第3章-非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱分析解法

1、第三章非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第三章非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱3-4; 3-15; 3-16;3-31; 3-33; 3-41;3-52;本章作業(yè)第三章非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)第三章非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)3.13.1非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念3.23.2零維問(wèn)題的分析法集總參數(shù)法零維問(wèn)題的分析法集總參數(shù)法3.33.3典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解3.4 3.4 半無(wú)限大物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱半無(wú)限大物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱、重點(diǎn)內(nèi)容：、重點(diǎn)內(nèi)容： 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念及特點(diǎn)；非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念及特點(diǎn)； 集總參數(shù)法的基本原理及應(yīng)用；集總參數(shù)法的基本原理及應(yīng)用； 2 2 、掌握內(nèi)容：、掌握內(nèi)容： 確定瞬時(shí)溫度場(chǎng)的方法

2、；確定瞬時(shí)溫度場(chǎng)的方法； 確定在一時(shí)間間隔內(nèi)物體所傳導(dǎo)熱量的計(jì)算確定在一時(shí)間間隔內(nèi)物體所傳導(dǎo)熱量的計(jì)算方法。方法。 3 3、難點(diǎn)內(nèi)容、難點(diǎn)內(nèi)容一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱和半無(wú)限大物體導(dǎo)熱問(wèn)題。一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱和半無(wú)限大物體導(dǎo)熱問(wèn)題。3.1 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念.1非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程物體的物體的溫度隨時(shí)間而變化溫度隨時(shí)間而變化的導(dǎo)熱過(guò)程為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。的導(dǎo)熱過(guò)程為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。 自然界和工程上許多導(dǎo)熱過(guò)程為非穩(wěn)態(tài)，自然界和工程上許多導(dǎo)熱過(guò)程為非穩(wěn)態(tài)，t= f(t= f( ) ) 例：冶金、熱處理與熱加工中工件被加熱或冷卻；例：冶金、熱處理與熱加工中工件被加熱或冷卻；

3、鍋爐、內(nèi)燃機(jī)等裝置起動(dòng)、停機(jī)、變工況；鍋爐、內(nèi)燃機(jī)等裝置起動(dòng)、停機(jī)、變工況； 自然環(huán)境溫度；自然環(huán)境溫度； 供暖或停暖過(guò)程中墻內(nèi)與室內(nèi)空氣溫度。供暖或停暖過(guò)程中墻內(nèi)與室內(nèi)空氣溫度。2 2 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分類(lèi)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分類(lèi)周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：物體的溫度隨時(shí)間而作周期物體的溫度隨時(shí)間而作周期性的變化性的變化 非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（瞬態(tài)導(dǎo)熱）非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（瞬態(tài)導(dǎo)熱）：物體的溫度：物體的溫度隨時(shí)間不斷地升高（加熱過(guò)程）或降低（冷卻過(guò)隨時(shí)間不斷地升高（加熱過(guò)程）或降低（冷卻過(guò)程），在經(jīng)歷相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間后，物體溫度逐漸趨近程），在經(jīng)歷相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間后，物體溫度逐漸趨近于周?chē)橘|(zhì)溫度，最終達(dá)到熱

4、平衡。于周?chē)橘|(zhì)溫度，最終達(dá)到熱平衡。物體各點(diǎn)的溫度隨時(shí)間的推移逐漸趨近于恒定的物體各點(diǎn)的溫度隨時(shí)間的推移逐漸趨近于恒定的值值著重討論瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。著重討論瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程必定是加熱或冷卻過(guò)程。非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程必定是加熱或冷卻過(guò)程。 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程中在熱量傳遞方向上不同位置非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程中在熱量傳遞方向上不同位置處的導(dǎo)熱量是處處不同的；不同位置間導(dǎo)熱量處的導(dǎo)熱量是處處不同的；不同位置間導(dǎo)熱量的差別用于（或來(lái)自）該兩個(gè)位置間內(nèi)能隨時(shí)的差別用于（或來(lái)自）該兩個(gè)位置間內(nèi)能隨時(shí)間的變化，這是間的變化，這是區(qū)別與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的一個(gè)特點(diǎn)區(qū)別與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的一個(gè)特點(diǎn)。3 3、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程的特點(diǎn)、非

5、穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程的特點(diǎn)對(duì)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一般不能用熱阻的方法來(lái)對(duì)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一般不能用熱阻的方法來(lái)作問(wèn)題的定量分析。作問(wèn)題的定量分析。 4 4 溫度分布溫度分布一復(fù)合平壁，左側(cè)金屬一復(fù)合平壁，左側(cè)金屬壁，右側(cè)保溫層，層間壁，右側(cè)保溫層，層間接觸良好，兩種材料導(dǎo)接觸良好，兩種材料導(dǎo)熱系數(shù)、密度和比熱均熱系數(shù)、密度和比熱均為常數(shù)，初始溫度為常數(shù)，初始溫度t t0 0復(fù)合壁左側(cè)表面溫度突復(fù)合壁左側(cè)表面溫度突然升高到然升高到t t1 1，并保持不，并保持不變，右側(cè)仍與溫度為變，右側(cè)仍與溫度為t t0 0的空氣接觸的空氣接觸Dt1t0HCBAEFG5 兩個(gè)不同的階段兩個(gè)不同的階段依據(jù)溫度變化的特點(diǎn)，可將加熱或冷卻過(guò)

6、程分為依據(jù)溫度變化的特點(diǎn)，可將加熱或冷卻過(guò)程分為二個(gè)階段。二個(gè)階段。 非正規(guī)狀況階段非正規(guī)狀況階段( (右側(cè)面不參與換熱右側(cè)面不參與換熱 ) )：溫度：溫度分布受環(huán)境和初始溫度的綜合影響，即：分布受環(huán)境和初始溫度的綜合影響，即：在此階在此階段物體溫度分布受段物體溫度分布受 t0 t0 分布的影響較大分布的影響較大。環(huán)境的熱影響不斷向物體內(nèi)部擴(kuò)展的過(guò)程，環(huán)境的熱影響不斷向物體內(nèi)部擴(kuò)展的過(guò)程，即物體（或系統(tǒng)）有部分區(qū)域受到初始溫度分布即物體（或系統(tǒng)）有部分區(qū)域受到初始溫度分布控制的階段?？刂频碾A段。必須用無(wú)窮級(jí)數(shù)描述。必須用無(wú)窮級(jí)數(shù)描述。 二類(lèi)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的區(qū)別：二類(lèi)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的區(qū)別：瞬態(tài)導(dǎo)熱存在著

7、有區(qū)別瞬態(tài)導(dǎo)熱存在著有區(qū)別的兩個(gè)不同階段，而周期性導(dǎo)熱不存在。的兩個(gè)不同階段，而周期性導(dǎo)熱不存在。 正規(guī)狀況階段正規(guī)狀況階段( (右側(cè)面參與換熱右側(cè)面參與換熱 ) )：當(dāng)右側(cè)面參與換熱以后，物體中的溫度分布當(dāng)右側(cè)面參與換熱以后，物體中的溫度分布主要取決于邊界條件及物性，此時(shí)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)主要取決于邊界條件及物性，此時(shí)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程進(jìn)入到正規(guī)狀況階段。程進(jìn)入到正規(guī)狀況階段。環(huán)境的熱影響已經(jīng)擴(kuò)展到整個(gè)物體內(nèi)部，即環(huán)境的熱影響已經(jīng)擴(kuò)展到整個(gè)物體內(nèi)部，即物體（或系統(tǒng)）不再受到初始溫度分布影響的階物體（或系統(tǒng)）不再受到初始溫度分布影響的階段。段?？梢杂贸醯群瘮?shù)描述。可以用初等函數(shù)描述。6 熱量變化熱量變化

8、1 1板左側(cè)導(dǎo)入的熱流量板左側(cè)導(dǎo)入的熱流量2 2板右側(cè)導(dǎo)出的熱流量板右側(cè)導(dǎo)出的熱流量各階段熱流量的特征：各階段熱流量的特征：非正規(guī)狀況階段：非正規(guī)狀況階段：1急劇減小急劇減小，2保持不變保持不變；正規(guī)狀況階段：正規(guī)狀況階段： 1逐漸減小逐漸減小，2逐漸增大逐漸增大。 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的求解實(shí)質(zhì)：非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的求解實(shí)質(zhì)：在規(guī)定的初始條件在規(guī)定的初始條件及邊界條件下求解導(dǎo)熱微分方程式，是本章主要及邊界條件下求解導(dǎo)熱微分方程式，是本章主要任務(wù)。任務(wù)。3.1.2 3.1.2 導(dǎo)熱微分方程解的唯一性定律導(dǎo)熱微分方程解的唯一性定律三個(gè)不同坐標(biāo)系下導(dǎo)熱微分方程式，用矢量形三個(gè)不同坐標(biāo)系下導(dǎo)熱微分方程式，用矢

9、量形式統(tǒng)一表示為：式統(tǒng)一表示為：( ) 3-1aptcdiv grad t（）溫度的拉普拉斯算子2t2 3-1bptatc （）初始條件初始條件的一般形式的一般形式( , , ,0)( , , )t x y zf x y z簡(jiǎn)單特例簡(jiǎn)單特例 f(x,y,z)=f(x,y,z)=t t0 0邊界條件邊界條件：著重討論第三類(lèi)邊界條件：著重討論第三類(lèi)邊界條件()()wwfth ttn解的唯一性定理解的唯一性定理數(shù)學(xué)上可以證明，如果某一函數(shù)數(shù)學(xué)上可以證明，如果某一函數(shù)t(x,y,z,)t(x,y,z,)滿足滿足方程（方程（3-1a3-1a）（）（3-1b3-1b）以及一定的初始和邊界條件，）以及一定的

10、初始和邊界條件，則此函數(shù)就是這一特定導(dǎo)熱問(wèn)題的唯一解。則此函數(shù)就是這一特定導(dǎo)熱問(wèn)題的唯一解。本章所介紹的各種分析解都被認(rèn)為是滿足特定問(wèn)題本章所介紹的各種分析解都被認(rèn)為是滿足特定問(wèn)題的唯一解。的唯一解。pctat202t一般情況下，穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的溫度分布取決于物體的一般情況下，穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的溫度分布取決于物體的導(dǎo)熱系數(shù)導(dǎo)熱系數(shù)，但非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的溫度分布則取決于，但非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的溫度分布則取決于導(dǎo)熱系數(shù)導(dǎo)熱系數(shù)和和熱擴(kuò)散率熱擴(kuò)散率a a。3.1.3 3.1.3 第三類(lèi)邊界條件非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱溫度第三類(lèi)邊界條件非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱溫度分布的三種情形分布的三種情形在第三類(lèi)邊界條件下，確定非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱物體中的在第三類(lèi)邊界條件下，確定

11、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱物體中的溫度變化特征與邊界條件參數(shù)的關(guān)系。溫度變化特征與邊界條件參數(shù)的關(guān)系。 已知：已知：平板厚平板厚 、初溫、初溫 、表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)、表面?zhèn)鳠嵯禂?shù) h h 、平板導(dǎo)熱系數(shù)平板導(dǎo)熱系數(shù) ，將其突然置于溫度為，將其突然置于溫度為 的的流體中冷卻。流體中冷卻。 20tt平板中溫度場(chǎng)的變化會(huì)出現(xiàn)以下三種情形：平板中溫度場(chǎng)的變化會(huì)出現(xiàn)以下三種情形： 1/h （1）t 這時(shí)，由于表面對(duì)流換這時(shí)，由于表面對(duì)流換熱熱阻熱熱阻 幾乎可以忽略，因幾乎可以忽略，因而而過(guò)程一開(kāi)始平板的表面溫過(guò)程一開(kāi)始平板的表面溫度就被冷卻到度就被冷卻到 。并隨著時(shí)。并隨著時(shí)間的推移，逐漸趨近于間的推移，逐漸趨近于 。th/

12、1t1hBih /1/h （2） 這時(shí)，平板內(nèi)部導(dǎo)熱這時(shí)，平板內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻熱阻 幾乎可以忽略，幾乎可以忽略，因而因而任一時(shí)刻平板中各點(diǎn)任一時(shí)刻平板中各點(diǎn)的溫度接近均勻的溫度接近均勻，并隨著，并隨著時(shí)間的推移，整體地下降，時(shí)間的推移，整體地下降，逐漸趨近于逐漸趨近于 。t/1hBih 這時(shí)平板中不同時(shí)刻的溫度分布這時(shí)平板中不同時(shí)刻的溫度分布介于上述兩種極端情況之間。介于上述兩種極端情況之間。 /1 / h（3） 與與 的數(shù)值比較接近的數(shù)值比較接近 由此可見(jiàn)，上述兩個(gè)熱阻的相由此可見(jiàn)，上述兩個(gè)熱阻的相對(duì)大小對(duì)于物體中非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的對(duì)大小對(duì)于物體中非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的溫度場(chǎng)的變化具有重要影響。為溫度場(chǎng)的變化具

13、有重要影響。為此，我們引入表征這兩個(gè)熱阻比此，我們引入表征這兩個(gè)熱阻比值的特征數(shù)值的特征數(shù)畢渥數(shù)。畢渥數(shù)。1hBih 1 1）畢渥數(shù)的定義：）畢渥數(shù)的定義：1hBih 畢渥數(shù)屬特征數(shù)（準(zhǔn)則數(shù)）。畢渥數(shù)屬特征數(shù)（準(zhǔn)則數(shù)）。 2 2）Bi Bi 物理意義：物理意義： 固體內(nèi)部單位導(dǎo)熱面積上的導(dǎo)熱固體內(nèi)部單位導(dǎo)熱面積上的導(dǎo)熱熱阻與單位表面積上的換熱熱阻之比。熱阻與單位表面積上的換熱熱阻之比。BiBi的大小反的大小反映了物體在非穩(wěn)態(tài)條件下內(nèi)部溫度場(chǎng)的分布規(guī)律。映了物體在非穩(wěn)態(tài)條件下內(nèi)部溫度場(chǎng)的分布規(guī)律。 3 3）特征數(shù)（準(zhǔn)則數(shù)）：）特征數(shù)（準(zhǔn)則數(shù)）：表征某一物理現(xiàn)象或過(guò)表征某一物理現(xiàn)象或過(guò)程特征的無(wú)量

14、綱數(shù)。程特征的無(wú)量綱數(shù)。 4 4）特征長(zhǎng)度：）特征長(zhǎng)度：是指特征數(shù)定義式中的幾何尺度。是指特征數(shù)定義式中的幾何尺度。畢渥數(shù)畢渥數(shù)3.2 零維問(wèn)題的分析法集總參數(shù)法 定義：定義：忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻、認(rèn)為物體溫度均忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻、認(rèn)為物體溫度均勻一致的分析方法。勻一致的分析方法。此時(shí)，此時(shí)， ，溫度分布只，溫度分布只與時(shí)間有關(guān)，即與時(shí)間有關(guān)，即 ，與空間位置無(wú)關(guān)，與空間位置無(wú)關(guān)，因此，也稱(chēng)為因此，也稱(chēng)為零維零維問(wèn)題。問(wèn)題。0Bi )(ft 物體的質(zhì)量與熱容量均集中到一點(diǎn)。物體的質(zhì)量與熱容量均集中到一點(diǎn)。由于物體溫度與空間坐標(biāo)無(wú)關(guān)，因此由于物體溫度與空間坐標(biāo)無(wú)關(guān)，因此集總參數(shù)法尤其易于處理形

15、狀不規(guī)則集總參數(shù)法尤其易于處理形狀不規(guī)則的物體。的物體。3.2.1 3.2.1 集總參數(shù)法溫度場(chǎng)的分析解集總參數(shù)法溫度場(chǎng)的分析解h h, t t Ac, c, V, t0一個(gè)集總參數(shù)系統(tǒng)，其體積為一個(gè)集總參數(shù)系統(tǒng)，其體積為V V、表面積為、表面積為A A、密度為、密度為 、比、比熱為熱為c c以及初始溫度為以及初始溫度為t t0 0，突，突然放入溫度為然放入溫度為t t 、換熱系數(shù)為、換熱系數(shù)為h h的環(huán)境中。的環(huán)境中。求物體溫度隨時(shí)間變化的依變求物體溫度隨時(shí)間變化的依變關(guān)系及物體與外界的換熱量關(guān)系及物體與外界的換熱量建立數(shù)學(xué)模型利用建立數(shù)學(xué)模型利用兩種兩種方法方法利用能量守恒利用能量守恒熱平

16、衡關(guān)系為：內(nèi)熱能隨時(shí)間的變化率熱平衡關(guān)系為：內(nèi)熱能隨時(shí)間的變化率通通過(guò)表面與外界交換的熱流量過(guò)表面與外界交換的熱流量c c 。根據(jù)根據(jù)導(dǎo)熱微分方程的一般形式導(dǎo)熱微分方程的一般形式進(jìn)行簡(jiǎn)化；進(jìn)行簡(jiǎn)化；方法一方法一椐非穩(wěn)態(tài)有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱微分方程：椐非穩(wěn)態(tài)有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱微分方程： cztytxtct222222物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻很小，忽略不計(jì)。物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻很小，忽略不計(jì)。物體溫度在同一瞬間各點(diǎn)溫度基本相等，即物體溫度在同一瞬間各點(diǎn)溫度基本相等，即t t僅是僅是的一元函數(shù)，與坐標(biāo)的一元函數(shù)，與坐標(biāo)x x、y y、z z無(wú)關(guān)，即無(wú)關(guān)，即 2222220tttxyztc可視為廣義熱源，而且熱交換的邊界不

17、是計(jì)算邊可視為廣義熱源，而且熱交換的邊界不是計(jì)算邊界（零維無(wú)任何邊界）界（零維無(wú)任何邊界） 界面上交換的熱量應(yīng)折算成整個(gè)物體的體積熱源，即：界面上交換的熱量應(yīng)折算成整個(gè)物體的體積熱源，即： )(ttAhV物體被冷卻，物體被冷卻，應(yīng)為負(fù)值應(yīng)為負(fù)值()dtcVAh ttd 適用于本問(wèn)題的導(dǎo)適用于本問(wèn)題的導(dǎo)熱微分方程式熱微分方程式在導(dǎo)熱問(wèn)題中，將邊界的對(duì)流換熱在導(dǎo)熱問(wèn)題中，將邊界的對(duì)流換熱( (或輻射換熱或輻射換熱) )折算成折算成“計(jì)算源項(xiàng)計(jì)算源項(xiàng)”是是有條件的，即有條件的，即在所研究的方向上導(dǎo)熱在所研究的方向上導(dǎo)熱體內(nèi)部熱阻忽略不計(jì)體內(nèi)部熱阻忽略不計(jì)。當(dāng)物體被冷卻時(shí)（當(dāng)物體被冷卻時(shí)（t t t

18、t ）, ,由能量守恒可知由能量守恒可知ddtVctthA-)(方法二方法二適用于本問(wèn)題的導(dǎo)適用于本問(wèn)題的導(dǎo)熱微分方程式熱微分方程式物體與環(huán)境的對(duì)流散熱熱流量物體與環(huán)境的對(duì)流散熱熱流量= =物體內(nèi)能的變化率物體內(nèi)能的變化率過(guò)余溫度令： tt00)0(-ttddVchAdVchAd方程式改寫(xiě)為：方程式改寫(xiě)為：00dVchAdVchA ln0dVchAd積分積分VchAetttt00其中的指數(shù)：其中的指數(shù)：222()()hAhVAcVA Vch V AaBi FoV A cVlA特征長(zhǎng)度0exp(,)Bi Fo溫度呈指數(shù)溫度呈指數(shù)分布分布傅立葉數(shù)傅立葉數(shù)0Bi Fo應(yīng)用集總參數(shù)法時(shí)，物體過(guò)余溫度隨

19、時(shí)間的變化應(yīng)用集總參數(shù)法時(shí)，物體過(guò)余溫度隨時(shí)間的變化關(guān)系是一條負(fù)自然指數(shù)曲線，或者無(wú)因次溫度的關(guān)系是一條負(fù)自然指數(shù)曲線，或者無(wú)因次溫度的對(duì)數(shù)與時(shí)間的關(guān)系是一條負(fù)斜率直線對(duì)數(shù)與時(shí)間的關(guān)系是一條負(fù)斜率直線 3.2.2 3.2.2 導(dǎo)熱量計(jì)算式、時(shí)間常數(shù)與傅立葉數(shù)導(dǎo)熱量計(jì)算式、時(shí)間常數(shù)與傅立葉數(shù)1 1、導(dǎo)熱量計(jì)算、導(dǎo)熱量計(jì)算 瞬態(tài)熱流量瞬態(tài)熱流量：VchAetttt00cVhAcVhAehAecVhAcVddcV00導(dǎo)熱體在時(shí)間導(dǎo)熱體在時(shí)間 0 0 內(nèi)傳給流體的總熱量：內(nèi)傳給流體的總熱量：當(dāng)物體被加熱時(shí)當(dāng)物體被加熱時(shí)(tt(t0.2Fo0.2后，略去無(wú)窮級(jí)數(shù)中的第后，略去無(wú)窮級(jí)數(shù)中的第二項(xiàng)及以后各項(xiàng)

20、所得的計(jì)算結(jié)果與按完整級(jí)數(shù)計(jì)二項(xiàng)及以后各項(xiàng)所得的計(jì)算結(jié)果與按完整級(jí)數(shù)計(jì)算結(jié)果的偏差小于算結(jié)果的偏差小于1%1%。3210III2、正規(guī)狀況三個(gè)分析解的簡(jiǎn)化表達(dá)式正規(guī)狀況三個(gè)分析解的簡(jiǎn)化表達(dá)式211101112sin( , ) exp()cos()cossinFo 平板21110122010111()( , )2 exp()()()()JFo JJJ 圓柱2111101112 sincossin()( , ) exp()sinFo （-）球FoFo 0.20.2時(shí)，進(jìn)入正時(shí)，進(jìn)入正規(guī)狀況階段，平壁規(guī)狀況階段，平壁內(nèi)所有各點(diǎn)過(guò)余溫內(nèi)所有各點(diǎn)過(guò)余溫度的對(duì)數(shù)都隨時(shí)間度的對(duì)數(shù)都隨時(shí)間按線性規(guī)律變化，按線

21、性規(guī)律變化，變化曲線的斜率都變化曲線的斜率都相等相等。FoFo0.2Fo0.2時(shí)，可采用上述計(jì)算公式求得非時(shí)，可采用上述計(jì)算公式求得非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱物體的溫度場(chǎng)及交換的熱量，也可采穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱物體的溫度場(chǎng)及交換的熱量，也可采用簡(jiǎn)化的擬合公式和諾模圖求得。用簡(jiǎn)化的擬合公式和諾模圖求得。3.3.3 3.3.3 正規(guī)熱狀況的實(shí)用計(jì)算方法正規(guī)熱狀況的實(shí)用計(jì)算方法211()(1)1icBibaBAabeacBiBbBi常數(shù)見(jiàn)表常數(shù)見(jiàn)表3-33-31 1、近似擬合公式、近似擬合公式230( )Jxabxcxdx式中常數(shù)式中常數(shù)a a，b ,c ,d b ,c ,d 見(jiàn)見(jiàn)P P128128表表3-23-2對(duì)上述公式中

22、的對(duì)上述公式中的A A，B B，1 1，J J0 0 可用下式擬合可用下式擬合教材錯(cuò)誤！教材錯(cuò)誤！)( )(01xJxJ) ,Fo Bi,(),( 0 xfx)exp()cos(cossin)sin(2),(21111110Foxx三個(gè)變量，需分來(lái)畫(huà)三個(gè)變量，需分來(lái)畫(huà)以無(wú)限大平板為例，以無(wú)限大平板為例，F(xiàn)o0.2 Fo0.2 時(shí)，取其級(jí)數(shù)首項(xiàng)即可時(shí)，取其級(jí)數(shù)首項(xiàng)即可)Fo Bi,( ) Bi,( ;)()(),(),(00fxfxxmm2 2、圖線法、圖線法P129P129圖圖3-73-7)Fo Bi,( ) Bi,( ;)()(),(),(00fxfxxmm0)( Fo) (Bi,m物體中各

23、點(diǎn)過(guò)余溫度隨時(shí)間增加而減少，物體中各點(diǎn)過(guò)余溫度隨時(shí)間增加而減少，所以也隨所以也隨FoFo的增加而減少。的增加而減少。FoFo一定時(shí)，一定時(shí)，BiBi越大，越大， 越小越小0m)(),( ) Bi,(mxxP130P130圖圖3-83-8BiBi大小還決大小還決定物體中溫定物體中溫度趨于均勻度趨于均勻的程度的程度ttcQfQQ02000m2 );Bi Fo,(平壁每P130P130圖圖3-93-9無(wú)限長(zhǎng)圓柱體和球體加熱（冷卻）過(guò)程分析無(wú)限長(zhǎng)圓柱體和球體加熱（冷卻）過(guò)程分析1. 1.無(wú)限長(zhǎng)圓柱無(wú)限長(zhǎng)圓柱t tr rt tt tt t0 0h hh h000,rrFoBiftttt式中式中r r0

24、0 為無(wú)限長(zhǎng)圓柱體的半徑為無(wú)限長(zhǎng)圓柱體的半徑 020,hraBiFor類(lèi)似有類(lèi)似有 ： 和和02100,rrBifFoBifccFoBifQQ,30P573P573附錄附錄16162.2.球體球體ttrt0 00球體處理方法與無(wú)限大圓柱球體處理方法與無(wú)限大圓柱體完全相同，相應(yīng)的線算圖體完全相同，相應(yīng)的線算圖示于示于P575P575附錄附錄1717之中。之中。這里要注意的是特征尺寸這里要注意的是特征尺寸R R為球體的半徑，為球體的半徑，r r為球體的為球體的徑向方向。徑向方向。 如何利用線算圖如何利用線算圖a a）對(duì)于）對(duì)于由時(shí)間求溫度的步驟由時(shí)間求溫度的步驟為，計(jì)算為，計(jì)算BiBi數(shù)、數(shù)、Fo

25、Fo數(shù)和數(shù)和x/x/ ，從圖，從圖3-73-7中查找中查找mm/ / 0 0 和從圖和從圖3-83-8中中查找查找 / /mm ，計(jì)算出，計(jì)算出 ，最后求出溫度，最后求出溫度tttt00b) b) 對(duì)于對(duì)于由溫度求時(shí)間步驟由溫度求時(shí)間步驟為，計(jì)算為，計(jì)算BiBi數(shù)、數(shù)、 x/x/和和 / / 0 0 , ,從圖從圖3-83-8中查找中查找/mm, , ，計(jì)算，計(jì)算mm/0 0然后從圖然后從圖3-73-7中查找中查找FoFo, ,再求出時(shí)間再求出時(shí)間 。 c c）平板吸收（或放出）的熱量，可在計(jì)算）平板吸收（或放出）的熱量，可在計(jì)算QQ0 0、BiBi數(shù)、數(shù)、FoFo數(shù)之后，從圖數(shù)之后，從圖3-

26、93-9中中Q/QQ/Q0 0查找，再計(jì)算出查找，再計(jì)算出 00QQQQ目前，隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，直接應(yīng)用分析解目前，隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，直接應(yīng)用分析解及簡(jiǎn)化擬合公式計(jì)算的方法受到重視。及簡(jiǎn)化擬合公式計(jì)算的方法受到重視。 線算圖法評(píng)述線算圖法評(píng)述優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)潔方便。優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)潔方便。缺點(diǎn)：準(zhǔn)確度有限，誤差較大。缺點(diǎn)：準(zhǔn)確度有限，誤差較大。3.3.4 分析解應(yīng)用范圍的推廣及準(zhǔn)數(shù)對(duì)過(guò)程的影響分析解應(yīng)用范圍的推廣及準(zhǔn)數(shù)對(duì)過(guò)程的影響 分析解對(duì)物體被加熱或冷卻均適用分析解對(duì)物體被加熱或冷卻均適用對(duì)一維平板，還可應(yīng)用于以下邊界條件對(duì)一維平板，還可應(yīng)用于以下邊界條件(1)(1)平板一側(cè)絕熱，另一側(cè)第三類(lèi)邊界；平板

27、一側(cè)絕熱，另一側(cè)第三類(lèi)邊界；(2)(2)平板兩側(cè)均為第一類(lèi)邊界。平板兩側(cè)均為第一類(lèi)邊界。【例例】一塊厚一塊厚200mm200mm的大鋼板，鋼材的密度為的大鋼板，鋼材的密度為=7790kg/m=7790kg/m3 3，比熱容，比熱容c cp p=170J/(kg=170J/(kgK)K)，導(dǎo)熱系數(shù)為，導(dǎo)熱系數(shù)為43.2W/(m43.2W/(mK)K)，鋼板的初始溫度為，鋼板的初始溫度為2020，放入，放入10001000的加熱爐中加熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為的加熱爐中加熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為 h=300W/(mh=300W/(m2 2K)K)。試求加熱試求加熱4040分鐘時(shí)鋼板的中心溫度。分鐘時(shí)鋼板的中心溫

28、度。解：根據(jù)題意，解：根據(jù)題意，=100mm = 0.1m=100mm = 0.1m。畢渥數(shù)為畢渥數(shù)為 463. 0K)W/(m2 .43m1 . 0K)W/(m3002hBi傅里葉數(shù)為傅里葉數(shù)為 83. 2m1 . 0s6040/sm1018. 12252aFo查圖可得查圖可得 m00.32m00.32 0.3220 C1000 C1000 C686ttttC531018. 1K)J/(kg470kg/m7790K)W/(m2 .43pca鋼材的熱擴(kuò)散率為鋼材的熱擴(kuò)散率為 32. 00m0mtttt一壁厚一壁厚40mm40mm，直徑，直徑1m1m的鋼制輸油管的鋼制輸油管(AISI1010)(

29、AISI1010)。管道外壁有很厚的隔熱層。在輸油前，管壁處管道外壁有很厚的隔熱層。在輸油前，管壁處于于-20-20的均勻溫度，流動(dòng)開(kāi)始時(shí)用泵使的均勻溫度，流動(dòng)開(kāi)始時(shí)用泵使6060的的熱油通過(guò)管道，在管內(nèi)壁，形成相當(dāng)于熱油通過(guò)管道，在管內(nèi)壁，形成相當(dāng)于h=500h=500W/mKW/mK的對(duì)流條件。的對(duì)流條件。1. 1.開(kāi)始流動(dòng)開(kāi)始流動(dòng)8min8min后，后，F(xiàn)oFo，BiBi值？值？2.8min2.8min時(shí)，覆蓋了隔熱層的管子外壁溫度？時(shí)，覆蓋了隔熱層的管子外壁溫度？3.8min3.8min時(shí)，油對(duì)管壁傳熱的熱流？時(shí)，油對(duì)管壁傳熱的熱流？4.4.在在8min8min時(shí)間內(nèi)，熱油傳給每時(shí)間內(nèi)

30、，熱油傳給每mm長(zhǎng)管道的能量？長(zhǎng)管道的能量？)/(9 .63,/434,/7832300260203KmWKkgJcmkgKT2 . 064. 51 . 0313. 02aFohBi解：解：AIAI1010AIAI1010鋼鋼管壁厚度遠(yuǎn)小于管道直徑，管壁可近似為平壁管壁厚度遠(yuǎn)小于管道直徑，管壁可近似為平壁特征長(zhǎng)度取壁厚特征長(zhǎng)度取壁厚214. 00m9 .42min8 , 0tmin)8 ,(min)8 ,(tthq862. 0m185. 00mm20/7381185. 0min)8 ,(mWtthhq(2)(2)由于由于Bi0.1Bi0.1，故不可采用集總參數(shù)法；，故不可采用集總參數(shù)法；FO0

31、.2FO0.2，可用一維分析解的簡(jiǎn)化形式，求絕熱表面的溫度可用一維分析解的簡(jiǎn)化形式，求絕熱表面的溫度查圖查圖3-73-7(3)(3)在在x=x=處處查圖查圖3-83-880. 00QQmkJdcQQ/273008 . 08 . 000(4)(4)油傳給每米管道能量能量油傳給每米管道能量能量查圖查圖3-93-93.43.4半無(wú)限大物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱半無(wú)限大物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 x=0 x=0界面開(kāi)始，界面開(kāi)始，可向正向及上下方可向正向及上下方向無(wú)限延伸，而在向無(wú)限延伸，而在每個(gè)與每個(gè)與x x坐標(biāo)垂直坐標(biāo)垂直的截面上物體溫度的截面上物體溫度相等。相等。處理非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱初始階段問(wèn)題的方法處理非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱初始階段問(wèn)

32、題的方法第一類(lèi)：邊界溫度突然升至第一類(lèi)：邊界溫度突然升至t tww，并保持恒定；，并保持恒定；第二類(lèi)：邊界受到恒定熱流密度加熱；第二類(lèi)：邊界受到恒定熱流密度加熱；第三類(lèi)：受到溫度為第三類(lèi)：受到溫度為t t的流體加熱。的流體加熱。，三種邊界條件之一，000022xttxttxtat完整的數(shù)學(xué)描述完整的數(shù)學(xué)描述)4(24002axerfdyaxye第一類(lèi)：第一類(lèi)：第二類(lèi)：第二類(lèi)：)4()4exp(2),(0200axerfcxqaxaqtxt第三類(lèi)：第三類(lèi)：)4()exp()4(),(2200ahaxerfcahhxaxerfctttxt誤差函數(shù)：誤差函數(shù)：1)(1)(2)(02xerfxxerf

33、xdvexerfxv有限大小時(shí)，余補(bǔ)誤差函數(shù)：余補(bǔ)誤差函數(shù)：dvexerfxerfcxv22)(1)(以第一類(lèi)邊界條件為例，對(duì)分析解進(jìn)行討論以第一類(lèi)邊界條件為例，對(duì)分析解進(jìn)行討論無(wú)量綱無(wú)量綱坐標(biāo)坐標(biāo)ax4)(0erf物理意義物理意義？)4(24002axerfdyaxye9953. 09953. 0)2(240erfax)(0erf2 2時(shí)，時(shí)，x x處溫度仍為處溫度仍為t t0 0無(wú)量綱過(guò)余溫度變化小于無(wú)量綱過(guò)余溫度變化小于0.5%0.5%幾何位置幾何位置若若對(duì)一原為對(duì)一原為2 2的平板，若的平板，若時(shí)間時(shí)間若若惰性時(shí)間惰性時(shí)間局部局部FoFo數(shù)數(shù)ax42a4ax162206. 01612x

34、a則均則均可作可作為半為半無(wú)限無(wú)限大物大物體來(lái)體來(lái)處理處理 以第一類(lèi)邊界條件為例，導(dǎo)出以第一類(lèi)邊界條件為例，導(dǎo)出00 時(shí)刻物體與時(shí)刻物體與外界換熱量外界換熱量2401xaxqxae 任意截面任意截面x x處熱流密度：處熱流密度：令令x=0 x=0即得邊界面上的熱流量即得邊界面上的熱流量0wqa )4(24002axerfdyaxye0,0, 內(nèi)累計(jì)傳熱量?jī)?nèi)累計(jì)傳熱量002cdzqQw吸熱系數(shù)吸熱系數(shù)吸熱系數(shù)表征了物體向其接觸的高溫物體的吸熱能力吸熱系數(shù)表征了物體向其接觸的高溫物體的吸熱能力銅和混凝土在溫度為銅和混凝土在溫度為2323的房間中已經(jīng)放置很的房間中已經(jīng)放置很久。用手分別接觸這兩種材料

35、，問(wèn)哪一塊材料久。用手分別接觸這兩種材料，問(wèn)哪一塊材料使人感覺(jué)更涼使人感覺(jué)更涼? ?假定材料可當(dāng)作半無(wú)限大物體，假定材料可當(dāng)作半無(wú)限大物體，人手的溫度為人手的溫度為3737。手指的感覺(jué)與其感受到的熱流密度有關(guān)手指的感覺(jué)與其感受到的熱流密度有關(guān)00ttcattqwww混凝土銅混凝土銅ccqqww)/(385,/8933KmW/4013KkgJcmkg，)/(880,/2300KmW/4 . 13KkgJcmkg，1 .22混凝土銅wwqq溫度為溫度為2323時(shí)，銅和混凝土的物性：時(shí)，銅和混凝土的物性：銅：銅：混凝土：混凝土：即銅塊上的熱流是混凝土上熱流的即銅塊上的熱流是混凝土上熱流的2020多倍，多倍，因此，人手的感覺(jué)是銅塊要比混凝土涼因此，人手的感覺(jué)是銅塊要比混凝土涼2. Bi2. Bi準(zhǔn)則對(duì)溫度分布的影響準(zhǔn)則對(duì)溫度分布的影響B(tài)i Bi （Bi=Bi=h h / / ）表征了給定導(dǎo)熱系統(tǒng)內(nèi)的導(dǎo)熱熱表征了給定導(dǎo)熱系統(tǒng)內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻與其和環(huán)境之間的換熱熱阻的對(duì)比關(guān)系阻與其和環(huán)境之間的換熱熱阻的