《不確定性人工智能》課程教學云模型的數(shù)學性質

1、1高斯云模型的數(shù)學性質Mathematical Properties of Gauss Cloud不確定性人工智能課件之四回 顧 高斯云模型的數(shù)字特征：（Ex，En，He） 云模型沒有用解析的形式表述。而是利用三個獨立的數(shù)字特征：期望Ex、熵En和超熵He，通過二階正態(tài)分布在論域空間生成隨機云滴，由高斯隸屬函數(shù)計算得出云滴的確定度，構造出定性概念及其定量表示之間的轉換算法。 1. 生成以En為中心值，He2為方差的一個正態(tài)隨機數(shù)En；2. 生成以Ex為中心值，En 2為方差的一個正態(tài)隨機數(shù) x ；3. 計算： 4. x 是論域中的一個云滴, y是其確定度；5. 重復步驟1-4直至產生需要數(shù)目的

2、云滴。高斯云模型算法回顧4算法關鍵：1、 En NORM (En, He2)2、X NORM(En, En2 )3 、計算確定度思 考 高斯云模型是二次隨機嗎？ 高斯云模型是二次模糊嗎？ 高斯云模型是隨機+模糊嗎？ 如何理解高斯云模型的意義？ 高斯云模型的數(shù)學性質高斯云模型的數(shù)理基礎云滴分布的統(tǒng)計分析確定度分布的統(tǒng)計分析高斯云模型的期望曲線高斯云模型的重尾性質1. 高斯云模型的數(shù)理基礎正態(tài)分布的普適性 正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象與社會現(xiàn)象中，實際中遇到的許多隨機現(xiàn)象都服從或者近似服從正態(tài)分布。正態(tài)分布產生條件中心極限定理 如果某一隨機變量是由大量相互獨立的隨機因素的綜合影響所形成的，而其中每一

3、個別因素在總影響中所起的作用都是微小的，這種隨機變量往往近似的服從正態(tài)分布。 是否可以通過弱化形成正態(tài)分布的條件，即假定產生某隨機變量的諸隨機因素間不完全獨立，個別隨機因素對該隨機變量的作用不那么微小，能否將正態(tài)分布弱化為“泛正態(tài)分布”，利用一個參數(shù)來衡量該隨機變量分布偏離正態(tài)分布的程度？ 泛正態(tài)分布的產生條件沒有正態(tài)分布苛刻，它比正態(tài)分布復雜，但是比聯(lián)合分布簡便可行。1、線性隸屬函數(shù)2、三角型隸屬函數(shù)3、梯型隸屬函數(shù)4、嶺型隸屬函數(shù)5、高斯隸屬函數(shù)模糊集合中常用的隸屬函數(shù)形態(tài)在眾多的模糊控制文獻中，高斯隸屬函數(shù)使用最頻繁；其它隸屬函數(shù)常常和高斯隸屬函數(shù)有相當?shù)奈呛?；大量模糊概念，用高斯隸屬函

4、數(shù)刻畫，接近人類認知。高斯隸屬函數(shù)的普適性 正態(tài)分布的普適性和高斯隸屬函數(shù)的普適性，共同奠定了高斯云模型的普適性。用三個數(shù)字特征進行定性定量轉換是最小集合，不可能再少；還有更高階的熵，例如用超超熵去反映超熵的不確定性，是可以無限深追的，但人類使用自然語言思維不會涉及過多的數(shù)學運算；可以構造“均勻高斯”等其它云模型。為什么不用更少或者更多的數(shù)字特征構造云模型？從概率測度角度看，云模型的定義域是N 維量化論域空間。云滴是該論域空間中的一個隨機變量，服從一定的分布；云滴對概念的確定度，也是一個隨機變量。2. 云滴分布的統(tǒng)計分析記所有云滴組成的隨機變量為X ，由云發(fā)生器的算法，En的概率密度為: X的

5、概率密度為: 云滴在論域空間的概率分布故 X 的概率密度函數(shù)為: 此函數(shù)沒有解析形式。云滴的統(tǒng)計特性云滴X 的期望 E(X)=Ex ；方差D(X) = = = = 參數(shù)He是偏離正態(tài)分布程度的度量，可以用來反映在論域空間影響概念諸因素的不均勻、不獨立現(xiàn)象。 若He=0，云滴為正態(tài)分布。 He=0 He=0.2 He=0.5 He=1 高斯云模型產生的云滴，是一個期望為Ex，方差為 的隨機變量，我們稱之為泛正態(tài)分布。性質一3. 確定度分布的統(tǒng)計分析根據(jù)高斯云算法，所有云滴的確定度構成一隨機變量Y，每一個確定度可以看做是由隨機變量 產生的一個樣本。當 時，故 云滴確定度的Yi 概率密度函數(shù)為：而當

6、 時， ；當 時， 。因此，云模型確定度的概率分布與三個數(shù)字特征無關云滴確定度的Y概率密度函數(shù)曲線yf(y) 對一個定性概念，所有定量實現(xiàn)(即云滴)的確定度為隨機變量Y，其概率密度是一個確定函數(shù)，與云模型反映的概念的三個數(shù)字特征無關。性質二 用云模型表示的定性概念轉換成大量的定量云滴，云滴雖然有不同的確定度，但是整體的確定度具有相同的統(tǒng)計規(guī)律。即用不同語言值表示的不同定性概念之間存在共同的認知機理。確定度：認知機理的表示不確定性中蘊含著確定性認知上的共同規(guī)律性。4. 高斯云模型的期望曲線云滴及其確定度的聯(lián)合概率分布(X,Y ) 所有云滴X及其確定度Y 形成的二維隨機變量(X,Y )的概率分布非

7、常復雜，沒有解析形式。但是具有明顯的幾何特征，可以通過期望曲線方法來研究它。 期望曲線 研究數(shù)據(jù)集分布的幾何規(guī)律性，尋找數(shù)據(jù)集的“中間”結構“脊梁骨”，用一條光滑曲線代替數(shù)據(jù)集，幾何上非常直觀。 研究數(shù)據(jù)集分布的幾何規(guī)律性，尋找數(shù)據(jù)集的“中間”結構“脊梁骨”，用一條光滑曲線代替數(shù)據(jù)集，幾何上非常直觀。常用的尋求期望曲線的方法有主曲線和回歸曲線等。 回歸曲線 主曲線一維正態(tài)云模型的期望曲線該期望曲線函數(shù)為：定性概念的定量實現(xiàn)云滴X，與其確定度Y的聯(lián)合分布( X，Y )的期望曲線（或期望曲面、期望超曲面）呈現(xiàn)為高斯形態(tài)。性質三此結論可以推廣到高維論域空間里的概念，其定量實現(xiàn)云滴X與確定度Y的聯(lián)合分

8、布（X, Y）的期望曲面（超曲面）呈現(xiàn)為高斯形態(tài)?；?答 高斯云模型是二次隨機嗎？ 高斯云模型是二次模糊嗎？ 高斯云模型是隨機+模糊嗎？ 如何理解高斯云模型的意義？ 兩類主要不確定性隨機性概率論模糊性模糊集合論云模型的貢獻是通過概率測度空間研究模糊性對隨機性的關聯(lián)性！“17歲是青年人嗎？”在很多情況下，隨機性和模糊性相關。統(tǒng)計得到“是”的概率越大，則“17歲”隸屬于“青年”的程度也越大。背景：利用統(tǒng)計方法確定隸屬度和隸屬函數(shù)的合理性對某一定性概念的定量表示，樣本在靠近期望值出現(xiàn)的概率較大，則該樣本對概念的隸屬度也較大；在遠離期望值處出現(xiàn)的概率較小，該樣本對概念的隸屬度也較小，這兩部分共識較大。

9、中間值的不確定性最大，共識較小。云模型的數(shù)理統(tǒng)計基礎以“青年”為例說明Ex3En云滴中間厚度較大，不確定性較大，共識較小靠近及遠離期望點厚度較小，不確定性較小，共識較大用云模型構造的隨機變量來計算確定度，恰好可說明上述現(xiàn)象。對某一定性概念，云滴在靠近期望值出現(xiàn)的概率較大，且該云滴能代表此定性概念的確定度也較大；云滴在遠離期望值處出現(xiàn)的概率較小，該云滴能代表該概念的確定度也較小。云模型的本質云模型利用三個數(shù)字特征設計特定的算法，構造出一個服從泛正態(tài)分布的隨機變量云滴。云模型本質是定性概念及其定量表示的轉換模型。云模型對模糊性和隨機性的關聯(lián)性，建立了簡單但是較為合理的映射關系。 云模型的本質5.

10、高斯云模型的重尾性質問題的引入 從高斯分布到冪律分布 從高斯云模型到重尾分布正態(tài)分布冪律分布 定義1 稱隨機變量X是重尾分布，如果它不存在指數(shù)階矩，即對任意0，有 其中F(x)是X的分布函數(shù)。峰度是統(tǒng)計學中描述分布狀態(tài)的一個重要特征值，用以判斷分布曲線相比于正態(tài)分布的尖平程度。分布曲線的形狀比正態(tài)分布更高更瘦的稱為高峰態(tài)，否則稱為低峰態(tài)。峰度（kurtosis）：四階中心矩定義2 隨機變量X稱為是重尾的，如果 其中，分別為X的期望和標準差。四階中心矩定義重尾注：該定義只適用于四階矩存在的情況。正態(tài)分布的峰度為3，因此高峰必重尾。性質四：當He=0時，正態(tài)云模型為高斯分布；當He0時，正態(tài)云模型

11、為重尾分布。He是正態(tài)分布與重尾分布之間的橋梁。證明：利用定義2，求解高斯云的四階中心矩。上述積分為標準正態(tài)分布的四階矩峰度。標準正態(tài)分布的峰度為3，故上述積分為3。55知識點（4個）正態(tài)云模型中云滴的分布規(guī)律正態(tài)云模型中云滴確定度的分布規(guī)律云滴和云滴確定度的聯(lián)合分布規(guī)律正態(tài)云模型的重尾性質交流內容1 無論從產生條件、數(shù)學形式還是物理意義而言，冪律分布都和正態(tài)分布截然不同。那么，正態(tài)分布、冪律分布、重尾分布、高斯云模型是何關系？有無內在聯(lián)系？有無轉換橋梁？2 云模型重尾性質可能的應用領域？作業(yè)閱讀冪律分布相關文獻。結合云模型的數(shù)學性質，討論正態(tài)分布、高斯云模型、冪律分布三者在內在形成機制、外在表現(xiàn)領域的異同。參考文獻李德毅,劉常昱.論正態(tài)云模型的普適性J.中國工程科