化方程有顯式和隱式兩類。在顯式方程中，由顯式方程中，由 t t 時刻的運動方程求時刻的運動方程求t+tt+t時刻的位時刻的位移；而隱式方法是從與移

23、；而隱式方法是從與t+tt+t時刻運動方程關(guān)聯(lián)的表達(dá)時刻運動方程關(guān)聯(lián)的表達(dá)式中求式中求t+tt+t時刻的位移。時刻的位移。v顯式方法要求很小的時間步長，但每步求解所需計算顯式方法要求很小的時間步長，但每步求解所需計算量較??；而隱式方法允許較大的時間步長，但每一步量較??；而隱式方法允許較大的時間步長，但每一步求解方程的耗費較大。求解方程的耗費較大。v大多數(shù)大多數(shù)顯式方法是條件穩(wěn)定的：當(dāng)時間步長大于結(jié)構(gòu)顯式方法是條件穩(wěn)定的：當(dāng)時間步長大于結(jié)構(gòu)最小周期的一定比例時，計算得到的位移和速度將發(fā)最小周期的一定比例時，計算得到的位移和速度將發(fā)散或得到不正確的結(jié)果；散或得到不正確的結(jié)果；v隱式方法往往是無條件

24、穩(wěn)定的，步長取決于精度，而隱式方法往往是無條件穩(wěn)定的，步長取決于精度，而不是穩(wěn)定性方面的考慮。不是穩(wěn)定性方面的考慮。 v典型的顯式方法是所謂的典型的顯式方法是所謂的“中心差分法中心差分法”，其基本思，其基本思想如下。想如下。vt+tt+t時刻的位移解時刻的位移解 從從t t時刻的運動方程建立：時刻的運動方程建立： att 中心差分法v將某時刻的加速度和速度用中心差分表示：將某時刻的加速度和速度用中心差分表示：v將加速度和速度的差分格式代入上式，得到：將加速度和速度的差分格式代入上式，得到：v上式就是求離散時間點上位移解的遞推公式。但該算法上式就是求離散時間點上位移解的遞推公式。但該算法有起步問

25、題（見有起步問題（見P449）。）。v 中心差分法特點如下：中心差分法特點如下：1 1）是顯式算法，并且當(dāng)質(zhì)量陣和阻尼陣都是對角陣時，利）是顯式算法，并且當(dāng)質(zhì)量陣和阻尼陣都是對角陣時，利用該遞推公式求解運動方程時不需要進(jìn)行矩陣求逆，這個用該遞推公式求解運動方程時不需要進(jìn)行矩陣求逆，這個特點在非線性問題中將更有意義。特點在非線性問題中將更有意義。 是有限元系統(tǒng)的最小固有振動周期，通常用最小尺是有限元系統(tǒng)的最小固有振動周期，通常用最小尺寸單元的最小固有振動周期代替。因此，有限元網(wǎng)格中最寸單元的最小固有振動周期代替。因此，有限元網(wǎng)格中最小單元尺寸將決定中心差分法時間步長的選擇。有限元網(wǎng)小單元尺寸將決

26、定中心差分法時間步長的選擇。有限元網(wǎng)格劃分時要考慮到這個因素，避免個別單元尺寸太小。格劃分時要考慮到這個因素，避免個別單元尺寸太小。nTncrTtt2 2）是條件穩(wěn)定算法。時間步長必須小于某個臨界值：）是條件穩(wěn)定算法。時間步長必須小于某個臨界值：3 3）中心差分法適合用于考慮波傳播效應(yīng)的線性、非線性）中心差分法適合用于考慮波傳播效應(yīng)的線性、非線性響應(yīng)分析。但是對于結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題中的瞬態(tài)響應(yīng)分響應(yīng)分析。但是對于結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題中的瞬態(tài)響應(yīng)分析，不適合采用中心差分法，因為這類問題，重要的析，不適合采用中心差分法，因為這類問題，重要的是較低頻的響應(yīng)成分，允許采用較大的時間步長。通是較低頻的響應(yīng)成分，允

27、許采用較大的時間步長。通常采用無條件穩(wěn)定的常采用無條件穩(wěn)定的隱式算法。隱式算法。v應(yīng)用最廣泛的一種應(yīng)用最廣泛的一種隱式算法是隱式算法是NewmarkNewmark方法。方法。v在積分區(qū)間上采用如下的速度、位移假設(shè)：在積分區(qū)間上采用如下的速度、位移假設(shè)： Newmark方法v通過通過t+tt+t時刻的運動方程來決定時刻的運動方程來決定t+tt+t時刻的位移時刻的位移解解 ，即：，即：att v從上面三個方程聯(lián)立可推出從從上面三個方程聯(lián)立可推出從 t t 時刻的運動參量計算時刻的運動參量計算 t+t t+t 時刻位移的公式：時刻位移的公式：v 由于從上式求解由于從上式求解 t+t t+t 時刻位移

28、時需要對非對角的等效時刻位移時需要對非對角的等效 剛度陣求逆，因此稱為隱式算法。剛度陣求逆，因此稱為隱式算法。v 當(dāng)當(dāng)算法算法中的參數(shù)滿足一定條件時，該算法是無條件穩(wěn)定中的參數(shù)滿足一定條件時，該算法是無條件穩(wěn)定 的。此時，步長的選擇取決于解的精度，可以根據(jù)對結(jié)的。此時，步長的選擇取決于解的精度，可以根據(jù)對結(jié) 構(gòu)響應(yīng)有主要貢獻(xiàn)的若干基本振型的周期來確定。通常構(gòu)響應(yīng)有主要貢獻(xiàn)的若干基本振型的周期來確定。通常 可取為所要考慮的基本可取為所要考慮的基本振型周期中振型周期中最小周期的二十分之最小周期的二十分之 一。一。v 對結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題，所關(guān)心的較低階振型的周期比全系對結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題，所關(guān)心的較低階振

29、型的周期比全系統(tǒng)的最小周期大得多，也就是無條件穩(wěn)定的隱統(tǒng)的最小周期大得多，也就是無條件穩(wěn)定的隱 式算法可以式算法可以采用比有條件穩(wěn)定的采用比有條件穩(wěn)定的顯式算法大得多的時間步長，而采用顯式算法大得多的時間步長，而采用較大時間步長還可以濾掉不精確的高階響應(yīng)成分。較大時間步長還可以濾掉不精確的高階響應(yīng)成分。2、振型疊加法振型疊加法是計算結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)的另一種數(shù)值方法。該振型疊加法是計算結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)的另一種數(shù)值方法。該方法利用結(jié)構(gòu)固有振型對動力學(xué)方程組進(jìn)行變換，縮減未方法利用結(jié)構(gòu)固有振型對動力學(xué)方程組進(jìn)行變換，縮減未知量規(guī)模，并對運動方程組進(jìn)行解耦，大幅度提高數(shù)值求知量規(guī)模，并對運動方程組進(jìn)行解耦，大幅度提高數(shù)值求解的效率。解的效率。由于在結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析過程中，計算固有頻率、固有振由于在結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析過程中，計算固有頻率、固有振型是評價結(jié)構(gòu)動態(tài)特性之必需，故振型法響應(yīng)分析是常型是評價結(jié)構(gòu)動態(tài)特性之必需，故振型法響應(yīng)分析是常規(guī)模態(tài)分析的自然延伸。規(guī)模態(tài)分析的自然延伸。此變換的意義：此變換的意義：變換把結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)位移響應(yīng)從以有限元網(wǎng)格節(jié)點位移為變換把結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)位移響應(yīng)從以有限元網(wǎng)格節(jié)點位移為基向量基向量