大學物理經典例題講解第七章真空中的靜電場

1、大學物理經典例題講解第七章 真空中的靜電場例7-1 三個電荷量均為q的正負電荷，固定在一邊長a=1m 的等邊三角形的頂角（圖a)上。 另一個電荷+Q在這三個電荷靜電力作用下可沿其對稱軸（o-x）自由移動，求電荷+Q的平衡位置和所受到的最大排斥力的位置。o-qq+Qqara/2xy(a)F3解：如圖b所示，o-qq+Qqara/2xy(b)F1F2式中正電荷Q受到-q的吸引力F1沿ox軸負方向；兩個+q對它的排斥力F2和F3的合力沿ox正方向；因此，作用在Q上的總合力為：則令可求得Q受到零作用力的位置可求得Q受到最大排斥力的位置再令 例7-2 按量子理論，在氫原子中，核外電子快速地運動著，并以一

2、定的概率出現(xiàn)在原子核（質子的周圍各處，在基態(tài)下，電子在半徑r0.52910-10的球面附近出現(xiàn)的概率最大.試計算在基態(tài)下,氫原子內電子和質子之間的靜電力和萬有引力,并比較兩者的大小.引力常數(shù)為G =6.6710-11Nm2/kg2 解: 按庫侖定律計算,電子和質子之間的靜電力為應用萬有引力定律, 電子和質子之間的萬有引力為 可見在原子中,電子和質子之間的靜電力遠比萬有引力大。由此,在處理電子和質子之間的相互作用時,只需考慮靜電力,萬有引力可以略去不計。自然界存在的幾種靜電力原子結合成分子的結合力。原子、分子結合形成液體或者固體時的結合力?；瘜W反應和生物過程中的結合力（DNA分子雙螺旋結構的形成

3、） 。由此得靜電力與萬有引力的比值為例7-3 試求電偶極子在均勻外電場中所受的作用，并分析電偶極子在非均勻外電場中的運動。解：如圖所示，在均勻外電場中，電偶極子的正負電荷上的電場力的大小為：由于大小相等、方向相反，合力為零；產生的合力矩大小為：電偶極子定義:一對相距為l 帶電量相同,電性相反的點電荷系。：由負電荷指向正電荷電偶極子的電偶極矩：矢量式為在此力矩作用下電偶極矩將轉向外電場方向直到電矩與外電場方向一致。在非均勻外電場中，電偶極子一方面受力矩作用，另一方面，所受合力不為零，場強較強一端電荷受力較大，促使偶極子向場強較強方向移動，如圖所示：yxA(x,0)+例7-4 求電偶極子軸線的延長

4、線上和中垂線上任一點的電場。解：電偶極子軸線的延長線上任一點A(x,0)的電場。+ A點總場強為：+r電偶極子中垂線上任一點的電場。+用矢量形式表示為：若rl結論：電偶極子中垂線上，距離中心較遠處一點的場強，與電偶極子的電矩成正比，與該點離中心的距離的三次方成反比，方向與電矩方向相反。 解：建立直角坐標系 取線元dx 帶電將投影到坐標軸上ap1 2dEdEydxr例7-5 求距離均勻帶電細棒為a 的 p點處電場強度。 設棒長為L , 帶電量q ，電荷線密度為l =q/L 積分變量代換 代入積分表達式 同理可算出ap1 2dEdEydxr當直線長度無限長均勻帶電直線的場強：極限情況，由 例7-6

5、 求一均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點x處的電場。xpRpxRr解： 例7-6 求一均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點x處的電場。所以，由對稱性當dq 位置發(fā)生變化時，它所激發(fā)的電場矢量構成了一個圓錐面。.由對稱性xpRr討論：即在圓環(huán)的中心，E=0由當0=x當時即p點遠離圓環(huán)時，與環(huán)上電荷全部集中在環(huán)中心處一個點電荷所激發(fā)的電場相同。Rrdr例7-7 求均勻帶電圓盤軸線上任一點的電場。解：由例6均勻帶電圓環(huán)軸線上一點的電場xP討論：1. 當xR2. 當R時，高斯面內電荷量即為球面上的全部電荷，高斯面可見，電荷均勻分布在球面時，它在球面外的電場就與全部電荷都集中在球心的點電荷所激發(fā)的電場完全相同。（2）電荷分布

6、在整個球體內：+r0RE均勻帶電球面電場強度曲線如上圖。+qrR 時，高斯面內電荷量即為球體上的全部電荷，球體外電場和電荷均勻分布在球面上時球面外電場完全相同。高斯面+rR 時，設電荷體密度為+q高斯面+可見，球體內場強隨r線性增加。均勻帶電球體電場強度曲線如上圖。r0REEE例7-9 均勻帶電無限大平面的電場.電荷及場分布：面對稱性，場方向沿法向。解：高斯面:作軸線與平面垂直的圓柱形高斯面，底面積為S，兩底面到帶電平面距離相同。ESE圓柱形高斯面內電荷由高斯定理得可見，無限大均勻帶電平面激發(fā)的電場強度與離面的距離無關，即面的兩側形成勻強電場。矢量式為：ESE例7-10 求電荷呈無限長圓柱形軸

7、對稱均勻分布時所激發(fā)的電場。圓柱半徑為R，沿軸線方向單位長度帶電量為。高斯面：與帶電圓柱同軸的圓柱形閉 合面,高為l,半徑為r電荷及場分布：柱對稱性，場方向沿徑向。由高斯定理知解：l（1）當rR 時，均勻帶電圓柱面的電場分布Er 關系曲線REr0矢量式為：例7-11 計算電偶極子電場中任一點的電勢。式中r+與r-分別為+q和-q到P點的距離，由圖可知yPx+q-qre/2re/2Or+r-r解：設電偶極子如圖放置，電偶極子的電場中任一點P的電勢為由于r re ，所以P點的電勢可寫為因此+例7-12 一半徑為R 的圓環(huán)，均勻帶有電荷量q 。計算圓環(huán)軸線上任一點P 處的電勢。+解：設環(huán)上電荷線密度

8、為環(huán)上任取一長度為的電荷元，其所帶電荷該電荷元在p 點電勢為：oprxxR整個圓環(huán)在p 點的電勢為例7-13 計算均勻帶電球面的電場中的電勢分布。球面半徑為R，總帶電量為q。解：（1）取無窮遠處為電勢零點；（2）由高斯定律可知電場分布為；（3）確定電勢分布；+qRo(1) 當rR時(2)當rR時rVR+qRo電勢分布曲線場強分布曲線EVRRrrOO結論：均勻帶電球面，球內的電勢等于球表面的電勢，球外的電勢等效于將電荷集中于球心的點電荷的電勢。 解：令無限長直線如圖放置，其上電荷線密度為 。計算在x軸上距直線為的任一點P處的電勢。yrOPP1xr1因為無限長帶電直線的電荷分布延伸到無限遠的，所以

9、在這種情況下不能用連續(xù)分布電荷的電勢公式來計算電勢V，否則必得出無限大的結果，顯然是沒有意義的。同樣也不能直接用公式來計算電勢，不然也將得出電場任一點的電勢值為無限大的結果。例7-14 計算無限長均勻帶電直線電場的電勢分布。 為了能求得P點的電勢，可先應用電勢差和場強的關系式，求出在軸上P點P1和點的電勢差。無限長均勻帶電直線在x軸上的場強為 于是，過P點沿x軸積分可算得P點與參考點P1的電勢差 由于ln1=0，所以本題中若選離直線為r1=1 m處作為電勢零點，則很方便地可得P點的電勢為 點電荷的等勢面 五、等勢面在靜電場中，電勢相等的點所組成的面稱為等勢面。典型等勢面 由上式可知，在r1 m

10、處,VP為負值；在rr），用一根很長的細導線連接起來（如圖），使這個導體組帶電，電勢為V，求兩球表面電荷面密度與曲率的關系。Q兩個導體所組成的整體可看成是一個孤立導體系，在靜電平衡時有一定的電勢值。設這兩個球相距很遠，使每個球面上的電荷分布在另一球所激發(fā)的電場可忽略不計。細線的作用是使兩球保持等電勢。因此，每個球又可近似的看作為孤立導體，在兩球表面上的電荷分布各可見大球所帶電量Q比小球所帶電量q多。兩球的電荷密度分別為 對孤立導體可見電荷面密度和半徑成反比，即曲率半徑愈?。ɑ蚯视螅姾擅婷芏扔?。自都是均勻的。設大球所帶電荷量為Q，小球所帶電荷量為q，則兩球的電勢為例8-2 （1）如果人

11、體感應出1C的電荷，試以最簡單的模型估計人體的電勢可達多少？（2）在干燥的天氣里，空氣的擊穿電場強度為3MV/m，當人手指接近門上的金屬門把手時可能產生的電火花有多長？解：把人體看作半徑1m的球體，于是人的電勢為V火花放電長度為m例8-3 兩平行放置的帶電大金屬板A和B，面積均為S，A板帶電QA，B板帶電QB，忽略邊緣效應，求兩塊板四個面的電荷面密度。解：設兩板四個面的電荷面密度分別為AB在兩個板內各選一點P1、P2，由于靜電平衡，導體內任一點電場強度為零由于電場為四個面上電荷共同激發(fā)的，取X軸正方向如圖 對P1對P2得可見，平行放置的帶電大金屬板相向兩個面上電荷面密度大小相等，符號相反；相背

12、兩個面上電荷面密度大小相等，符號相同。AB例8-4 靜電除塵器由半徑為ra的金屬圓筒(陽極)和半徑為rb 的同軸圓細線(陰極).如果空氣在一般情況下的擊穿電場強度為3.0MV/m,試提出一個靜電除塵器圓筒和中心線粗細的設計方案.灰塵出口解:中心軸線帶電后,距中心軸r處的電場強度這里是中心軸線上的電荷線密度.中心軸線與金屬圓筒間的電勢差為上面兩式相除消去,有上式說明中心軸線與金屬圓筒間加上電勢差U后,在圓筒內的電場隨r迅速減小.中心軸線處電場最強,靠近外圓筒處最弱.在所加電壓和某點場強(如:筒內表面附近為3.0MV/m)已知情況下,利用上面場強公式原則上可以算出所需筒與線的尺寸.但為一超越方程,

13、一般用計算機進行數(shù)值求解.例8-5 在內外半徑分別為R1和R2的導體球殼內，有一個半徑為r 的導體小球，小球與球殼同心，讓小球與球殼分別帶上電荷量q和Q。試求： （1）小球的電勢Vr，球殼內、外表面的電勢； （2）小球與球殼的電勢差； （3）若球殼接地，再求小球與球殼的電勢差。 解：（1）由對稱性可以肯定，小球表面上和球殼內外表面上的電荷分布是均勻的。小球上的電荷q將在球殼的內外表面上感應出-q和q的電荷，而Q只能分布在球殼的外表面上，故球殼外表面上的總電荷量為q+Q。 小球和球殼內外表面的電勢分別為球殼內外表面的電勢相等。（3）若外球殼接地，則球殼外表面上的電荷消失。兩球的電勢分別為（2）兩

14、球的電勢差為兩球的電勢差仍為 由結果可以看出，不管外球殼接地與否，兩球的電勢差恒保持不變。當q為正值時，小球的電勢高于球殼；當q為負值時，小球的電勢低于球殼, 與小球在殼內的位置無關，如果兩球用導線相連或小球與球殼相接觸，則不論q是正是負，也不管球殼是否帶電，電荷q總是全部遷移到球殼的外邊面上，直到Vr-VR=0為止。例8-6 平板電容器幾種常見真空電容器及其電容Sd電容與極板面積成正比，與間距成反比。計算電容的一般方法： 先假設電容器的兩極板帶等量異號電荷，再計算出電勢差，最后代入定義式。例8-7 圓柱形電容器例8-8 球形電容器電容器兩極板間如果充滿某種相對電容率為 電介質，則上面三種電容

15、器的電容分別為平行板電容器：圓柱形電容器：球形電容器：電容器的重要性能指標：電容、耐壓值。例8-9 計算均勻帶電球體的電場能量，設球半徑為R， 帶電量為q，球外為真空。解：均勻帶電球體內外的電場強度分布為相應的，球內外的電場能量密度為在半徑為r厚度為dr的球殼內的電場能量整個帶電球體的電場能量例題8-10一平行板空氣電容器的板極面積為S，間距為d，用電源充電后兩極板上帶電分別為 Q。斷開電源后再把兩極板的距離拉開到2d。求（1）外力克服兩極板相互吸引力所作的功；（2）兩極板之間的相互吸引力。（空氣的電容率取為0）。板極上帶電 Q時所儲的電能為解:（1 ）兩極板的間距為d和2d時，平行板電容器的電容分別為（2）設兩極板之間的相互吸引力為F ，拉開兩極板時所加外力應等于F ，外力所作的功A=Fd ，所以故兩極板的間距拉開到2d后電容器中電場能量的增量為例8-11 物理學家開爾文第一個把大氣層構建為一個電容器模型，地球表面是這個電容器的一個極板，帶有5105C的電荷，大氣等效為5km的另一塊極板，帶正電荷。如下頁圖所示。（1）試求這個球形電容器的電容；（2）求地球表面的能量密度以及球形電容器的能量；（3）已知空氣的電阻率為31013，求球形電容器間大氣層的電阻是多少？（4）大氣