基于類有理Bezier曲線的次擺線參數(shù)化表示

1、基于類有理Bezier曲線的次擺線參數(shù)化表示The parametric representation of trochoid Based on rational Bezier-like curves許本勝基金項(xiàng)目：廣西教育廳科研項(xiàng)目（編號(hào)：201010LX）； 作者簡(jiǎn)介：許本勝（1980-），男，湖北黃石人。講師，碩士。研究方向：CAD/CAM，計(jì)算機(jī)輔助公差設(shè)計(jì)。,王燦1,謝云峰1 XU Ben-sheng1 WANG Can1 XIE Yun-feng1（1.桂林航天工業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程系，廣西 桂林 541004）摘要：次擺線是一種被廣泛用于零件結(jié)構(gòu)形狀設(shè)計(jì)的曲線。針對(duì)次擺線解析表示方法

2、設(shè)計(jì)效率低的不足，對(duì)次擺線的參數(shù)化表示方法進(jìn)行了研究。根據(jù)次擺線形成機(jī)理，將次擺線看作是兩個(gè)圓曲線方程的疊加，在圓弧的類有理Bezier表示基礎(chǔ)上，給出圓弧類有理Bezier曲線的升階公式、次擺線的控制點(diǎn)計(jì)算方法和次擺線在三角多項(xiàng)式空間中的參數(shù)化有理表示及相應(yīng)的算法流程。通過(guò)汪克爾發(fā)動(dòng)機(jī)缸體內(nèi)壁次擺曲線的參數(shù)化設(shè)計(jì)實(shí)例驗(yàn)證了本文所提方法的實(shí)用性和有效性。關(guān)鍵詞：次擺線、類有理Bezier曲線、三角多項(xiàng)式、參數(shù)化、汪克爾發(fā)動(dòng)機(jī)中圖分類號(hào)：TP391.41 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A0 引言在工程設(shè)計(jì)中，次擺線是一種常見的曲線，如汪克爾轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)缸體內(nèi)部輪廓曲線、博爾西希(Borsig)結(jié)構(gòu)的圓弧活塞壓縮機(jī)的

3、轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)曲線，以及常用的擺線凸輪、擺線齒輪、擺線減速器等結(jié)構(gòu)形狀均為次擺線。如何實(shí)現(xiàn)次擺線的參數(shù)化表示，對(duì)于實(shí)現(xiàn)次擺線的計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)、提高次擺線形狀零件的設(shè)計(jì)效率有著重要意義1。目前有關(guān)對(duì)次擺線的曲線造型方法多采用解析法，即通過(guò)輸入曲線方程來(lái)實(shí)現(xiàn)曲線的繪制，當(dāng)其中的參量變化時(shí)，曲線方程也隨著發(fā)生變化，就需要重新輸入方程，因而效率很低。為了實(shí)現(xiàn)特定曲線參數(shù)化表示，一些學(xué)者對(duì)三角多項(xiàng)式空間的Bezier基進(jìn)行了研究。以Bernstein基為基礎(chǔ)，張紀(jì)文234研究了由空間4=span1,t,sint,cost提取出的C-Bzier基；Mainar5等在用C-Bezier基表示擺線時(shí)，只研究次擺

4、線的一種特例，即圓在直線上滾動(dòng)時(shí)形成的軌跡，不具有一般性。Sanchez-Reyes6等討論了一類特殊的平面有理Bezier曲線類有理Bezier曲線，通過(guò)采用控制點(diǎn)和權(quán)因子兩個(gè)參數(shù)實(shí)現(xiàn)了圓弧在三角多項(xiàng)式空間的有理表示。次擺線是由兩個(gè)圓疊加而形成，其參數(shù)化表示在很大程度上取決于圓弧在三角多項(xiàng)式空間的有理表示。本文以圓弧的有理表示為基礎(chǔ)，研究次擺線參數(shù)化表示的方法。1 次擺線的參數(shù)方程次擺線被定義為一個(gè)動(dòng)圓沿著某個(gè)定圓圓周作純滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓外、動(dòng)圓上或動(dòng)圓內(nèi)一定點(diǎn)的軌跡。根據(jù)動(dòng)圓在定圓的外側(cè)或內(nèi)側(cè)滾動(dòng)兩種情況，次擺線分為外次擺線和內(nèi)次擺線。圖1為外次擺線的形成機(jī)理示意圖。 圖1 外次擺線形成機(jī)理圖

5、1中，若動(dòng)圓沿著定圓圓周內(nèi)側(cè)作純滾動(dòng)，則定點(diǎn)相對(duì)定圓圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡即為內(nèi)次擺線。建立圖1所示笛卡爾坐標(biāo)系，給定、幅值（定點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)圓的偏心距與動(dòng)圓半徑之比），容易得到定點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為：b()=c ()+dc (), （1）這里d即為偏心距，c()是一個(gè)單位圓：c()=cos sinT。對(duì)于內(nèi)次擺線而言，其參數(shù)方程只需將式（1）中r替換為r即可。可以看出，次擺線方程（1）是兩個(gè)圓的參數(shù)方程的疊加，因而次擺線的參數(shù)化表示可以嘗試在圓弧參數(shù)化表示的基礎(chǔ)上進(jìn)行。2 圓弧的類有理Bezier表示2.1 表示形式在多項(xiàng)式空間中，任意曲線的n次有理Bezier表示形式為：, ， （2）其中，bi為控制點(diǎn)

6、，wi為權(quán)因子。式（1）中，將參數(shù)u視為弧度變量t（,0/2）的函數(shù)，即作如下變換：,變換后的記為，此時(shí)方程（2）變?yōu)轭愑欣鞡ezier形式： （3）是三角多項(xiàng)式空間（次數(shù)n=2m）中的規(guī)范有理基函數(shù)7。即對(duì)于任意三角多項(xiàng)式曲線，只要確定了其權(quán)因子和控制點(diǎn)，代入公式（3）就可得到其類有理Bezier表示。2.2 控制點(diǎn)和權(quán)因子Sanchez-Reyes給出了單位圓弧在三角多項(xiàng)式空間的控制點(diǎn)和權(quán)因子及兩者的關(guān)系6。其中權(quán)因子為：, , im （4）其中(i/2)為小于等于i/2的整數(shù)。而控制點(diǎn)bi到原點(diǎn)O的距離的倒數(shù)等于相應(yīng)的權(quán)因子wi，且相鄰控制點(diǎn)與原點(diǎn)所夾的角度均為，在極坐標(biāo)(r,)中可以很

7、簡(jiǎn)單的表示其相互關(guān)系，此時(shí)控制點(diǎn)為bi(ri,i)，如圖2所示：圖1 次數(shù)n=4的單位圓弧有理bezier曲線則有，wi=(ri)-1，(0in)，從而根據(jù)公式（4）求得的權(quán)因子和給定的就可求出單位圓弧的控制點(diǎn)bi(ri,i)=bi(wi-1,i)。任意半徑圓弧與單位圓弧次數(shù)相等時(shí)的控制點(diǎn)和權(quán)因子的關(guān)系為：兩者相應(yīng)的權(quán)因子相等；任意半徑圓弧控制點(diǎn)是在單位圓弧控制點(diǎn)的基礎(chǔ)上乘以相應(yīng)的半徑倍數(shù)。3 基于類Bezier曲線的次擺線參數(shù)化表示3.1 次擺線的類有理Bezier表示模型次擺線方程（1）中，當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，可以表示為k=m2/m1，m2、m1均為整數(shù)。則次擺線可以寫成如下形式：b=c+c （

8、5）其中t+t0=/m1。由式（5）可知次擺線處于三角多項(xiàng)式空間（）中，確定次擺線的控制點(diǎn)和權(quán)因子后，由式（3）即可得次擺線的類有理Bezier曲線。次擺線的權(quán)因子可以根據(jù)公式（4）求得。分別求出形成次擺線的兩個(gè)圓的控制點(diǎn)，再將兩圓相應(yīng)的控制點(diǎn)疊加即可得到次擺線的控制點(diǎn)，具體步驟如下：次擺線方程（5）中單位圓c和c的控制點(diǎn)分別滿足如下關(guān)系：cc （6）cc （7）方程（6）和（7）所求控制點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圓弧曲線次數(shù)分別為2m1、2m2，若m1、m2不相等時(shí)，為進(jìn)行控制點(diǎn)的疊加，需使兩曲線的次數(shù)相同，常用的方法是將低次曲線次數(shù)提升，即升階。三角多項(xiàng)式空間中，令i=wibi，將圓弧次數(shù)由n升階到n*=n

9、+2，且形狀因數(shù)C=cos保持不變，則升階前后的控制點(diǎn)滿足如下關(guān)系6： （8）其中,，或時(shí)k=0。比較m1、m2的大小，利用升階公式（8）將其中次數(shù)低的圓弧升階到高次圓弧相同的次數(shù)，求出升階后新的控制點(diǎn)及相應(yīng)的權(quán)因子。若pi和分別為單位圓c、c升階到相同次數(shù)后的控制點(diǎn)。則次擺線b(t)的控制點(diǎn)為： （9）3.2 算法流程通過(guò)上述分析，次擺線參數(shù)化表示相應(yīng)的算法流程如下：確定兩單位圓的次數(shù)和：根據(jù)所給定圓、動(dòng)圓半徑和偏心距，確定m1、m2的值，并選擇適當(dāng)?shù)模箖啥螆A弧都可以選用相同的；求圓弧控制點(diǎn)和權(quán)因子：分別求出兩單位圓弧相應(yīng)的2m1、2m2次的控制點(diǎn)和權(quán)因子；升階：利用升階公式對(duì)次數(shù)低的圓進(jìn)

10、行升階，使升階后兩圓次數(shù)相同，并求出升階后的控制點(diǎn)和權(quán)因子；求次擺線控制點(diǎn)：將兩單位圓的控制點(diǎn)乘以相應(yīng)的半徑系數(shù)后疊加，得到次擺線段的控制點(diǎn)；生成有理曲線：利用疊加后的控制點(diǎn)和相應(yīng)的權(quán)因子生成次擺線的類有理Bezier曲線，算法結(jié)束。4 參數(shù)化設(shè)計(jì)實(shí)例圖3示為汪克爾發(fā)動(dòng)機(jī)缸體內(nèi)部結(jié)構(gòu)，缸體內(nèi)壁形狀曲線即為外次擺線，設(shè)計(jì)參數(shù)為k=3，R=2r，d=r/2。圖3 汪克爾發(fā)動(dòng)機(jī)缸體內(nèi)部結(jié)構(gòu)將參數(shù)帶入公式（1）可知汪克爾發(fā)動(dòng)機(jī)缸體內(nèi)部結(jié)構(gòu)是由角度相差3倍的兩個(gè)圓疊加而成，即c()、c(3)，利用3.1中所述方法求其控制點(diǎn)（考慮到對(duì)稱性，通常只需求軌跡點(diǎn)離定圓圓心最遠(yuǎn)到最近這個(gè)區(qū)間的曲線即可，即動(dòng)圓旋轉(zhuǎn)

11、半個(gè)周形成的軌跡，在這個(gè)區(qū)間中，c()對(duì)應(yīng)的角度為=/2、c(3)對(duì)應(yīng)的角度為=3/2）。兩圓取相同的=/4，單位圓c(3)的次數(shù)n=6，根據(jù)式(4)可得權(quán)因子為：。由公式（7）得到對(duì)應(yīng)的控制點(diǎn)為：。單位圓c()的次數(shù)，升階到單位圓c(3)相同的次數(shù)6需先升階到n=4，再升階到n=6。單位圓c()的次數(shù)n=2時(shí)的權(quán)因子為,控制點(diǎn)為(1,0)。由式（4）和式（8）進(jìn)行計(jì)算可得，升階到n=4次時(shí)的權(quán)因子和控制點(diǎn)分別為和。單位圓c() 再次升階為n=6次時(shí)的權(quán)因子，控制點(diǎn)為：。將兩圓n=6次的控制點(diǎn)代入公式（9）得到次擺線的控制點(diǎn)。計(jì)算出了動(dòng)圓在旋轉(zhuǎn)的范圍內(nèi)的控制點(diǎn)及權(quán)因子,代入公式（3）生成相應(yīng)的

12、類有理曲線即可，圖4為在VC+編程環(huán)境下按照本文算法所實(shí)現(xiàn)的汪克爾發(fā)動(dòng)機(jī)缸體內(nèi)壁部分次擺線。其余部分按對(duì)稱性生成即可。圖4 時(shí)生成的次擺線段5 結(jié)論三角函數(shù)一直是目前熱點(diǎn)研究的一個(gè)課題，包括三角多項(xiàng)式空間的選取，規(guī)范基是否合理，算法的正確性等。本文在三角多項(xiàng)式空間，利用三角多項(xiàng)式和一般多項(xiàng)式的轉(zhuǎn)換及控制點(diǎn)的疊加原理，將次擺線這一類特殊的三角曲線，表示成了類有理Bezier曲線的形式，為這類曲線的參數(shù)化設(shè)計(jì)及圖形顯示提供了理論基礎(chǔ)。參考文獻(xiàn)：1 金建國(guó)等.參數(shù)化設(shè)計(jì)綜述J.計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2003,39(7):16-18.2 Zhang,J.W.,C-curves:an extension o

13、f cubic curvesJ,Computer Aided Geometric Design,1996,13:199-217.3 Zhang,J.W.,C-curves:Two different forms of C-B-SplinesJ, Computer Aided Geometric Design,1997,14:31-41.4 Zhang,J.W.,C-Bzier curves and surfacesJ,Graphical Models and Image Processing,1999,61:2-15.5 Mainar E,Pena J M,Sanchez-Renes J.Shape preserving alternatives to the rational Bezier modelJ.Computer Aided Geometric Design,2001,18(1):37-60.6 Snchez-Reyes, J., Single-valued cu