2021版數(shù)學(xué)（新教材）必修 第一冊(cè)人教A版：第五章 5-1-2

1、5.1.2弧度制學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.理解“1弧度的角”的定義，掌握弧度與角度的換算、弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式，熟悉特殊角的弧度數(shù)知識(shí)點(diǎn)一度量角的兩種單位制1角度制：(1)定義：用度作為單位來(lái)度量角的單位制(2)1度的角：周角的eq f(1,360).2弧度制：(1)定義：以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制(2)1弧度的角：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角知識(shí)點(diǎn)二弧度數(shù)的計(jì)算思考比值eq f(l,r)與所取的圓的半徑大小是否有關(guān)？答案一定大小的圓心角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)與半徑的比值是唯一確定的，與半徑大小無(wú)關(guān)知識(shí)點(diǎn)三角度與弧度的互化角度化弧度弧度化角度3602 r

2、ad2 rad360180 rad rad1801eq f(,180) rad0.017 45 rad1 radeq blc(rc)(avs4alco1(f(180,)57.30度數(shù)eq f(,180)弧度數(shù)弧度數(shù)eq blc(rc)(avs4alco1(f(180,)度數(shù)知識(shí)點(diǎn)四弧度制下的弧長(zhǎng)與扇形面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，(02)為其圓心角，則(1)弧長(zhǎng)公式：lR.(2)扇形面積公式：Seq f(1,2)lReq f(1,2)R2.思考扇形的面積公式與哪個(gè)平面圖形的面積公式類似？對(duì)應(yīng)的圖形是否也類似？答案扇形的面積公式與三角形的面積公式類似實(shí)際上，扇形可看作是一曲邊三角形，弧是底

3、，半徑是底上的高預(yù)習(xí)小測(cè)自我檢驗(yàn)118_ rad.答案eq f(,10)2.eq f(3,10)_.答案543若eq f(,4)，則是第_象限角答案一4圓心角為eq f(,3)弧度，半徑為6的扇形的面積為_答案6解析扇形的面積為eq f(1,2)62eq f(,3)6.一、弧度制的概念例1下列說(shuō)法正確的是()A1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于半徑B大圓中1弧度的圓心角比小圓中1弧度的圓心角大C所有圓心角為1弧度的角所對(duì)的弧長(zhǎng)都相等D用弧度表示的角都是正角考點(diǎn)弧度制題點(diǎn)弧度制定義答案A解析對(duì)于A，根據(jù)弧度的定義知，“1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于半徑”，故A正確；對(duì)于B，大圓中1弧度的圓心角與小圓中1

4、弧度的圓心角相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，不在同圓或等圓中，1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是不等的，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D錯(cuò)誤反思感悟?qū)《戎贫x的三點(diǎn)說(shuō)明(1)不管是以弧度還是度為單位的角的大小，都是一個(gè)與半徑的大小無(wú)關(guān)的定值(2)在弧度制下，“弧度”二字或“rad”可以省略不寫，如2 rad可簡(jiǎn)寫為2.(3)用弧度與度去度量同一個(gè)角時(shí)，除了零角以外，所得到的數(shù)量是不同的跟蹤訓(xùn)練1下列各說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是()A“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B1弧度的角是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角C根據(jù)弧度的定義，180一定等于弧度D不論用角度制還是用弧度制度量角，它們均與圓

5、的半徑長(zhǎng)短有關(guān)答案D解析根據(jù)角度和弧度的定義，可知無(wú)論是角度制還是弧度制，角的大小與圓的半徑長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，而是與弧長(zhǎng)與半徑的比值有關(guān)，所以D是錯(cuò)誤的，其他A，B，C正確二、角度制與弧度制的互化例2把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72；(2)300；(3)2；(4)eq f(2,9).解(1)7272eq f(,180)eq f(2,5)；(2)300300eq f(,180)eq f(5,3)；(3)22eq blc(rc)(avs4alco1(f(180,)eq blc(rc)(avs4alco1(f(360,)；(4)eq f(2,9)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,

6、9)f(180,)40.反思感悟角度與弧度互化技巧在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，抓住關(guān)系式 rad180是關(guān)鍵，由它可以得到：度數(shù)eq f(,180)弧度數(shù)，弧度數(shù)eq blc(rc)(avs4alco1(f(180,)度數(shù)跟蹤訓(xùn)練2已知15，eq f(,10)，1，105，eq f(7,12)，試比較，的大小解.三、與扇形的弧長(zhǎng)、面積有關(guān)的計(jì)算例3已知扇形的周長(zhǎng)為10 cm，面積為4 cm2，求扇形圓心角的弧度數(shù)解設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為(02 rad舍去當(dāng)R4時(shí)，l2，此時(shí)，eq f(2,4)eq f(1,2)(rad)綜上可知，扇形圓心角的弧度數(shù)為eq f(1,2) rad.延伸探究1已知一扇

7、形的圓心角是72，半徑為20，求扇形的面積解設(shè)扇形弧長(zhǎng)為l，因?yàn)閳A心角7272eq f(,180)eq f(2,5) rad，所以扇形弧長(zhǎng)l|req f(2,5)208，于是，扇形的面積Seq f(1,2)lreq f(1,2)82080.2已知一扇形的周長(zhǎng)為4，當(dāng)它的半徑與圓心角取何值時(shí)，扇形的面積最大？最大值是多少？解設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為(02)，弧長(zhǎng)為l，半徑為r，面積為S，則l2r4，所以l42req blc(rc)(avs4alco1(f(2,1)r2)，所以Seq f(1,2)lreq f(1,2)(42r)rr22r(r1)21，所以當(dāng)r1時(shí)，S最大，且Smax1，因此，eq

8、f(l,r)eq f(421,1)2(rad)反思感悟扇形的弧長(zhǎng)和面積的求解策略(1)記公式：弧度制下扇形的面積公式是Seq f(1,2)lReq f(1,2)R2(其中l(wèi)是扇形的弧長(zhǎng)，R是扇形的半徑，是扇形圓心角的弧度數(shù)，02)(2)找關(guān)鍵：涉及扇形的半徑、周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓心角、面積等的計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量，然后靈活運(yùn)用弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解跟蹤訓(xùn)練3已知扇形的半徑為10 cm，圓心角為60，求扇形的弧長(zhǎng)和面積解已知扇形的圓心角60eq f(,3)，半徑r10 cm，則弧長(zhǎng)lreq f(,3)10eq f(10,3)(cm)，于是面積Seq

9、f(1,2)lreq f(1,2)eq f(10,3)10eq f(50,3)(cm2)1下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是()A半圓所對(duì)的圓心角是 radB周角的大小等于2C1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于該圓的半徑D長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小是1弧度答案D解析根據(jù)弧度的定義及角度與弧度的換算知A，B，C均正確，D錯(cuò)誤2若2 rad，則的終邊在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C3時(shí)鐘的分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過(guò)的弧度為()A.eq f(14,3) Beq f(14,3)C.eq f(7,18) Deq f(7,18)答案B解析顯然分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里，順時(shí)針轉(zhuǎn)

10、過(guò)了eq f(7,3)周，轉(zhuǎn)過(guò)的弧度為eq f(7,3)2eq f(14,3).4在半徑為10的圓中，eq f(4,3)的圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為()A.eq f(40,3) B.eq f(20,3) C.eq f(200,3) D.eq f(400,3)答案A解析由于r10，eq f(4,3)，所以弧長(zhǎng)lreq f(40,3).5周長(zhǎng)為9，圓心角為1 rad的扇形面積為_答案eq f(9,2)解析由題意可知eq blcrc (avs4alco1(2rl9，,lr，)所以eq blcrc (avs4alco1(r3，,l3，)所以Seq f(1,2)lreq f(9,2).1知識(shí)清單：(1)弧度制的概

11、念(2)弧度與角度的相互轉(zhuǎn)化(3)扇形的弧長(zhǎng)與面積的計(jì)算2方法歸納：消元法解方程組3常見誤區(qū)：弧度與角度混用1120化為弧度為()Aeq f(5,6) Beq f(,2) Ceq f(2,3) Deq f(3,4)答案C解析由于1eq f(,180) rad，所以120120eq f(,180)eq f(2,3)，故選C.2若圓的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，而弧長(zhǎng)也增加到原來(lái)的2倍，則()A扇形的面積不變B扇形的圓心角不變C扇形的面積增大到原來(lái)的2倍D扇形的圓心角增大到原來(lái)的2倍答案B解析l|R，|eq f(l,R).當(dāng)R，l均變?yōu)樵瓉?lái)的2倍時(shí)，|不變而Seq f(1,2)|R2中，不變，S變?yōu)樵瓉?lái)的

12、4倍3用弧度制表示終邊與150角相同的角的集合為()A.eq blcrc(avs4alco1(blc|rc (avs4alco1(f(5,6)2k，kZ)B.eq blcrc(avs4alco1(blc|rc (avs4alco1(f(5,6)k360，kZ)C.eq blcrc(avs4alco1(blc|rc (avs4alco1(f(2,3)2k，kZ)D.eq blcrc(avs4alco1(blc|rc (avs4alco1(f(5,6)2k，kZ)答案D解析150150eq f(,180)eq f(5,6)，故終邊與角150相同的角的集合為eq blcrc(avs4alco1(bl

13、c|rc (avs4alco1(f(5,6)2k，kZ).故選D.4圓的半徑為r，該圓上長(zhǎng)為eq f(3,2)r的弧所對(duì)的圓心角是()A.eq f(2,3) rad B.eq f(3,2) rad C.eq f(2,3) D.eq f(3,2)答案B解析由弧度數(shù)公式eq f(l,r)，得eq f(f(3,2)r,r)eq f(3,2)，因此圓弧所對(duì)的圓心角是eq f(3,2) rad.5集合eq blcrc(avs4alco1(blc|rc (avs4alco1(kf(,4)kf(,2)，kZ)中角所表示的范圍(陰影部分)是()答案C解析k為偶數(shù)時(shí)，集合對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)榈谝幌笙迌?nèi)直線yx左上部分(

14、包含邊界)，k為奇數(shù)時(shí)集合對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)榈谌笙迌?nèi)直線yx的右下部分(包含邊界)故選C.6.eq f(,12) rad_度，_ rad480.答案15eq f(8,3)解析eq f(,12)eq f(180,12)15，480480eq f(,180)eq f(8,3).7把角690化為2k(02，kZ)的形式為_答案4eq f(,6)解析方法一690eq blc(rc)(avs4alco1(690f(,180)eq f(23,6).因?yàn)閑q f(23,6)4eq f(,6)，所以6904eq f(,6).方法二690236030，則6904eq f(,6).8在扇形中，已知半徑為8，弧長(zhǎng)為12

15、，則圓心角是_弧度，扇形面積是_答案eq f(3,2)48解析|eq f(l,r)eq f(12,8)eq f(3,2)，Seq f(1,2)lreq f(1,2)12848.9將下列各角化成弧度制下的角，并指出是第幾象限角(1)1 725；(2)60360k(kZ)解(1)1 72575536052eq f(5,12)eq f(115,12)，是第一象限角(2)60360keq f(,180)602keq f(,3)2k(kZ)，是第四象限角10已知半徑為10的圓O中，弦AB的長(zhǎng)為10.(1)求弦AB所對(duì)的圓心角的大??；(2)求所在的扇形的弧長(zhǎng)l及弧所在的弓形的面積S.解(1)由O的半徑r1

16、0AB，知AOB是等邊三角形，AOB60eq f(,3).(2)由(1)可知eq f(,3)，r10，弧長(zhǎng)lreq f(,3)10eq f(10,3)，S扇形eq f(1,2)lreq f(1,2)eq f(10,3)10eq f(50,3)，而SAOBeq f(1,2)ABeq f(r(3),2)ABeq f(1,2)105eq r(3)25eq r(3)，S弓形S扇形SAOB25eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)r(3).11下列表示中不正確的是()A終邊在x軸上角的集合是|k，kZB終邊在y軸上角的集合是eq blcrc(avs4alco1(blc|rc (avs4a

17、lco1(f(,2)k，kZ)C終邊在坐標(biāo)軸上角的集合是eq blcrc(avs4alco1(blc|rc (avs4alco1(f(k,2)，kZ)D終邊在直線yx上角的集合是eq blcrc(avs4alco1(blc|rc (avs4alco1(f(,4)2k，kZ)答案D解析對(duì)于A，終邊在x軸上角的集合是|k，kZ，故A正確；對(duì)于B，終邊在y軸上的角的集合是eq blcrc(avs4alco1(blc|rc (avs4alco1(f(,2)k，kZ)，故B正確；對(duì)于C，終邊在x軸上的角的集合為|k，kZ，終邊在y軸上的角的集合為eq blcrc(avs4alco1(blc|rc (av

18、s4alco1(f(,2)k，kZ)，其并集為eq blcrc(avs4alco1(blc|rc (avs4alco1(f(k,2)，kZ)，故C正確；對(duì)于D，終邊在直線yx上的角的集合是eq blcrc(avs4alco1(blc|rc (avs4alco1(f(,4)k，kZ)，故D不正確12圓的一條弦的長(zhǎng)等于半徑，則這條弦所對(duì)的圓周角的弧度數(shù)為()A1 B.eq f(1,2)C.eq f(,6)或eq f(5,6) D.eq f(,3)或eq f(5,3)答案C解析設(shè)該弦所對(duì)的圓周角為，則其圓心角為2或22，由于弦長(zhǎng)等于半徑，所以可得2eq f(,3)或22eq f(,3)，解得eq f(,6)或eq f(5,6).13設(shè)集合Meq blcrc(avs4alco1(blc|rc (avs4alco1(f(k,2)f(,3)，kZ)，N|，則MN_.答案eq blcrc(avs4alco1(f(5,6)，f(,3)，f(,6)，f(2,3)解析由eq f(k,2)eq f(,3)，得eq f(4,3)keq f(8,3).因?yàn)閗Z，所以k1,0