第11講(電氣及其自動(dòng)化專業(yè))ppt課件

1、第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析.引言1. 為什么要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)展頻域分析？時(shí)域分析法的缺乏：從微分方程或傳送函數(shù)角度求解系統(tǒng)的時(shí)域呼應(yīng)和性能目的，計(jì)算量大，對(duì)于高階系統(tǒng)非常不便，甚至難以確定解析解。頻域分析法:是一種間接的研討控制系統(tǒng)性能的工程方法。它研討系統(tǒng)的根據(jù)是頻率特性，因此頻率特性是控制系統(tǒng)的又一種數(shù)學(xué)模型。.2. 頻率呼應(yīng)、頻率特性和頻域分析法 在正弦輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量稱為頻率呼應(yīng)。控制系統(tǒng)中的信號(hào)可以表示為不同頻率正弦信號(hào)的合成系統(tǒng)頻率呼應(yīng)和正弦輸入信號(hào)之間的關(guān)系稱為頻率特性，它和傳送函數(shù)一樣表示了系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)特性?？刂葡到y(tǒng)的頻率特性反映正弦輸入下系統(tǒng)呼應(yīng)的性能。研討其

2、的數(shù)學(xué)根底是Fourier變換。利用系統(tǒng)頻率特性分析和綜合控制系統(tǒng)的方法稱為頻域分析法。 .3. 頻域分析法的優(yōu)點(diǎn) (1) 物理意義明確。對(duì)于一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)，頻域性能目的和時(shí)域性能目的有明確的對(duì)應(yīng)關(guān)系；對(duì)于高階系統(tǒng)，可建立近似的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 (2) 可以用實(shí)驗(yàn)方法求出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，易于研討機(jī)理復(fù)雜或不明的系統(tǒng)；也適用于某些非線性系統(tǒng)。 (3) 可以根據(jù)開環(huán)頻率特性研討閉環(huán)系統(tǒng)的性能，無需求解高次代數(shù)方程。這一點(diǎn)，與根軌跡法有異曲同工之妙，只是前者的自變量是頻率，而后者的參數(shù)普通是開環(huán)增益K。 (4) 能較方便地分析系統(tǒng)中的參量對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)呼應(yīng)的影響，從而進(jìn)一步指出改善系統(tǒng)性能的途徑。 (5)

3、 采用作圖方法，計(jì)算量小，且非常直觀。 .4.時(shí)域分析法與頻域分析法的比較(1)時(shí)域分析法是分析控制系統(tǒng)的直接方法，比較直觀、準(zhǔn)確。(2)頻域分析法是一種工程上廣為采用的分析和綜合系統(tǒng)的間接方法。(3)頻域分析法是一種圖解分析法。它根據(jù)系統(tǒng)的又一種數(shù)學(xué)模型頻率特性，對(duì)系統(tǒng)的性能，如穩(wěn)定性、快速性和準(zhǔn)確性進(jìn)展分析。 . 5.1 頻率特性引例RC電路 對(duì)于圖示RC電路，其傳送函數(shù)為 式中，=RC 。RC電路5.1.1 頻率特性概述.設(shè)輸入電壓為正弦信號(hào)，其時(shí)域和復(fù)域描畫為所以有將其進(jìn)展拉氏反變換.uo(t)表達(dá)式中第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)暫態(tài)分量，第二項(xiàng)是穩(wěn)態(tài)分量。顯然上述RC電路的穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)為結(jié)論：當(dāng)電路輸

4、入為正弦信號(hào)時(shí)，其輸出的穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)頻率呼應(yīng)也是一個(gè)正弦信號(hào)，其頻率和輸入信號(hào)一樣，但幅值和相角發(fā)生了變化，其變化取決于。.假設(shè)把輸出的穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)和輸入正弦信號(hào)用復(fù)數(shù)表示，并求其復(fù)數(shù)比，可以得到 式中頻率特性G(j)：上述電路的穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)比，且G(j) = G(s)|s=j 。幅頻特性A()：輸出信號(hào)幅值與輸入信號(hào)幅值之比。相頻特性()：輸出信號(hào)的相角與輸入信號(hào)的相角之差。. 設(shè)線性定常系統(tǒng)輸入信號(hào)為r(t)，輸出信號(hào)c(t)，如圖5-1所示。 圖中，G(s)為系統(tǒng) 的傳送函數(shù)。 即 (nm) 5-1 圖5-1 線性定常系統(tǒng)圖5-1 線性定常系統(tǒng)2. 普通n階控制系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用

5、下的 穩(wěn)態(tài)輸出. 假設(shè)在系統(tǒng)輸入端作用一正弦信號(hào)，即 r(t)=Rsint 5-2 系統(tǒng)輸出C(s)為 5-3 .設(shè)傳送函數(shù)G(s)可表示成極點(diǎn)方式 5-4 -p1、-p2 -pn為G(s)的極點(diǎn)，其可以為實(shí) 數(shù)，也可為復(fù)數(shù)，并且假定其均在根平面的左半平面，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。.由式(5-3)及(5-4)得輸出為 5-5 式中 , , , , 為待定系數(shù)，由留數(shù)定理求得.由拉普拉斯反變換得輸出呼應(yīng). 對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，當(dāng)t時(shí)， i=1,2,n均隨時(shí)間衰減至零。此時(shí)系統(tǒng)呼應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為: 5-6 和 為共軛復(fù)數(shù)，可表示為.那么 5-7式中 ，.結(jié)論：式5-7闡明，線性定常系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸

6、出將是與輸入信號(hào)同頻率的正弦信號(hào)，僅僅是幅值和相位不同，幅值，相位 ，均是頻率的函數(shù)。 .定義： 線性定常系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下，穩(wěn)態(tài)輸出的復(fù)變量與輸入的復(fù)變量之比稱為系統(tǒng)的頻率特性，記為G(j) 5-8 其中穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值之比稱為系統(tǒng)的幅頻特性。記為A()，即5-9.穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的相位差稱為系統(tǒng)的相頻特性，記為 ()，即 ()=G(j) 5-10 頻率特性還可表示為 G(j)=p()+j()式中 p()為G(j)的實(shí)部，稱為實(shí)頻特性； ()為G(j)的虛部，稱為虛頻特性。.顯然有 5-11 需求指出，當(dāng)輸入為非正弦的周期信號(hào)時(shí)，其輸入可利用傅立葉級(jí)數(shù)展開成正弦波的疊加，其輸出為相應(yīng)的正

7、弦波的疊加。此時(shí)系統(tǒng)頻率特性定義為系統(tǒng)輸出量的傅氏變換與輸入量的傅氏變換之比。 . 5.1.2 頻率特性的求取 由頻率特性概念知，頻率特性G(j)是傳送函數(shù)的一種特例，即將傳送函數(shù)中的復(fù)變量s換成純虛數(shù)j就得到系統(tǒng)的頻率特性。 G(j)=G(s) 5-12例5-1 知系統(tǒng)的傳送函數(shù)為解：令s=j得系統(tǒng)的頻率特性 或.幅頻特性: 相頻特性: 實(shí)頻特性: 虛頻特性: 幅頻特性和相頻特性隨變化的曲線如圖5-2所示。.圖5-2 A()和()曲線 .例題2 知系統(tǒng)的傳送函數(shù)為 ，求頻率特性。解：. 與時(shí)域呼應(yīng)中衡量系統(tǒng)性能采用時(shí)域性能目的類似，頻率特性在數(shù)值上和曲線外形上的特點(diǎn)，常用頻域性能目的來衡量，

8、它們?cè)诤艽蟪潭壬峡梢蚤g接地闡明系統(tǒng)動(dòng)靜態(tài)特性。 系統(tǒng)的頻率特性曲線如圖5-3所示。1.諧振頻率 是幅頻特性A()出現(xiàn)最大值時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率；2.諧振峰值 指幅頻特性的最大值。 值大，闡明系統(tǒng)對(duì)頻率的正弦信號(hào)反映劇烈，即系統(tǒng)的平穩(wěn)性差，階躍呼應(yīng)的超調(diào)量越大； 5.1.3 頻域性能目的.圖5-3 頻率特性曲線 .3.頻帶 指幅頻特性A()的幅值衰減到起始值的0.707倍所對(duì)應(yīng)的頻率。 大，系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)快速變化信號(hào)的才干強(qiáng)、失真小。即系統(tǒng)的快速性好，階躍呼應(yīng)的上升時(shí)間短，調(diào)理時(shí)間短；4.A(0)指零頻(=0)時(shí)的幅值。A(0)表示系統(tǒng)階躍呼應(yīng)的終值，A(0)與1相差的大小，反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，A(0)越

9、接近于1，系統(tǒng)的精度越高。前往.關(guān)于頻率特性的幾點(diǎn)闡明：頻率特性不只是對(duì)系統(tǒng)而言，其概念對(duì)控制元件、部件等均適用。頻率特性只適用于定常模型，否那么不能用拉氏變換求解，也不存在這種穩(wěn)態(tài)對(duì)應(yīng)關(guān)系。前面在推導(dǎo)頻率特性時(shí)假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定。假設(shè)系統(tǒng)不穩(wěn)定，那么動(dòng)態(tài)過程c(t)最終不能夠趨于穩(wěn)態(tài)振蕩cs(t)。但實(shí)際上推導(dǎo)動(dòng)態(tài)過程時(shí)，它的穩(wěn)態(tài)分量總可以分別出來，而且其規(guī)律性不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此將頻率特性的概念擴(kuò)展為L(zhǎng)TI系統(tǒng)正弦輸入作用下，輸出穩(wěn)態(tài)分量和輸入的復(fù)數(shù)比。.由頻率特性的表達(dá)式G(j)可知，其包含了系統(tǒng)或元部件的全部構(gòu)造和參數(shù)。故雖然頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)，而動(dòng)態(tài)過程的規(guī)律性必將寓于其中。所以

10、頻域分析法就是運(yùn)用穩(wěn)態(tài)的頻率特性間接研討系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)呼應(yīng)，從而防止了直接求解高階微分方程的困難。穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性可由實(shí)驗(yàn)方法確定。穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性為輸出信號(hào)的傅氏變換與輸入信號(hào)的傅氏變換之比，這是頻率特性的物理意義。()大于零時(shí)稱為相角超前，小于零時(shí)稱為相角滯后。.控制系統(tǒng)微分方程傳送函數(shù)頻率特性s=ps=jj=p頻率特性、傳送函數(shù)和微分方程三種系統(tǒng)描畫之間的關(guān)系 頻率特性與微分方程和傳送函數(shù)一樣，也表征了 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，成為系統(tǒng)頻域分析的實(shí)際根據(jù)。 .在工程分析和設(shè)計(jì)中，通常把線性系統(tǒng)的頻率特性畫成曲線，再運(yùn)用圖解法進(jìn)展研討。作為一種圖解分析系統(tǒng)的方法，頻率特性曲線常采用三種表示方式，即

11、極坐標(biāo)圖、對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，對(duì)數(shù)幅相圖。5.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.1 概述.1. 極坐標(biāo)圖(乃奎斯特圖或乃氏圖或Nyquist圖)A、幅頻特性曲線 以頻率為橫坐標(biāo)，以幅頻A()為縱坐標(biāo)，畫出A()隨頻率變化的曲線。B、相頻特性曲線 以頻率為橫坐標(biāo)，以相頻()為縱坐標(biāo)，畫出()隨頻率變化的曲線。. RC電路的幅頻和相頻特性01/21/2/3/4/5/A()10.890.7070.450.320.240.20()0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-90.系統(tǒng)頻率特性可表示為 用一向量表示某一頻率 下的 向量的長(zhǎng)度 ，向量極坐標(biāo)角為 ， 的正方向取為逆時(shí)針方向，選極坐標(biāo)與直角坐

12、標(biāo)重合，極坐標(biāo)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。 C、幅相特性曲線極坐標(biāo)圖(乃奎斯特圖或乃氏圖或Nyquist圖).圖5-4 極坐標(biāo)圖 頻率特性G(j)是輸入頻率的復(fù)變函數(shù)，是一種變換，當(dāng)頻率由0時(shí)，G(j)變化的曲線，即向量端點(diǎn)軌跡就稱為極坐標(biāo)圖。 極坐標(biāo)圖在 時(shí)，在實(shí)軸上的投影為實(shí)頻特性 ，在虛軸上的投影為虛頻特性 。.幅相特性曲線是將頻率作為參變量，將幅頻與相頻特性同時(shí)表示在復(fù)數(shù)平面上。圖上實(shí)軸正方向?yàn)橄嘟橇愣染€，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正。復(fù)數(shù)表示、極坐標(biāo)圖將G(j)分為實(shí)部和虛部(代數(shù)表示)，即X()和Y()分別稱為實(shí)頻特性和虛頻特性。取橫坐標(biāo)X() ，縱坐標(biāo)表示Y() ，也可得到系統(tǒng)的幅相曲線。.RC電路的乃

13、氏圖01/21/2/3/4/5/A()10.890.7070.450.320.240.20()0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-90.2、對(duì)數(shù)頻率特性Bode圖在工程實(shí)踐中，經(jīng)常將頻率特性畫成對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖方式，這種對(duì)數(shù)頻率特性曲線又稱Bode圖，由對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性組成。Bode圖的橫坐標(biāo)按lg分度10為底的常用對(duì)數(shù)，即對(duì)數(shù)分度，單位為弧度/秒rad/s對(duì)數(shù)幅頻曲線的縱坐標(biāo)按 線性分度，單位是分貝dB。 對(duì)數(shù)相頻曲線縱坐標(biāo)按()線性分度，單位是度。由此構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系。 .對(duì)數(shù)分度和線性分度 對(duì)數(shù)分度和線性分度.兩點(diǎn)闡明：對(duì)數(shù)頻率特性采用的對(duì)數(shù)分度實(shí)現(xiàn)了橫坐標(biāo)的非線性緊縮，便于在較大頻率范圍反映頻率特性的變化情況。采用對(duì)數(shù)幅頻特性那么將幅值的乘除運(yùn)算化為加減運(yùn)算，可以簡(jiǎn)化曲線的繪制過程。 .圖5-5 Bode圖坐標(biāo)系 對(duì)數(shù)幅頻特性的縱軸為L(zhǎng)