第十章 股票價格的行為ppt課件

1、第十章 股票價錢的行為方式 .教學目的與要求掌握隨機變量的概念，了解馬爾科夫過程的特點，掌握維納過程的特點和性質(zhì)，掌握普通維納過程的特征以及其漂移率和方差率，維納過程的均值和規(guī)范差。掌握Ito過程的特征。 .教學重點及難點一、馬爾科夫過程與效率市場的關系。二、維納過程、普通維納過程與此同時Ito過程的特征，漂移率和方差率，變量的均值與方差。以及這幾種過程的內(nèi)在聯(lián)絡和變化。三、Ito定理及其運用。 .一、隨機過程1、隨機過程假設某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化，那么稱該變量遵照某種隨機過程(stochastic process)。 .2、分類隨機過程分為離散時間(discrete time

2、)和延續(xù)時間(continuous time)兩類。一個離散時間隨機過程是目的的變量值只能在某些確定的時間點上變化的過程；一個延續(xù)時間隨機過程是目的的變量值的變化可以在任何時辰發(fā)生的過程。.隨機過程也可分為延續(xù)變量(continuous variable)和離散變量(discrete variable)兩種過程。 在延續(xù)變量過程中，標的變量在某一范圍內(nèi)可取恣意值，在離散變量過程中，標的變量只能夠取某些離散值。.二、弱式效率市場假說與馬爾科夫過程 1、效率市場假說 1965年，法瑪(Fama)提出了著名的效率市場假說。該假說以為：投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報酬；證券價錢對新的市場信息

3、的反響是迅速而準確的，證券價錢能完全反響全部信息；市場競爭使證券價錢從一個平衡程度過渡到另一個平衡程度，而與新信息相應的價錢變動是相互獨立的。.2、效率市場分類效率市場假說可分為三類：弱式、半強式和強式。弱式效率市場假說以為，證券價錢變動的歷史不包含任何對預測證券價錢未來變動有用的信息，也就是說不能經(jīng)過技術分析獲得超越平均收益率的收益。.半強式效率市場假說以為，證券價錢會迅速、準確地根據(jù)可獲得的一切公開信息調(diào)整，因此以往的價錢和成交量等技術面信息以及已公布的根本面信息都無助于挑選價錢被高估或低估的證券。 .強式效率市場假說以為，不僅是已公布的信息，而且是能夠獲得的有關信息都已反映在股價中，因此

4、任何信息(包括“內(nèi)幕信息)對挑選證券都沒有用途。效率市場假說提出后，許多學者運用各種數(shù)據(jù)對此進展了實證分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，興隆國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。 .3、馬爾科夫過程弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機過程(Markov Stochastic Process)來表述。馬爾科夫過程(Markov process)是一種特殊類型的隨機過程。這個過程闡明只需變量的當前值與未來的預測有關，變量過去的歷史和變量從過去到如今的演化方式那么與未來的預測不相關。 .股價的馬爾科夫性質(zhì)與弱型市場有效性(the weak form of market efficiency)相一致：一種股票的現(xiàn)價曾經(jīng)包

5、含了一切信息，當然包括了一切過去的價錢記錄。假設弱型市場有效性正確的話，技術分析師可經(jīng)過分析股價的過去歷史數(shù)據(jù)圖表獲得高于平均收益率的收益是不能夠的。是市場競爭保證了弱型市場有效性成立。 .三、維納過程布朗運動來源于物理學中對完全浸沒于液體或氣體中的小粒子運動的描畫，以發(fā)現(xiàn)這種景象的英國植物學家Robert Brown命名。描畫布朗運動的隨機過程的定義是維納(wiener)給出的，因此布朗運動又稱維納過程股價行為模型通常用布朗運動來描畫。布朗運動是馬爾科夫隨機過程的一種特殊方式。 .一規(guī)范布朗運動 變量z是一個隨機變量，設一個小的時間間隔長度為t，定義z為在t時間內(nèi)z的變化。要使z遵照維納過程

6、，z必需滿足兩個根本性質(zhì)：.性質(zhì)1：z與t的關系滿足方程式z= 其中為服從規(guī)范正態(tài)分布(即均值為0、規(guī)范差為1.0的正態(tài)分布)中抽取的一個隨機值。性質(zhì)2：對于任何兩個不同時間間隔t，z的值相互獨立。 .從性質(zhì)1，我們得到z本身具有正態(tài)分布， z的均值=0 z的規(guī)范差= z的方差=t性質(zhì)2那么隱含z遵照馬爾科夫過程，即變量對過去沒有記憶效應。 .在一段相對長的時間T中z值的添加表示為z(T)-z(0)。這可被看作是在N個長度為t的小時間間隔中z的變化的總量，這里其中ii=1，2，N是從規(guī)范正態(tài)分布的隨機抽樣值。 .從性質(zhì)2中可知,i是相互獨立的，從上式可得z(T)z(0)是正態(tài)分布的，其中 z(

7、T)z(0)的均值=0 z(T)z(0)的方差=Nt=T z(T)z(0)的規(guī)范差=因此，在任一長度為T的時間間隔內(nèi)，遵照維納過程的隨機變量值的添加具有均值為0、規(guī)范差為 的正態(tài)分布。這就是為什么z被定義為與 的乘積而不是與t的乘積。對于相互獨立的正態(tài)分布，方差具有可加性，規(guī)范差不具有可加性。這樣定義的隨機過程就可以使得變量變化的方差而不是規(guī)范差與所思索的時間長度成正比。.例：假設一個遵照維納過程的變量z，其最初值為25，以年為單位計時。那么，那么有：在第一年末，變量值服從均值為25；規(guī)范差為1.0的正態(tài)分布；在第二年末，Z將服從均值為25、規(guī)范差為2或1.414的正態(tài)分布。 分析：之所以第2

8、年末規(guī)范差變?yōu)? ，是由于變量值在未來某一確定時辰的不確定性用規(guī)范差來表示是隨著時間長度的平方根而添加的。.當t0時，我們就可以得到極限的規(guī)范布朗運動或維納過程： .(二)普通布朗運動 漂移率(Drift Rate)是指單位時間內(nèi)變量Z均值的變化值。方差率(Variance Rate)是指單位時間的方差變動比率。規(guī)范布朗運動的漂移率為0，方差率為1.0。漂移率為0意味著在未來恣意時辰z的均值都等于它的當前值。方差率為1.0意味著在一段長度為T的時間段后，z的方差為1.0T .令漂移率的期望值為a，方差率的期望值為b2，得到變量x的普通布朗運動,用dx定義如下：dx=adt+bdz其中a和b為常

9、數(shù)。dz遵照規(guī)范布朗運動。這個過程指出變量x關于時間和dz動態(tài)過程。 .其中第一項adt為確定項，adt項闡明了x變量單位時間的漂移率期望值為a。假設缺省bdz項，方程變?yōu)?dx=adtdx/dt=a x=x0+at其中x0為x在零時辰的值。經(jīng)過長度為T的時間段后，x添加的值為aT。第二項bdz是隨機項，它闡明對x的動態(tài)過程添加的噪音或動搖率。這些噪聲或動搖率的值為維納過程的b倍。 .類似的，可得恣意時間T后x值的變化具有正態(tài)分布，且：方程：dx=adt+bdz給出了普通布朗運動，其漂移率(即單位時間平均漂移)的期望值為a，方差率(即單位時間的方差)的期望值為b2。如圖：.例：假設某公司的現(xiàn)金

10、頭寸遵照普通維納過程，每年漂移率為20，每年方差為900，最初的現(xiàn)金頭寸為50萬。那么，那么有： 在第6個月末，該頭寸將服從正態(tài)分布，均值為60；規(guī)范差為300.5=21.21的正態(tài)分布； 在第1年末，該頭寸將服從正態(tài)分布， 均值為70，規(guī)范差為30。 分析：同前，隨機變量值在未來某一確定時辰的不確定性用規(guī)范差來表示是隨著時間長度的平方根添加而添加的。.(三)Ito過程 假設把變量x的漂移率和方差率當作變量x和時間t的函數(shù)，得到另一種類型隨機過程，即著名的Ito過程(Ito process)，即伊藤過程。dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz 其中，dz是一個規(guī)范布朗運動，參數(shù)a和b是標的變

11、量x和時間t值的函數(shù)。變量x的漂移率為a，方差率為b。即Ito過程的期望漂移率和方差率都隨時間變化而變化。.四、股票價錢的行為過程 討論無紅利支付股票價錢遵照的隨機過程 .1、假定股票價錢遵照普通布朗運動的不合理性這種假定闡明股票價錢運動具有不變的期望漂移率和方差率。以S代表股票價錢, t時間段股價的變化為S，那么在t時間段，S的均值為at,方差為b2t。此時at/S代表股票的期望收益率。這闡明承當一樣風險的情況下，股價高的獲得的收益率低，股價低的獲得的收益率高。這與投資者要求來自股票的期望收益率與股票價錢無關的現(xiàn)實不一致。 .2、一種修正：假定股票價錢變化率遵照普通布朗運動假設股價變化比率遵

12、照布朗運動。設S遵照期望漂移率為S為常數(shù)的布朗運動。因此，在短時間間隔t后，S的增長期望值為St。參數(shù)是股票的期望收益率，以小數(shù)的方式表示。即，假定S/S的變化遵照普通布朗運動，其期望漂移率為一恒定參數(shù)。在短時間間隔t后，S/S的期望值股票的期望收益率為。 .1假設股票價錢的方差率恒為0，這個模型即為： 其中So是零時辰的股票價錢。以上方程闡明了當方差率為0時，股票價錢以單位時間為的延續(xù)復利方式增長。注：這是只存在于一個無風險的世界中.2股票價錢的方差率不為0 當然，實踐上股票價錢確實存在著動搖率。一個合理假設是：無論股票價錢如何，短時間t后的百分比收益率的方差堅持不變。即，不論股票價錢為$5

13、0還是$10，投資者以為他或她的收益率的不確定性是一樣的。.定義2為股票價錢比例變化的方差率，即2t是t時間后股票價錢比例變化(proportional change)的方差，2S2t是經(jīng)過t后股票價錢的實踐變化(actual change)的方差。因此，S的瞬態(tài)方差率(instantaneous variance rate)為2S2。.3、股票價錢行為的幾何布朗運動 1從以上論述可以得出結(jié)論：S可以用瞬態(tài)期望漂移率(instantaneous expected drift rate)為S和瞬態(tài)方差率為2S2的Ito過程幾何布朗運動來表達，表示為： .幾何布朗運動是描畫股票價錢行為最廣泛運用的

14、一種模型。變量通常被稱為股票價錢動搖率(stock price volatility)。即是股票收益率單位時間的規(guī)范差。2表示股票收益率單位時間的方差。變量為股票在單位時間內(nèi)以延續(xù)復利表示的股票價錢的預期收益率(expected rate of return)。這兩個參數(shù)假設為常數(shù)。dz表示規(guī)范布朗運動。.2從幾何布朗運動可知，在短時間t后，證券價錢比率的變化值S/S為： S/S=t+ 方程的左邊是短時間t后股票的收益率。t項是這一收益率的期望值， 項是收益率的隨機部分。隨機部分的方差(也是整個收益的方差)為2t。 .可見，S/S也具有正態(tài)分布特征，其均值為t，規(guī)范差為 ，方差為2t。 其中

15、(m，s)表示均值為m，規(guī)范差為s的正態(tài)分布。 .短時間t后股票價錢比例變化的規(guī)范差為 。作一粗略的近似，在相對長一段時間T后股票價錢比例變化的規(guī)范差為 。這就是說，作為近似，動搖率可被解釋為一年內(nèi)股票價錢變化的規(guī)范差。留意：在一段較長時間T后的股票價錢比例變化的規(guī)范差并不準確地為 。這是由于比例變化不具有可加性 .4、參數(shù)的討論 1參數(shù)時間：在幾何布朗運動中，我們涉及兩個符號：和，其大小取決于時間計量單位。假設無特別聲明，通常以年為時間的計量單位。 .2根據(jù)資本資產(chǎn)定價原理，值取決于：該證券的系統(tǒng)性風險，無風險利率程度(利率程度越高，投資者要求任一種股票的預期收益率就越高)，市場的風險收益偏

16、好(多數(shù)投資者以為，假設承當更大的風險，將要求獲得更高的預期收益率。所以值該當取決于股票收益的風險)。.由于后者涉及客觀要素，因此的決議本身就較復雜。然而僥幸的是衍生證券的定價與標的資產(chǎn)的預期收益率()是無關的。由于依靠于某種股票的衍生證券的價值普通是獨立于的。.3證券價錢的動搖率對于衍生證券的定價那么是相當重要的。證券價錢的動搖率可了解為證券價錢的“脾氣，我們可以經(jīng)過歷史數(shù)據(jù)來察看各種證券“脾氣的大小，然后經(jīng)過幾何布朗運動來確定其未來價錢的概率分布。留意，幾何布朗運動把當作常數(shù)，實踐上，證券價錢的脾氣是會變的。會隨時間變化而變化。 .例：設一種不付紅利股票遵照幾何布朗運動，其動搖率為每年18

17、，預期收益率以延續(xù)復利計為每年20，其目前的市價為100元，求一周后該股票價錢變化值的概率分布。.解：=0.20,=0.18，其股價過程為：dS/S0.20dt十0.18dz在隨后短時間間隔后的股價變化為:S/S=0.20t+0.18由于1 周等于0.0192年，因此S=100(0.00384+00249) =0.384+2.49上式表示一周后股價的添加值是均值為0.384元，規(guī)范差為2.49元的正態(tài)分布的隨機抽樣值。.五、Ito定理 股票期權的價錢是該標的股票價錢和時間的函數(shù)。更普通地，任何一種衍生證券的價錢都是這些標的證券價錢和時間的函數(shù)。在這一領域內(nèi)的一個重要結(jié)論由一個叫K.Ito的數(shù)學

18、家在1951年發(fā)現(xiàn)。這是在伊藤過程的根底上，由伊藤進一步推導出來的。因此稱為Ito定理(Itolemma)。.假設變量 x的值遵照Ito過程：dx=a(x,t)+b(x,t)dz 其中，dz是一個維納過程，a與b是x和t的函數(shù)。變量x的漂移率為a和方差率為b2。Ito定理闡明x和t的函數(shù)G遵照如下過程： . dS=Sdt+Sdz 和為常數(shù)。這是股票價錢運動的一個合理的模型。從Ito定理得到S與t的函數(shù)G遵照的過程為：.六、Ito定理的運用 .一運用于股票價錢對數(shù)變化1.如今我們用Ito定理推導lnS變化所遵照的隨機過程。 . 由于和為常數(shù)，這個方程闡明了證券價錢對數(shù)G遵照一個普通布朗運動普通化的維納過程。它具有恒定的漂移率22和恒定的方差率2。由本章前面的結(jié)果可知： .證券價錢對數(shù)的變化呈正態(tài)分布。假設一個變量的自然對數(shù)服從正態(tài)分布，那么稱這個變量服從對數(shù)正態(tài)分布。根據(jù)正態(tài)分布的特性，從上式可以得到： .這闡明ST服從對數(shù)正態(tài)分布。lnST 的規(guī)范差與 成比例。這闡明證券價錢對