6.2等差數(shù)列及其前項和

1、第六章 數(shù)列 6.2 等差數(shù)列及其前n項和高考理數(shù)好教育云平臺 相關(guān)視頻講解請入群 （學(xué)霸網(wǎng)）更多配套作業(yè)及資料請入群 （聽課盤）考點一等差數(shù)列及其性質(zhì)1.等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它相鄰前面一項的差是同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示.2.等差數(shù)列的通項公式如果等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,那么它的通項公式是an=a1+(n-1)d,nN*.3.等差中項如果A=,那么A叫做a與b的等差中項.知識清單4.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,mN*).(2)若an為等差數(shù)列,且k+l=m

2、+n(k,l,m,nN*),則ak+al=am+an.(3)若an是等差數(shù)列,公差為d,則a2n也是等差數(shù)列,公差為2d.(4)若an,bn是等差數(shù)列,則pan+qbn是等差數(shù)列.(5)若an是等差數(shù)列,則ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)組成公差為md的等差數(shù)列.考點二等差數(shù)列前n項和公式1.等差數(shù)列的前n項和公式設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則其前n項和Sn=或Sn=na1+ d.2.等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn=n2+n.非零數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件是其前n項和Sn=f(n)是n的二次函數(shù)或一次函數(shù)且不含常數(shù)項,即Sn=An2+Bn(A2+B20).3.在等差數(shù)列an中

3、,若a10,d0,則Sn存在最大值;若a10,則Sn存在最小值.4.等差數(shù)列與等差數(shù)列各項的和有關(guān)的性質(zhì)(1)若an是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列,其首項與an首項相同,其公差是an公差的.(2)若an是等差數(shù)列,Sm,S2m,S3m分別為an的前m項,前2m項,前3m項的和,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列.(3)關(guān)于非零等差數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項的性質(zhì)(i)若項數(shù)為2n,則S偶-S奇=nd,=.(ii)若項數(shù)為2n-1,則S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,=.(4)兩個等差數(shù)列an、bn的前n項和Sn、Tn之間的關(guān)系為=.1.等差數(shù)列可以由首項a1和公差d確定,所

4、有關(guān)于等差數(shù)列的計算和證明,都可圍繞a1和d進(jìn)行.2.對于等差數(shù)列問題,一般給出兩個條件,就可以通過列方程(組)求出a1,d.如果再給出第三個條件,就可以完成an,a1,d,n,Sn的“知三求二”問題,這體現(xiàn)了用方程思想解決問題的思路.3.注意設(shè)元技巧,減少運算量.如果三個數(shù)成等差數(shù)列,一般可設(shè)為a-d,a,a+d;如果四個數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)為a-3d,a-d,a+d,a+3d.有關(guān)等差數(shù)列運算的求解技巧方法1方法技巧A.-1B.-C.D. 例1(2017廣東惠州第二次調(diào)研考試,7,5分)設(shè)an是首項為-,公差為d(d0)的等差數(shù)列,Sn為其前n項和,若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則d=(A)

5、解題導(dǎo)引解析Sn=na1+d,因為S1,S2,S4成等比數(shù)列,所以S1S4=,即a1(4a1+6d)=(2a1+d)2,因為a1=-,所以-(-2+6d)=(-1+d)2,即d2+d=0,解得d=0或d=-1.又因為d0,所以d=-1,故選A.1.證明一個數(shù)列an為等差數(shù)列的基本方法有兩種:(1)利用等差數(shù)列的定義證明,即證明an+1-an=d(nN*);(2)利用等差中項證明,即證明an+2+an=2an+1(nN*).2.解選擇題、填空題時,可用通項法或前n項和法直接判斷.(1)通項法:若數(shù)列an的通項公式為n的一次函數(shù),即an=An+B,則an是等差數(shù)列;(2)前n項和法:若數(shù)列an的前

6、n項和Sn是Sn=An2+Bn的形式(A,B是常數(shù)),則an為等差數(shù)列.等差數(shù)列的判定與證明方法2(1)設(shè)bn=,求證:數(shù)列bn是等差數(shù)列,并求出an的通項公式;(2)設(shè)cn=,數(shù)列cncn+2的前n項和為Tn,是否存在正整數(shù)m,使得Tn對于nN*恒成立?若存在,求出m的最小值,若不存在,請說明理由.例2(2017山東淄博淄川中學(xué)4月模擬,19)已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=1-,其中nN*.解析(1)證明:bn+1-bn=-=-=-=2,數(shù)列bn是公差為2的等差數(shù)列,又b1=2,bn=2+(n-1)2=2n.2n=,解得an=.(2)由(1)可得cn=,cncn+2=2,數(shù)列cncn+2的前n項和為Tn=2+=23.要使得Tn對于nN*恒成立,只要3,即3,解得m3或m-4,且m為正整數(shù),故m的最小值為3.思路分析(1)利用遞推公式可得出bn+1-bn為一個常數(shù),從而證明數(shù)列bn是等差數(shù)列,可得到等差數(shù)列bn的通項公式,進(jìn)而得到an的通項公式;(2)利用(1)的結(jié)論,利用“裂項求和”即可得到Tn,要使得Tn0,當(dāng)n14時,an0,當(dāng)n=12或13時,Sn取得最大值,且最大值為S12=S13=1220+=1