實用線性代數(shù)

1、實用大眾線性代數(shù)(MATLAB版)序言1本書的特色和概貌本書的書名反映了它的特色，那就是“實用化”、“現(xiàn)代化”和“大眾化”三個方面?！皩嵱没敝傅氖潜緯怨た频暮罄m(xù)課及未來工程的需求為標(biāo)準(zhǔn)安排內(nèi)容，附錄B,C中列出的60個應(yīng)用實例表明了本書的實用背景；“現(xiàn)代化”指的是用軟件MATLAB來解決問題，不依靠筆算；“大眾化”指的是書中采用了最少、最淺而又足夠的理論，使推理能力不太強(qiáng)的學(xué)生和有實踐經(jīng)驗但不接觸數(shù)學(xué)多年的工程師都能接受，便于向大眾普及。2線性代數(shù)為何列入共同基礎(chǔ)課50年前，線性代數(shù)進(jìn)入美國大學(xué)數(shù)學(xué)系本科教學(xué)計劃1，中國的非數(shù)學(xué)系從80年代起也增設(shè)這門課。線性代數(shù)為什么在近幾十年如此風(fēng)靡呢

2、？不是它在古典理論上有新突破，而是在應(yīng)用上的創(chuàng)新。1973年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)獎發(fā)給了首創(chuàng)用計算機(jī)解54階線性方程組Leontiff教授；它推動了線性代數(shù)在解決大規(guī)模線性方程組方面的成就。80年代初，線性代數(shù)軟件包LINPACK開發(fā)成功。這樣人們不需要精通矩陣求解的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)，就可以解決大型復(fù)雜的線性代數(shù)命題，MATLAB也是用此軟件包作為后臺支撐的。于是，線性代數(shù)不再是少數(shù)理論尖子才能學(xué)會的秘笈，而成為非數(shù)學(xué)專業(yè)大學(xué)生都能掌握的計算工具。但人們在一個時期內(nèi)卻沿用了數(shù)學(xué)系的教法。這門由計算機(jī)催生的課程卻不和計算機(jī)相結(jié)合，而偏重講一兩百年前的數(shù)學(xué)理論，與應(yīng)用無法結(jié)合，引起了師生的強(qiáng)烈改革要求。3美國的線

3、性代數(shù)改革美國從1990年提出了線性代數(shù)改革的五條建議：(i)線性代數(shù)課程要面向應(yīng)用，滿足非數(shù)學(xué)專業(yè)的需要；(ii)它應(yīng)該是面向矩陣的；(iii)它應(yīng)該是根據(jù)學(xué)生的水平和需要來組織的；(iv)它應(yīng)該利用新的計算技術(shù)；(v)抽象內(nèi)容應(yīng)另設(shè)后續(xù)課程來講。1992-1997在大學(xué)教師中實施了”用軟件工具加強(qiáng)線性代數(shù)教學(xué)”的ATLAST計劃，主要推廣MATLAB。MIT的G. Strang教授提出了“讓線性代數(shù)向世界開放”的口號，聽他的視頻講座的人數(shù)已超過一百萬。在中國科技和經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展的今天，普及線性代數(shù)也具備了更好的條件。這本書就是為從事應(yīng)用層面的技術(shù)人員和高校學(xué)生寫的。4我國線性代數(shù)實踐教學(xué)的改

4、革傳統(tǒng)線性代數(shù)的最大弱點是“片面強(qiáng)調(diào)理論，脫離機(jī)算實踐”，作者2005年寫的線性代數(shù)實踐及MATLAB入門5 ，主要就是改革這點，讀者對象是教師。2007年與高淑萍和楊威兩位老師合編了工程線性代數(shù)(MATLAB版)6，讀者對象是學(xué)生。該書以強(qiáng)化建模和實踐為主，由于考慮到學(xué)生考研，理論一點不敢動。2009年高教司指定由本人牽頭，19所大學(xué)參與，實施了“用MATLAB及建模實踐改造工科線性代數(shù)”子項，這兩本書就是項目思想的載體。兩年中，共有200多名教師、45000名學(xué)生在這項改革中受益，雖然在線性代數(shù)中使用計算機(jī)已是師生的共識，但傳統(tǒng)大綱中的理論占了很多學(xué)時，使學(xué)生實踐受到很大限制，一些學(xué)時少的

5、學(xué)校的線性代數(shù)課處于半取消狀態(tài)。5線性代數(shù)理論教學(xué)的改革思路想把改革目標(biāo)轉(zhuǎn)向簡化理論。就要弄清哪些理論是工科學(xué)生必學(xué)的。線性代數(shù)理論博大精深，從一個工科教師的角度，猶如井底之蛙，不可能從頂向下地梳理清楚。但可以采用逆向思考的方法，把見過的后續(xù)課和工程問題加以歸納，找到其最低限度需要的理論。凡是后續(xù)課需要的，講透加強(qiáng)；凡是找不到直接需求的，即予刪除；凡是能找到簡明證法的，均予采納。根據(jù)工科學(xué)生的特點，盡量從具體到抽象，加強(qiáng)圖形和動畫等形象教學(xué)在理論證明中的作用。從這些命題中歸納出對理論的需求，反映在本教材中，為四方面的重大改革：6（1）關(guān)于行列式的講法 我們發(fā)現(xiàn)，在所有的應(yīng)用命題中，除了強(qiáng)湊求面

6、積體積和求特征方程的問題外，沒有一個要算行列式的，花了很多學(xué)時講的各種理論和方法竟然沒用處。這是因為用消元法解方程時，已經(jīng)用主元不為零判定了解的存在和唯一，不知不覺中已用了行列式；不必另起爐灶，教學(xué)生帶有“維數(shù)災(zāi)難”（見3.2.2節(jié)）根本無法用來計算的行列式定義。主元連乘法是高斯消元的自然延伸，不引進(jìn)新概念新名詞，并可很容易地證明行列式的各種有用的性質(zhì)，也是軟件編程的依據(jù)。 7（1）關(guān)于行列式的講法(續(xù))本書徹底擺脫了逆序數(shù)、代數(shù)余子式、隨伴矩陣、行列式按行展開、等等繁瑣的數(shù)學(xué)術(shù)語和推導(dǎo)，大大壓縮了篇幅，避開了許多“攔路虎”。不講這些概念水平就低嗎？其實講透了傳統(tǒng)方法的致命痼疾，讓后人別白費時

7、間，才體現(xiàn)了水平。還可以舉出兩個佐證：一是國際領(lǐng)先的矩陣軟件MATLAB中就沒有這些術(shù)語及其子程序。全世界有幾百萬用戶卻都在靠它解大規(guī)模、高難度的線性代數(shù)問題，說明應(yīng)用中確實不需要這些概念；二是美國MIT的教材(著者就是那位有百萬聽眾的G.Strang)也不講這些概念，只通過二、三階矩陣簡單介紹了一下，深度與本書相當(dāng)。 8(2) 向量空間要講透三維,減縮N維 幫助大學(xué)低年級學(xué)生建立立體概念是大學(xué)教學(xué)計劃中的重要一環(huán)，線性代數(shù)本應(yīng)該有責(zé)任幫助學(xué)生建立空間概念，但現(xiàn)有教法卻弱化三維，過分強(qiáng)調(diào)N維空間，全是公式，沒法畫圖，很不利于學(xué)生接受。本書強(qiáng)調(diào)二、三維，使例子形象化，并使圖形作為建立概念的重要工

8、具。例如在三維空間中如何認(rèn)識欠定方程組和超定方程組的解，如何認(rèn)識和應(yīng)用坐標(biāo)變換、投影和QR分解等。N維概念主要用于解方程組，不是用于向量空間，這也是和傳統(tǒng)教材的區(qū)別。不是說N維不重要，而是說要循序漸進(jìn)，先感性積累，后理性抽象，一年級學(xué)N維太早了。9（3）弱化欠定，加強(qiáng)超定。欠定方程組是由于命題條件不足造成的，工程師可以拒絕處理，在強(qiáng)調(diào)解的唯一性的數(shù)學(xué)入門階段，拿不出基礎(chǔ)解的工程實例，學(xué)生很難理解其的意義，只有研究生的數(shù)學(xué)規(guī)劃課程才也許有用，在此讓大學(xué)新生花很多學(xué)時是太超前了。超定方程則是工程上常見的問題，它來源于實踐中不可避免的干擾和測量誤差，而且正是數(shù)學(xué)家高斯提出的極漂亮的最小二乘解法，其證

9、明又可加強(qiáng)向量空間概念。世界各國的教材都講，只有我國的教材不講，本書許多命題就不會解?！按笾v欠定，不講超定”是我國線性代數(shù)教學(xué)脫離工程的表現(xiàn)之一。10（4）特征根只講兩階,但講復(fù)數(shù)根特征根的意義和解法不講高階，只講到兩階為止，但實數(shù)和復(fù)數(shù)根都要講。實際上三階及以上的特征根，多數(shù)老師都不會筆算，也沒有一本教材講它的求法。應(yīng)該老老實實告訴學(xué)生，三階以上系統(tǒng)的特征值問題，手工解是不行的，只有依靠計算機(jī)。高階實二次型不但計算有難度，而且很難找其物理意義和幾何模型，更談不上工程應(yīng)用。而復(fù)數(shù)特征根卻是工程中很有用的。它是理解振動問題的基礎(chǔ)，它是學(xué)生在日常經(jīng)驗中能夠接受的。 11用最少理論解決最多實際問題用

10、最小的學(xué)習(xí)成本以獲得最大的應(yīng)用效果，這是本書取材的準(zhǔn)則。這四項改革是針對以機(jī)電信控專業(yè)應(yīng)用為目標(biāo)的非數(shù)學(xué)系大學(xué)生和工程師提出的理論上的最低要求，不包括線性代數(shù)在更深層次和更高水平上的應(yīng)用。此外本書力圖用工程語言來敘述概念，從具體到抽象，盡量少用數(shù)學(xué)定義，多用圖形等來證明，不過分強(qiáng)調(diào)嚴(yán)密。微積分教材有兩百年了，有深有淺，花樣還多些；線性代數(shù)歷史短，與工科遠(yuǎn)未磨合好，教材基本上都還是數(shù)學(xué)系的模式，很難適應(yīng)不同的需求和口味，不利于普及，應(yīng)該讓各種非數(shù)學(xué)系的版本來調(diào)調(diào)味了。 12錢學(xué)森對工科數(shù)學(xué)改革的意見錢學(xué)森先生在1989年寫道：“今后對一個問題求解可以全部讓電子計算機(jī)去干，不需要人去一點一點算。而

11、直到今天，工科理科大學(xué)一二年級的數(shù)學(xué)課是構(gòu)筑在人自己去算這一要求上的。所以理工科的數(shù)學(xué)課必須改革，數(shù)學(xué)課不是為了學(xué)生學(xué)會自己去求解，而是為了學(xué)生學(xué)會讓電子計算機(jī)去求解，學(xué)會理解電子計算機(jī)給出的答案”。線性代數(shù)是數(shù)值計算的基礎(chǔ)，是最該率先使用計算機(jī)的，本書也在朝這個方面努力。希望與讀者互動，在學(xué)習(xí)本書時最好手邊有裝了MATLAB的計算機(jī)。13不同類型讀者該如何使用本書（1）本書首先是為有實踐經(jīng)驗的工程師寫的。二十多年來，我們已培養(yǎng)了幾百萬學(xué)過理論，但卻沒有實際使用過線性代數(shù)的大學(xué)畢業(yè)生。對于他們，可以完全從實用需要出發(fā)來補(bǔ)修，符合本書的寫作意圖。讀者可以先翻翻第六章，看看和自己的領(lǐng)域相近的問題，

12、線性代數(shù)和MATLAB是怎么解決的，覺得有意思了，再下決心把本書從頭看起。因為書中講理論只有前五章，篇幅和難度都不大。我們還準(zhǔn)備了講課的視頻，既可用于繼續(xù)教育，也便于讀者下載自學(xué)，學(xué)習(xí)時最好手邊有裝了MATLAB的計算機(jī)。14應(yīng)用型專業(yè)如何使用本書(2) 不以考研為目標(biāo)的普通大學(xué)本科可以拿本書作為教材，連附錄中“MATLAB初步”，30學(xué)時應(yīng)該可以拿下來，注意多加一些實踐上機(jī)。對于學(xué)時更少的高專、高職專業(yè)，第四、五兩章的部分內(nèi)容也可省略，重點學(xué)會用計算機(jī)解線性方程組和坐標(biāo)變換，就能解決后續(xù)課及工程中大量的常見實際問題。我國高等教育正面向職業(yè)教育轉(zhuǎn)型的問題，要更多培養(yǎng)技術(shù)技能型的人，其關(guān)鍵是課程

13、改革問題。本書正是為這一轉(zhuǎn)型鋪路的。15考研大學(xué)生如何使用本書（3）由于傳統(tǒng)考研的命題方向許多正是本書刪節(jié)的，本書所強(qiáng)化的反而是不考的題目，本書不宜作為考研為主的學(xué)生的基本教材。對于使用傳統(tǒng)線性代數(shù)教材的讀者，不妨拿本書作為參考書。因為書中各章講法大都與傳統(tǒng)書不同，理論上有不少爭鳴的觀點，特別是實踐上能提供大量的感性概念和工程題解，有助于同學(xué)對理論理解的深化和實踐能力的提高。16程序集和教學(xué)資料的下載本書的程序集名為“實用大眾線性代數(shù)程序集”，現(xiàn)放在清華大學(xué)出版社的網(wǎng)站和作者的主頁中，供讀者自行下載。網(wǎng)址是：西安電子科技大學(xué)出版社：陳懷琛主頁：本書的第七章，標(biāo)題是“在科技及工程中的應(yīng)用實例”。

14、它提供了難度更高的十多個例題?？紤]到一般讀者的共性需求沒有那樣高，不宜把書弄得太厚、太貴，我們決定把這一章的電子稿放在網(wǎng)上，供讀者按各自的需要自行下載。 17作者聯(lián)系方法我的電子郵址是： 歡迎使用過本書的教師和同學(xué)提供批評和指正，我年事已高，不能參加第一線的教學(xué)活動。期待有青年教師接力，常和我聯(lián)系，把這項改革進(jìn)行下去！18應(yīng)用實例索引1例1.8 插值多項式4階2例1.9 平板穩(wěn)態(tài)溫度的計算4階3例1.10 交通流量的分析4階4例1.11 化學(xué)方程的配平3階5例2.14 成本核算問題3階6例2.15 列乘行生成網(wǎng)格矩陣1021階7例2.16 Vander矩陣的生成44階8例2.17 特殊矩陣的生

15、成4階9例2.18 圖及其矩陣表述4階10例2.19 網(wǎng)絡(luò)的矩陣分割和連接22階11例2.20 微分矩陣和積分矩陣3階19應(yīng)用實例索引（續(xù)）12例3.7 用行列式判解的存在性n階13例3.8 行列式為零時無逆陣3階14例3.9 用行列式計算面積2階15例3.10 特征行列式的計算2階16例4.7 欠定方程解的幾何意義23階17例4.8 超定方程解的幾何意義31階18例4.9 超定方程解的幾何意義32階19例4.6.1 減肥配方的實現(xiàn)3階20例4.6.2 三維空間中的平面方程3階21例4.6.3 價格平衡模型3階22例4.6.4 混凝土配料中的應(yīng)用5階20應(yīng)用實例索引（續(xù)）23例5.1 平面線性

16、變換的幾何意義2階24例5.2 斜體字母生成2階25例5.3 剛體平面運動3階26例5.5 測量數(shù)據(jù)直線性判斷42階27例5.6.1 字母陰影投影的生成2階28例5.6.2 雷達(dá)坐標(biāo)系3階29例5.6.3 人口遷徙模型2階30例5.6.4 物料混合問題2階31例5.6.5 單自由度機(jī)械振動2階32例6.1 電阻電路的計算3階33例6.2 交流穩(wěn)態(tài)電路的計算3階34例6.3 雙桿系統(tǒng)的支撐反力6階21應(yīng)用實例索引（續(xù)）35例6.4 雙滑塊動力學(xué)系統(tǒng)4階36例6.5 信號流圖和梅森公式3階37例6.6 數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)6階38例6.7 空間五點共面的分析35階39例6.8 . 圓錐截面插值問題5

17、階40例6.9 艦載機(jī)測定甲板偏轉(zhuǎn)角2階41例6.10 坐標(biāo)測量儀檢驗圓形73階42例6.11 三角形運動連續(xù)化3階43例6.12 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的化簡55階44例6.13 機(jī)械臂速度和雅可比矩陣22階45例6.14 情報檢索模型76階46例6.15 宏觀經(jīng)濟(jì)模型3階22應(yīng)用實例索引（第七章續(xù)）47例7.1 拉壓桿桁架結(jié)構(gòu)1313階48例7.2 格型濾波器系統(tǒng)函數(shù)1313階49例7.3 計算頻譜用的DFT矩陣256階50例7.4 顯示器色彩制式轉(zhuǎn)換問題3階51例7.5 人員流動問題2階52例7.6 二氧化碳分子結(jié)構(gòu)振動6階53例7.7 二自由度機(jī)械振動4階54例7.8 FIR數(shù)字濾波器最優(yōu)化設(shè)

18、計85階55例7.9 彈性梁的柔度矩陣3階56例7.10 用二次樣條函數(shù)插值1111階57例7.11 三維運動的矩陣描述4階58例7.12 支付基金的流動 2階59例7.13 質(zhì)譜圖實驗結(jié)果分析65階60例7.14 解Fibonacci數(shù)列2階61例7.15 簡單線性規(guī)劃問題3階23參考文獻(xiàn)1Steven J. Leon, Linear Algebra with Applications (6th Edition), 2002，影印版“線性代數(shù)”，機(jī)械工業(yè)出版社，2004，ISBN 7-111-15216-6, pp545，機(jī)械工業(yè)出版社影印2David C. Lay, Linear Alge

19、bra and Its Application (3rd Edition), 2004, ISBN: 0201709708, pp492+76，電子工業(yè)出版社影印3Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 4th Edition, Wilsley-Cambridge Press, Feb.2009, ISBN:144Steven J Leon, Eugene Herman, Richard Faulkenberry, ATLAST Manual, 2/E, Publisher: Prentice Hall, 12/19/2003,pp.270, ISBN: 0-13-101121-9 5陳懷琛，龔杰民，線性代數(shù)實踐及MATLAB入門，北京，電子工業(yè)出版社