大學物理：16-6波函數(shù)一維定態(tài)薛定鄂方程

1、16.6 波函數(shù) 一維定態(tài)薛定鄂方程波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋德布羅意指出了微觀粒子具有波動性-德布羅意物質波戴維孫和G.P.湯姆孫實驗證實了電子具有波動性斯特恩實驗證實了原子、分子具有波動性.這究竟是什么一種波呢？機械波：是彈性介質中物質的位移構成數(shù)學表達式y(tǒng)(x,t)電磁波：是變化電場和變化磁場形成數(shù)學表達式E(x,t), H(x,t)德布羅意物質波也應該有個數(shù)學表達式-波函數(shù)波函數(shù)究竟代表什么呢？分析：物理學本質上是實驗科學. 對于這些波在實驗上可測且有價值的物理量是什么呢？機械波波函數(shù)y(x,y,z,t) 波強I y y* 電磁波波函數(shù)E(x,y,z,t) 波強(光強)I E E* 德布羅意物質

2、波波函數(shù)(x,y,z,t) * ?可測且有價值的物理量= ?波粒二象性微觀粒子運動無確切的軌道無一實驗能揭示出微觀粒子何時在何處只能概率描述同樣可求出微觀粒子系統(tǒng)的能量概率電子數(shù) N=7電子數(shù) N=100電子數(shù) N=3000電子數(shù) N=20000電子數(shù) N=70000出現(xiàn)概率小出現(xiàn)概率大電子雙縫干涉圖樣波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋(玻恩1926): 描述粒子運動狀態(tài)的波函數(shù)(x,y,z,t)，則表示粒子在時刻t,在x, y,z附近單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率. *=概率密度波函數(shù)代表微觀粒子的概率波(概率幅)重要!意義：把粒子的波動性和粒子性統(tǒng)一起來了 *大的地方,粒子出現(xiàn)概率大,衍射花樣強度大; 由波函數(shù)可計算

3、出微觀粒子的平均物理量 如平均能量、平均動量和平均位置等反之亦然。 這個波函數(shù)(x,y,z,t)應該具有什么性質呢？對波函數(shù)的要求波函數(shù)一般是復數(shù)函數(shù)若波函數(shù)是余弦規(guī)律，不妨設(x,t)=Acos(x,t)則概率密度= *=A2cos2(x,t)=是時間的函數(shù)這表明不可能出現(xiàn)穩(wěn)定的干涉條紋,與雙縫電子衍射實驗不合。波函數(shù)滿足歸一化條件波函數(shù)是有限、單值和連續(xù)(包括其一階導數(shù)連續(xù))的歸一化條件該粒子在可能出現(xiàn)的整個空間一定會出現(xiàn)自由粒子的波函數(shù)的數(shù)學表達式分析: 無相互作用無能量交換能量 E和動量p都不變;活動范圍是整個空間.所以, 自由粒子的波函數(shù)是復數(shù)形式的單色平面波 波函數(shù)的數(shù)學表達式(x

4、,y,z,t)= ?實數(shù)形式的單色平面波：urnxzy0r復數(shù)形式的單色平面波：波矢:自由粒子的波函數(shù):表明自由粒子在空間各點出現(xiàn)概率相同。非自由粒子的波函數(shù)的數(shù)學表達式?自由粒子的波函數(shù):如引力場中的粒子，原子內(nèi)部的電子等都是非自由粒子。需要量子力學求之。量子力學求出粒子波函數(shù)獲相關粒子信息。一維定態(tài)薛定諤方程1933年度諾貝爾物理學獎 薛定諤歷史背景1924年德布羅意指出了微觀粒子具有波動性1925年戴維孫實驗證實了電子具有波動性1925年底在一次物理年會上(德)德拜提出：即然電子具有波動性，就必然有波動方程，應該認真研究.1926年上半年(德)薛定諤找到了這個波動方程但是，的物理意義是什

5、么？連薛定諤本人也不清楚！1926年(德)玻恩給出了波函數(shù)的物理解釋-波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋: 描述粒子運動狀態(tài)的波函數(shù)(x,y,z,t)，則表示粒子在時刻t,在x, y,z附近單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率. *=概率密度波函數(shù)代表微觀粒子的概率波(概率幅)重要! 波函數(shù)有了物理意義后，后輩物理學家從如下兩種途經(jīng)也創(chuàng)建出了薛定諤方程(注：不是推導)： 從基本物理概念出發(fā)，創(chuàng)建薛定諤方程； 從概率計算物理量平均值出發(fā)，創(chuàng)建薛定諤方程.從基本物理概念出發(fā)，創(chuàng)建薛定諤方程薛定諤方程應滿足如下要求：方程應含有波函數(shù)對時間的一階導數(shù)以便反映出微觀粒子運動狀態(tài)隨時間的變化.方程應是線性的以便反映出波動性的普遍規(guī)律-波的

6、疊加原理.方程應與Ek=p2/(2m)相適應因為方程屬非相對論的.方程中的系數(shù)不應包含狀態(tài)參量如能量E、動量p等因為若含有了這些參量，則方程只能描述具有該參量值的特定系統(tǒng)，從而失去了普遍性.薛定諤方程 先找出自由粒子的波動方程己知自由粒子波函數(shù)根據(jù)要求, 對時間t求一階導數(shù)有:根據(jù)要求, 對空間變量x,y,z求二階導數(shù)有:無的平方以上項線性滿足要求系數(shù)無狀態(tài)參量E、p滿足要求自由粒子的薛定諤方程這就是非自由粒子的薛定諤方程 找出非自由粒子的波動方程設非自由粒子在保守力場中,其勢能為U(x,y,z,t), 粒子能量E為：利用非自由粒子在力場U(x,y,z,t)中的波函數(shù)滿足的波動方程定態(tài)薛定諤方

7、程若 U(r,t) =U(r) (即不含時間t ), 則可令 (r,t) = (r) f(t) 代入薛定諤方程并整理有：=E等式左右兩邊分別是獨立變量t、r的函數(shù) E是常量-定態(tài)薛定諤方程若 U(r,t) =U(r) (即不含時間t ), 則薛定諤方程的解中:(注：C在(r)說明幾點： 由德布羅意關系E = h 知，E是粒子總能量。粒子系統(tǒng)處 于定態(tài)時，其能量E具有確定值。 U(r,t) =U(r) 解定態(tài)薛定諤方程求出波函數(shù)和能量 定態(tài)薛定諤方程利用界面連續(xù)、有限、單值、歸一化條件求本征方程，解出本征值和相應的本征函數(shù)。歸結為數(shù)學問題： 薛定諤方程應用舉例概述用量子力學求解微觀粒子的波函數(shù)的

8、思路：粒子在力場上的勢能U(x,y,z) 利用波函數(shù)的標準條件：連續(xù)、單值、有限和歸一化條件 同時求出粒子的波函數(shù)和能量E 求出粒子出現(xiàn)的概率分布等 一維無限深方勢阱如圖粒子的勢能為xU0a求微觀粒子在此力場中的波函數(shù)和能量 以及概率分布。解：因為勢能U(x)不含時間解定態(tài)薛定諤方程(一維) 0 x a :0令這是二階常系數(shù)常微分方程其通解為 (x)=Aeikx+ Be -ikx向右傳播向左傳播U(x) = 0 x 0 , x a :U(x) 令其通解為 (x)=Cex+ De-x U 有 (x)=Cex波函數(shù)有限 C=0 (x) 0這表明粒子不可能進入x 0, x a 的區(qū)域。 ( x 0

9、, x a ) x = 0(左邊界) : x 0 波函數(shù)(x)=Aeikx+ Be -ikx波函數(shù)在邊界x = 0處應連續(xù)A+ B = 0B = A (x)=A(eikx e ikx) = 2iA sinkx = C sinkx x = a(右邊界) : x a 波函數(shù)(x) 0 ( 0 x V0 ，穿過； E V0 ，返回量子效應：即使 E V0，仍有T 0，“嶗山道士” 應用：STM，隧穿二極管，IC集成度的物理下限掃描隧道顯微鏡（STM）原理圖硅表面77重構圖CO分子人STM刻字(10nm)48個Fe原子形成“量子圍欄”，圍欄中電子形成駐波. 一維諧振子彈簧振子的勢能=(1/2)kx2振

10、動角頻率 k=m2雙原子的分子振動固體中原子振動諧振子求諧振子的能量和波函數(shù)一維定態(tài)薛定諤方程:一維諧振子薛定諤方程:其勢能(不含時)結果： 定態(tài)能量是量子化的相鄰能級間距 與普朗克的黑體輻射能量量子0 =hv吻合 n=0最小能量 (n = 0,1, 2, 3,.)稱為諧振子的零點能微觀粒子最低能態(tài)不靜止這與不確定關系吻合x有限p0 有能量 諧振子的定態(tài)波函數(shù)如圖 n=0 n=1 n=2 n=3 E0=hv/2 E1=3hv/2 E2=5hv/2 E3=7hv/2 x 0 U0123可見,勢能邊界外側鄰域 0 這表明微觀粒子仍可能出現(xiàn)在勢能邊界外例鄰域內(nèi)-隧道效應量子力學與經(jīng)典力學的重要區(qū)別之一非自由粒子的共同特點粒子波動性之