大學(xué)物理：第12章 機(jī)械振動

1、“噴水魚洗”實質(zhì)上是一個盆邊帶有雙耳的銅盆. 當(dāng)用手摩擦盆邊的雙耳時，盆內(nèi)的水會浪花飛濺.第12章 機(jī)械振動本章內(nèi)容12.1 簡諧振動12.2 簡諧振動的實例分析12.3 諧振動的合成12.4 阻尼振動和受迫振動簡介*12.5 二自由度線性振動簡介12.1 簡諧振動主要內(nèi)容：1. 什么是簡諧振動？2. 簡諧振動的特點(diǎn)？3. 用牛頓運(yùn)動定理分析諧振子的運(yùn)動規(guī)律。4. 簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表述5. 諧振動的能量12.1.1 簡諧振動 定義: . 特點(diǎn): (1)等幅振動, (2)周期振動 .x 是描述位置的物理量,如 y , z 或 等. m 研究簡諧振動的意義:mxO 諧振子1. 受力特點(diǎn)機(jī)械振動的

2、力學(xué)特點(diǎn)線性恢復(fù)力2. 動力學(xué)方程運(yùn)動微分方程（特征方程）其中 為 固有角頻率3. 速度和加速度 Okxl0 x m運(yùn)動學(xué)方程（振動方程）12.1.2 描述諧振動的特征量 1. 振幅 A.2. 周期T 和頻率 vv = 1/T (Hz)3. 相位(1) ( t + ) 是 t 時刻的相位. (2) 是 t =0 時刻的相位 初相.相位的意義: 相位確定了振動的狀態(tài). 相相位每改變 2 振動重復(fù)一次,相位 2 范圍內(nèi)變化,狀態(tài)不重復(fù). txOA- A = 2 相位差 若 若兩振動步調(diào)相同,稱同相.兩振動步調(diào)相反 , 稱反相. m2 x2Ok2 m1 k1x1 xtoA1A2- A2x1x2T-

3、A1x2TxoA1- A1A2- A2x1t4. 振幅和初相位的確定注意: 如何確定最后的 .12.1.3 諧振動旋轉(zhuǎn)矢量表示法 t + oxxtt = 0va特點(diǎn):直觀方便. 12.1.4 諧振動的能量(以水平彈簧振子為例)1. 動能2. 勢能3. 機(jī)械能（簡諧振動系統(tǒng)機(jī)械能守恒）ExOAAmxO例如圖所示，一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動，在一個周期內(nèi)相繼通過距離為12cm的兩點(diǎn)A和B，歷時2s，并且在A，B兩點(diǎn)處具有相同的速率；再經(jīng)過2s后，質(zhì)點(diǎn)又從另一方向通過B點(diǎn).AB解Ox質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的周期和振幅.求由題意可知，AB的中點(diǎn)為平衡位置，周期為T = 42s = 8s設(shè)平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則設(shè) t = 0

4、時，質(zhì)點(diǎn)位于平衡位置，則振動方程可寫為t = 1 時, 質(zhì)點(diǎn)位于B點(diǎn), 所以12.2 簡諧振動的實例分析主要內(nèi)容：1. 單擺2. 復(fù)擺3. 扭擺4. 雙原子分子內(nèi)原子的振動12.2.1 單擺以小球為研究對象，作受力分析.設(shè)角沿逆時針方向為正.P 重力, T 繩的拉力.沿切向方向的分量方程為（小角度時）令 結(jié)論:小角度擺動時，單擺的運(yùn)動是諧振動.周期和角頻率為：（牛頓第二定律）12.2.2 復(fù)擺（物理擺）以物體為研究對象.設(shè)角沿逆時針方向為正（剛體繞定軸轉(zhuǎn)動定律）小角度時令 結(jié)論:小角度擺動時，復(fù)擺的運(yùn)動是諧振動.周期和角頻率為：12.2.3 扭擺以圓盤為研究對象在（扭轉(zhuǎn)角）不太大時，（剛體繞定

5、軸轉(zhuǎn)動定律）令 結(jié)論:在扭轉(zhuǎn)角不太大時，扭擺的運(yùn)動是諧振動.周期和角頻率為：金屬絲xyz（D為金屬絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)）圓盤受到的力矩為 雙原子分子某些雙原子分子中，原子間的相互作用力可以用為（其中，r 為原子間的距離，a 和 b 均為正的常數(shù)）證明原子在平衡位置附近的微振動是諧振動,并確定其周期.證明:平衡位置設(shè)原子偏離平衡位置的位移為（在平衡位處置冪級數(shù)展開）（對于微小振動，高階小量可略去）其中，為等效勁度系數(shù). 結(jié)論:原子在平衡位置附近的微振動是諧振動.周期為：角頻率為：12.3 諧振動的合成主要內(nèi)容：1. 同方向同頻率諧振動的合成2. 同方向不同頻率諧振動的合成 拍3. 相互垂直諧振動的合成1

6、2.3.1 同方向同頻率諧振動的合成1. 解析法分振動 :合振動 : 結(jié)論：合振動 x 仍是簡諧振動2. 旋轉(zhuǎn)矢量法分振動合振動 結(jié)論：與解析法求得的結(jié)果一致，方法直觀、簡捷. 討論: (1)若兩分振動同相,即 2 1=2k (k=0,1,2,),(2)若兩分振動反相,即 2 1=(2k+1) (k=0,1,2,),當(dāng) A1=A2 時, A=0.則 A=A1+A2 , 兩分振動相互加強(qiáng)，則A=|A1-A2|, 兩分振動相互減弱，當(dāng) A1=A2 時 , A=2A1,例設(shè)有 n 個同方向、同頻率、振幅 a 相同、初相差依次為一常量的諧振動，它們的振動分別為 3. n 個同方向同頻率諧振動的合成求

7、合振動的振動方程.解naCARxOP極大值: 討論:極小值:naCARxOP12.3.2 同方向不同頻率諧振動的合成 拍分振動 :合振動 :當(dāng) 時, A 有最大值:合振動的振幅當(dāng) 時，A有最小值: 結(jié)論：合振動 x 不再是簡諧振動, 合振動振幅的頻率為當(dāng) 2 1 時 , 2 - 1 2 + 1 ，令其中 隨 t 緩變隨 t 快變 振幅相同不同頻率的簡諧振動的合成合振動 :分振動 : 結(jié)論：合振動 x 可看作是振幅緩變的簡諧振動。xx2x1ttt 拍的現(xiàn)象 OOO拍頻 : 單位時間內(nèi)合振動振幅強(qiáng)弱變化的次數(shù)即: 12.3.3 兩個相互垂直諧振動的合成 李薩如圖1. 兩個同頻率相互垂直的諧振動的合

8、成分振動合運(yùn)動 討論 當(dāng) = 2 1= k (k為整數(shù))時, 當(dāng) = ( 2k +1 ) /2 (k為整數(shù))時, xy = 0(第一象限) = /2 = = 3/2(第二象限)(第三象限)(第四象限)2. 兩個不同頻率、相互垂直的諧振動的合成分振動 結(jié)論：(1)1、2 之比為整數(shù)時:合成運(yùn)動仍是周期運(yùn)動,軌跡是穩(wěn)定的閉合曲線(李薩如圖).(2)1、2 之比不為整數(shù)時:合成運(yùn)動為非周期運(yùn)動,運(yùn)動的軌跡為永不閉合的.:李薩如曲線12.4 阻尼振動和受迫振動簡介主要內(nèi)容：1. 阻尼振動2. 受迫振動12.4.1 阻尼振動阻尼力振動的微分方程 式中，2=k/m , n = /(2 m) (阻尼系數(shù))

9、幾種阻尼振動模式 小阻尼大阻尼臨界阻尼 Okxl0 x m2. 臨界阻尼( n2 = 2 )1. 小阻尼 ( n2 2 )阻尼的應(yīng)用12.4.2 受迫振動受力分析 彈性力阻尼力 周期性驅(qū)動力受迫振動的微分方程l0 x其解為受迫振動微分方程的穩(wěn)態(tài)解為:其中，振幅 A 及受迫振動與干擾力之間的相位差 分別為： 結(jié)論:振幅 A 及受迫振動與干擾力之間的相位差 都與起始條件無關(guān). 討論:位移共振(振幅取極值) 速度共振(速度振幅取極值) 1. 位移共振(振幅取極值)（振幅共振曲線）共振頻率 :共振振幅 :2. 速度共振(速度振幅取極值)共振頻率 :共振速度振幅 :（速度共振曲線） 共振的應(yīng)用和危害塔科

10、馬海峽橋的倒塌*12.5 二自由度線性振動簡介主要內(nèi)容：1. 簡正頻率2. 耦合振子3. 耦合擺二自由度振動系統(tǒng)耦合振子兩振子的運(yùn)動微分方程為 (O1 、 O1 )為平衡位置 m1 k1 m2 k2 k O1 O2 x1 x2 x設(shè)其特解為（1） （2）由(1)、(2)兩式?jīng)Q定的特解表示兩擺以相同的頻率 作簡諧振動的情況，振幅分別為A1、A2. 將特解代入微分方程，可求出振幅比和頻率振幅有非零解的條件為簡正頻率：由上式可求得2 的兩個根21 、22 ，分別稱為第一和第二簡正頻率.為了簡化問題，設(shè) 則有對應(yīng)的簡正頻率和振幅比為 結(jié)論(1) 二自由度的耦合雙振子系統(tǒng)有兩個簡正頻率，存在有兩種簡正振

11、動模式.(2) 第一種簡正振動模式，兩振子以相同的頻率 1振動時，振幅相等、相位相同，如圖所示. m1 k0 m2 k0 k O1 O2 x x (3)第二種簡正振動模式，兩振子以相同的頻率 2 振動時，振幅相等、相位相反，如圖所示。 m1 k0 m2 k0 k O1 O2 x -x(4) 只有在一定條件下，耦合振子才作簡正振動.(5) 一般情況下耦合振子的運(yùn)動是兩簡諧振動的疊加，即 耦合擺兩擺的運(yùn)動微分方程為其特解為（1）（2）由(1)、(2)兩式?jīng)Q定的特解表示兩擺以相同的頻率 作簡諧振動的情況，振幅分別為A1、A2.將特解代入微分方程，可求出振幅比和頻率： 1 、 2 分別為第一和第二簡正

12、頻率結(jié)論：(1) 當(dāng)兩擺以相同的頻率 1振動時，振幅相等、相位相同，如圖所示.(2) 當(dāng)兩擺以相同的頻率 2 振動時，振幅相等、相位相反，如圖所示.(3) 一般情況下耦合擺的運(yùn)動是兩簡諧振動的疊加，即本章小結(jié)1. 簡諧振動方程2. 簡諧振動的相位( t + ) 是 相位，決定 t 時刻簡諧振動的運(yùn)動狀態(tài).3. 簡諧振動的運(yùn)動微分方程4. 由初始條件振幅和初相位5. 彈簧振子的能量動能：勢能：總機(jī)械能：平均能量：6. 諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示Ox7. 簡諧諧振動的合成(1) 同方向同頻率諧振動的合成合振動仍為簡諧振動，和振動的振幅取決于兩個分振動的振幅及相差，即(2) 同方向不同頻率諧振動的合成當(dāng)兩個分振動的頻率相差較小時，產(chǎn)生拍的現(xiàn)象，拍頻為(3) 相互垂直的兩個諧振動的合成若兩個分振動的頻率相同，則合振動的軌跡一般為橢圓；若兩個分振動的頻率為簡單整數(shù)比，則合振動的軌跡為李薩如圖形.8. 阻尼振動和受迫振動(1) 阻尼振動小阻尼 ( n2 2 )和臨界阻尼( n2 = 2 )情況下，彈簧振子的運(yùn)動是非周期性的，振子隨著時間逐漸返回平衡位置。臨界阻尼與大阻尼情況相比，振子能更快地返回到平衡位置.(2