第1章優(yōu)化設計的基本概念.ppt

1、優(yōu)化設計自我介紹姓名：王科社辦公地點：1教102教授工作室電話：E-mail：交待幾個問題:作業(yè)紀律考試成績交作業(yè)時間: 根據(jù)課程進度缺交1/3作業(yè),本課程無成績要求: 關(guān)手機,不要在下面開小會 有問題舉手缺課1/3,本課程無成績平時表現(xiàn)（作業(yè)）: 20%上機報告: 30%期末考試(閉卷）: 50%計劃學時數(shù)：24學時使用教材1.王科社編著. 機械優(yōu)化設計. 北京：國防工業(yè)出版社，20072.王科社編. 機械優(yōu)化設計實訓指導書3.王科社編. Optimization of Mechanical Design Homework 4.王科社編.優(yōu)化設計復習題 學習參考書1 孫靖民. 機械優(yōu)化設計.

2、 北京：機械工業(yè)出版社，20022 陳立周，機械優(yōu)化設計方法，北京：冶金工業(yè)出版社，19973 劉惟信. 機械最優(yōu)化設計. 北京：清華大學出版社，1994課程介紹第一章 優(yōu)化設計的基本概念 1-1 緒論1-2 優(yōu)化設計問題的示例1-3 優(yōu)化設計的數(shù)學模型 1-4 優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解法 優(yōu)化是萬物演化的自然選擇和必然趨勢。優(yōu)化作為一種觀念和意向，人類從很早開始就一直在自覺與不自覺地追求與探索。而優(yōu)化作為一門學科與技術(shù)，則是一切科學與技術(shù)所追求的永恒主題，旨在從處理各種事物的一切可能的方案中，尋求最優(yōu)的方案。優(yōu)化的原理與方法，在科學的、工程的和社會的實際問題中的應用，便是優(yōu)化設計。 優(yōu)化設

3、計是在現(xiàn)代計算機廣泛應用的基礎上發(fā)展起來的一項新技術(shù)。是根據(jù)最優(yōu)化原理和方法，以人機配合方式或“自動探索”方式，在計算機上進行的半自動或自動設計，以選出在現(xiàn)有工程條件下的最佳設計方案的一種現(xiàn)代設計方法。 優(yōu)化設計反映出人們對于設計規(guī)律這一客觀世界認識的深化。1-1 緒論1.優(yōu)化、優(yōu)化設計和機械優(yōu)化設計的含義例如，古代人類在生產(chǎn)和生活活動中經(jīng)過無數(shù)次摸索認識到，在使用同樣數(shù)量和質(zhì)量材料的條件下，圓截面的容器比其他任何截面的容器能夠盛放的谷物都要多，而且容器的強度也最大。 （1）來源：優(yōu)化一語來自英文Optimization，其本意是尋優(yōu)的過程； （2）優(yōu)化過程：是尋找約束空間下給定函數(shù)取極大值（

4、以max表示)或極小(以min表示)的過程。優(yōu)化方法也稱數(shù)學規(guī)劃，是用科學方法和手段進行決策及確定最優(yōu)解的數(shù)學； （3）優(yōu)化設計：根據(jù)給定的設計要求和現(xiàn)有的技術(shù)條件，應用專業(yè)理論和優(yōu)化方法，在電子計算機上從滿足給定的設計要求的許多可行方案中，按照給定的目標自動地選出最優(yōu)的設計方案。 機械優(yōu)化設計 就是把機械設計與優(yōu)化設計理論及方法相結(jié)合，借助電子計算機，自動尋找實現(xiàn)預期目標的最優(yōu)設計方案和最佳設計參數(shù)。 優(yōu)化設計流程 常規(guī)設計流程2.優(yōu)化設計的發(fā)展概況 歷史上最早記載下來的最優(yōu)化問題可追溯到古希臘的歐幾里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周長相同的一切矩形中，以正方形的面積為最

5、大。十七、十八世紀微積分的建立給出了求函數(shù)極值的一些準則，對最優(yōu)化的研究提供了某些理論基礎。然而，在以后的兩個世紀中，最優(yōu)化技術(shù)的進展緩慢，主要考慮了有約束條件的最優(yōu)化問題，發(fā)展了變分法。 直到本世紀40年代初，由于軍事上的需要產(chǎn)生了運籌學，并使優(yōu)化技術(shù)首先應用于解決戰(zhàn)爭中的實際問題，例如轟炸機最佳俯沖軌跡的設計等。 50年代末數(shù)學規(guī)劃方法被首次用于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設計中求優(yōu)方法的理論基礎。數(shù)學規(guī)劃方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間發(fā)展起來的一個新的數(shù)學分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要內(nèi)容。 近十幾年來，最優(yōu)化設計方法已陸續(xù)用到建筑結(jié)構(gòu)、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機床、汽車、自動控制系

6、統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機、電器等工程設計領(lǐng)域，并取得了顯著效果。其中在機械設計方面的應用雖尚處于早期階段，但也已經(jīng)取得了豐碩的成果。一般說來，對于工程設計問題，所涉及的因素愈多，問題愈復雜，最優(yōu)化設計結(jié)果所取得的效益就愈大。 最優(yōu)化設計是在數(shù)學規(guī)劃方法的基礎上發(fā)展起來的，是6O年代初電子計算機引入結(jié)構(gòu)設計領(lǐng)域后逐步形成的一種有效的設計方法。利用這種方法，不僅使設計周期大大縮短，計算精度顯著提高，而且可以解決傳統(tǒng)設計方法所不能解決的比較復雜的最優(yōu)化設計問題。大型電子計算機的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，成為應用數(shù)學中的一個重要分支，并在許多科學技術(shù)領(lǐng)域中得到應用。第一階段人類智能優(yōu)化：與人類史

7、同步，直接憑借人類的直覺或邏輯思維，如黃金分割法、窮舉法和瞎子爬山法等。隨著人類對自然界認識的不斷深入，尋找最優(yōu)逐漸從下意識的、缺乏系統(tǒng)性的行為發(fā)展到目的明確的有意識活動，并在數(shù)學工具日漸完善的基礎上，對各種尋找最優(yōu)的活動進行數(shù)學描述和分析，指導尋優(yōu)活動更有效地進行，從而形成了最優(yōu)化理論與方法這一應用數(shù)學理論分支 第二階段數(shù)學規(guī)劃方法優(yōu)化：從三百多年前牛頓發(fā)明微積分算起，電子計算機的出現(xiàn)推動數(shù)學規(guī)劃方法在近五十年來得到迅速發(fā)展。 第三階段工程優(yōu)化：近二十余年來，計算機技術(shù)的發(fā)展給解決復雜工程優(yōu)化問題提供了新的可能，非數(shù)學領(lǐng)域?qū)＜议_發(fā)了一些工程優(yōu)化方法，能解決不少傳統(tǒng)數(shù)學規(guī)劃方法不能勝任的工程優(yōu)

8、化問題。在處理多目標工程優(yōu)化問題中，基于經(jīng)驗和直覺的方法得到了更多的應用。優(yōu)化過程和方法學研究，尤其是建模策略研究引起重視，開辟了提高工程優(yōu)化效率的新的途徑。 第四階段現(xiàn)代優(yōu)化方法：如遺傳算法、 模擬退火算法、 蟻群算法、 神經(jīng)網(wǎng)絡算法等，并采用專家系統(tǒng)技術(shù)實現(xiàn)尋優(yōu)策略的自動選擇和優(yōu)化過程的自動控制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)展。機械優(yōu)化設計應用實例 美國波音飛機公司對大型機翼用138個設計變量進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，使重量減少了三分之一；大型運輸艦用10個變量進行優(yōu)化設計，使成本降低約10%。 實踐證明，最優(yōu)化設計是保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能，減輕自重或體積，降低產(chǎn)品成本的一種有效設計方法。同時也可使設計者從大量

9、繁瑣和重復的計算工作中解脫出來，使之有更多的精力從事創(chuàng)造性的設計，并大大提高設計效率。例如，工廠在安排生產(chǎn)計劃時，首先要考慮在現(xiàn)有原材料、設備、人力等資源條件下，如何安排生產(chǎn)，使產(chǎn)品的產(chǎn)值最高，或產(chǎn)生的利潤最大；又如，在多級火箭發(fā)射過程中，如何控制燃料的燃燒速率，從而用火箭所載的有限燃料使火箭達到最大升空速度；再如，在城市交通管理中，如何控制和引導車輛的流向，盡量減少各個交叉路口的阻塞和等待時間、提高各條道路的車輛通行速度，在現(xiàn)有道路條件下取得最大的道路通行能力。 基礎：（1）最優(yōu)化數(shù)學理論 （2）現(xiàn)代計算技術(shù) 內(nèi)容：（1）將工程實際問題數(shù)學化； （建立優(yōu)化設計數(shù)學模型） （2）用最優(yōu)化計算方

10、法在計算機上求解 數(shù)學模型。優(yōu)化設計是一種現(xiàn)代設計方法，是很好的工具。3. 本課程的任務該課程的主要目的和任務： 了解和基本掌握機械優(yōu)化設計的基本知識； 擴大視野，并初步具有應用機械優(yōu)化設計的基本理論和基本方法解決簡單工程實際問題的素質(zhì)。1-2 優(yōu)化設計問題的示例 優(yōu)化設計就是借助最優(yōu)化數(shù)值計算方法與計算機技術(shù)，求取工程問題的最優(yōu)設計方案。 優(yōu)化設計包括： （1）必須將實際問題加以數(shù)學描述，形成數(shù)學模型； （2）選用適當?shù)囊环N最優(yōu)化數(shù)值方法和計算程序運算求解。 已知：制造一體積為100m3，長度不小于5m，不帶上蓋的箱盒，試確定箱盒的長x1，寬x2，高x3，使箱盒用料最省。 分析：（1）箱盒的

11、表面積的表達式；（2）設計參數(shù)確定：長x1，寬x2，高x3 ；（3）設計約束條件： （a）體積要求； （b）長度要求；x1x2x3箱盒的優(yōu)化設計數(shù)學模型設計參數(shù)：設計目標：約束條件： 某工廠生產(chǎn)A 和B 兩種產(chǎn)品，A 產(chǎn)品單位價格為PA 萬元， B 產(chǎn)品單位價格為PB 萬元。每生產(chǎn)一個單位A 產(chǎn)品需消耗煤aC 噸，電aE 度，人工aL 個人日；每生產(chǎn)一個單位B 產(chǎn)品需消耗煤bC 噸，電bE 度，人工bL 個人日?，F(xiàn)有可利用生產(chǎn)資源煤C 噸，電E 度，勞動力L 個人日，欲找出其最優(yōu)分配方案，使產(chǎn)值最大。 分析：（1）產(chǎn)值的表達式；（2）設計參數(shù)確定： A 產(chǎn)品xA， B 產(chǎn)品xB ；（3）設計約

12、束條件： （a）生產(chǎn)資源煤約束； （b）生產(chǎn)資源電約束； （b）生產(chǎn)資源勞動力約束；最大產(chǎn)值生產(chǎn)資源分配問題 數(shù)學模型設計參數(shù)：設計目標：約束條件： 已知：傳動比i, 轉(zhuǎn)速n, 傳動功率P，大小齒輪的材料，設計該齒輪副，使其重量最輕。 分析：（1）圓柱齒輪的體積(v)與重量(w)的表達；（2）設計參數(shù)確定：模數(shù)（m），齒寬（b），齒數(shù)（z1）；（3）設計約束條件： （a）大齒輪滿足彎曲強度要求； （b）小齒輪滿足彎曲強度要求； （c）齒輪副滿足接觸疲勞強度要求； （d） 齒寬系數(shù)要求； （e） 最小齒數(shù)要求。直齒圓柱齒輪副的優(yōu)化設計數(shù)學模型設計參數(shù)：設計目標：約束條件：1-3 優(yōu)化設計的數(shù)學模

13、型 1.設計變量 一個設計方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表示，這些基本參數(shù)可以是構(gòu)件尺寸等幾何量，也可以是質(zhì)量等物理量，還可以是應力、變形等表示工作性能的導出量。 在設計過程中進行選擇并最終必須確定的各項獨立的基本參數(shù)，稱作設計變量，又叫做優(yōu)化參數(shù)。 優(yōu)化設計的數(shù)學模型是描述實際優(yōu)化問題的設計內(nèi)容、變量關(guān)系、有關(guān)設計條件和意圖的數(shù)學表達式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進行優(yōu)化設計的基礎。 設計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示。設計變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設計的維數(shù)，如n個設計變量，則稱為n維設計問題。 由n個設計變量 為坐標所組成的實空間稱作設計空間。一個“設計”，可用設計

14、空間中的一點表示。 設計變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設計的維數(shù)，如n個設計變量，則稱為n維設計問題。 按照產(chǎn)品設計變量的取值特點，設計變量可分為連續(xù)變量（例如軸徑、輪廓尺寸等）和離散變量（例如各種標準規(guī)格等）。 圖1-1 設計變量所組成的設計空間（a）二維設計問題 （b）三維設計問題 只有兩個設計變量的二維設計問題可用圖1-1（a）所示的平面直角坐標表示；有三個設計變量的三維設計問題可用圖1-1（b）所表示的空間直角坐標表示。 設計空間的維數(shù)表征設計的自由度，設計變量愈多，則設計的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，設計愈靈活，但難度亦愈大、求解亦愈復雜。 小型設計問題：一般含有210個設計變量； 中型設計

15、問題：1050個設計變量； 大型設計問題：50個以上的設計變量。 目前已能解決200個設計變量的大型最優(yōu)化設計問題。如何選定設計變量？ 任何一項產(chǎn)品，是眾多設計變量標志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。變量越多，可以淋漓盡致地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過大。所以設計變量時應注意以下幾點： （1）抓主要，舍次要。 對產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的參數(shù)可取為設計變量，影響小的可先根據(jù)經(jīng)驗取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。（2）根據(jù)要解決設計問題的特殊性來選擇設計變量。 例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的設計變量有4個，即鋼絲直徑d，彈簧中徑D，工作圈數(shù)n和自由高度H。在設計中，將材料的許用剪切應力 和剪切模

16、量等作為設計常量。在給定徑向空間內(nèi)設計彈簧，則可把彈簧中徑D作為設計常量。 2.約束條件 設計空間是所有設計方案的集合，但這些設計方案有些是工程上所不能接受的。如一個設計滿足所有對它提出的要求，就稱為可行設計。 一個可行設計必須滿足某些設計限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。 約束又可按其數(shù)學表達形式分成等式約束和不等式約束兩種類型：(1)等式約束(2)不等式約束顯式約束 隱式約束 約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設計變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式 ,如例中的復雜結(jié)構(gòu)的性能約束函數(shù)（變形、應力、頻率等），需要通過有限元等方法計算求得。根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分

17、成：性能約束針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強度、剛度或穩(wěn)定性等要求；邊界約束只是對設計變量的取值范圍加以限制的約束稱作邊界約束。例如，允許機床主軸選擇的尺寸范圍，對軸段長度的限定范圍就屬于邊界約束。圖1-2 設計空間中的約束面（或約束線） (a)二變量設計空間中的約束線 (b) 三變量設計空間中的約束面 如圖1-4上畫出了滿足兩項約束條件g1（X）=x12x2216 O和g2（X）2X20的二維設計問題的可行域D，它位于X2=2的上面和圓 x12x22=16的圓弧ABC下面并包括線段AC和圓弧ABC在內(nèi)。圖1-3 約束條件規(guī)定的可行域D 可行域 :

18、在設計空間中，滿足所有約束條件的所構(gòu)成的空間 。 3.目標函數(shù) 在優(yōu)化過程中，通過設計變量的不斷向F(X)值改善的方向自動調(diào)整，最后求得F(X)值最好或最滿意的X值。在構(gòu)造目標函數(shù)時，應注意目標函數(shù)必須包含全部設計變量，所有的設計變量必須包含在約束函數(shù)中。在機械設計中，可作為參考目標函數(shù)的有： 體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)運動精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、動負荷最小等等。 為了對設計進行定量評價，必須構(gòu)造包含設計變量的評價函數(shù)，它是優(yōu)化的目標，稱為目標函數(shù)，以F(X)表示。 在最優(yōu)化設計問題中，可以只有一個目標函數(shù)，稱為單目標函數(shù)。當在同一設計中要提出多個目

19、標函數(shù)時，這種問題稱為多目標函數(shù)的最優(yōu)化問題。在一般的機械最優(yōu)化設計中，多目標函數(shù)的情況較多。目標函數(shù)愈多，設計的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復雜。 在實際工程設計問題中，常常會遇到在多目標函數(shù)的某些目標之間存在矛盾的情況，這就要求設計者正確處理各目標函數(shù)之間的關(guān)系。 目標函數(shù)等值（線）面 目標函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1維空間中描述出來。為了在n維設計空間中反映目標函數(shù)的變化情況，常采用目標函數(shù)等值面的方法。 目標函數(shù)的等值面（線）數(shù)學表達式為： c為一系列常數(shù)，代表一族n維超曲面。如在二維設計空間中，F(xiàn)(x1,x2)=c 代表x-x設計平面上的一族曲線。 對于具有相等目

20、標函數(shù)值的設計點構(gòu)成的平面曲線或曲面稱為等值線或等值面。圖1-4 等值線 圖1-5表示目標函數(shù)f（X）與兩個設計變量x1，x2階所構(gòu)成的關(guān)系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標函數(shù)值的設計點所構(gòu)成的平面曲線。當給目標函數(shù)以不同值時，可得到一系列的等值線，它們構(gòu)成目標函數(shù)的等值線族。在極值處目標函數(shù)的等值線聚成一點，并位于等值線族的中心。當目標函數(shù)值的變化范圍一定時，等值線愈稀疏說明目標函數(shù)值的變化愈平緩。利用等值線的概念可用幾何圖象形象地表現(xiàn)出目標函數(shù)的變化規(guī)律。 從等值線上，可以清除地看到函數(shù)值的變化情況。其中F=40的等值線就是使F(x1,x2)=40的各點x1,x2T所組成的連線。 如

21、圖函數(shù) 的等值線圖。圖1-5 等值線4. 優(yōu)化設計問題一般數(shù)學形式：滿足約束條件 ：求設計變量向量使目標函數(shù) 對于復雜的問題，要建立能反映客觀工程實際的、完善的數(shù)學模型往往會遇到很多困難，有時甚至比求解更為復雜。這時要抓住關(guān)鍵因素，適當忽略不重要的成分，使問題合理簡化，以易于列出數(shù)學模型，這樣不僅可節(jié)省時間，有時也會改善優(yōu)化結(jié)果。 最優(yōu)化設計的目標函數(shù)通常為求目標函數(shù)的最小值。若目標函數(shù)的最優(yōu)點為可行域中的最大值時，則可看成是求-F（X）的最小值，因為min-F（X）與maxF（X）是等價的。當然，也可看成是求1F（X）的極小值。5. 建模實例1）根據(jù)設計要求，應用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗等

22、，對優(yōu)化對象進行分析。必要時，需要對傳統(tǒng)設計中的公式進行改進，并盡可以反映該專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)代技術(shù)進步的成果。2）對結(jié)構(gòu)諸參數(shù)進行分析，以確定設計的原始參數(shù)、設計常數(shù)和設計變量。3）根據(jù)設計要求，確定并構(gòu)造目標函數(shù)和相應的約束條件，有時要構(gòu)造多目標函數(shù)。4）必要時對數(shù)學模型進行規(guī)范化，以消除諸組成項間由于量綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。建立優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型一般步驟：人字架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計 受力分析圖圓桿截面圖桁桿示意圖d由兩根空心圓桿組成對稱的兩桿桁架，其頂點承受負載為2p，兩支座之間的水平距離為2L，圓桿的壁厚為B，桿的比重為，彈性模量為E，屈服強度為 。求在桁架不被破壞的情況下使桁架重

23、量最輕的桁架高度h及圓桿平均直徑d。解：桁桿的截面積為 ： 由此得穩(wěn)定約束：圓桿中應力小于等于壓桿穩(wěn)定的臨界應力。由材料力學知：壓桿穩(wěn)定的臨界應力為此應力要求小于材料的屈服極限，即： 于是桿截面的應力為： 負載2p在每個桿上的分力為： 桁桿的總重量為： 另外還要考慮到設計變量d和h有界。 從而得到兩桿桁架最優(yōu)設計問題的數(shù)學模型：配料每磅配料中的營養(yǎng)含量鈣蛋白質(zhì)纖維每磅成本（元）石灰石谷物大豆粉0.380 0.00 0.000.001 0.09 0.020.002 0.50 0.08 0.0164 0.0463 0.1250 以最低成本確定滿足動物所需營養(yǎng)的最優(yōu)混合飼料。設每天需要混合飼料的批量

24、為100磅，這份飼料必須含：至少0.8%而不超過1.2%的鈣;至少22%的蛋白質(zhì);至多5%的粗纖維。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。這些配料的主要營養(yǎng)成分為：混合飼料配合解:根據(jù)前面介紹的建模要素得出此問題的數(shù)學模型如下:設 是生產(chǎn)100磅混合飼料所須的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。6. 優(yōu)化設計的分類對于最優(yōu)化問題一般可作如下分類：還有其它的一些劃分方法： 如按設計變量的性質(zhì)分：連續(xù)變量、離散變量、整數(shù)變量規(guī)劃問題； 二次規(guī)劃、幾何規(guī)劃、隨機規(guī)劃等。例1：如下二維非線性規(guī)劃問題一、幾何解釋1-4 優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解法 通過二維優(yōu)化問題的幾何求解來直觀地描述優(yōu)化設計的基本思想。

25、 目標函數(shù)等值線是以點（2，0）為圓心的一組同心圓。 如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：，約束方程所圍成的可行域是D。圖1-9由圖易見約束直線與等值線的切點是最優(yōu)點，利用解析幾何的方法得該切點為 ， 對應的最優(yōu)值為 (見圖）用圖解法求解 例2：解：先畫出目標函數(shù)等值線，再畫出約束曲線，本處約束曲線是一條直線，這條直線就是容許集。而最優(yōu)點就是容許集上使等值線具有最小值的點。解：先畫出等式約束曲線 的圖形。 這是一條拋物線，如圖例3：再畫出不等式約束區(qū)域，如圖（選定哪側(cè)區(qū)域）最后畫出目標函數(shù)等值線，特別注意可行集邊界點，ABCD 以及等值線與可行集的切點，易見可行域為曲線段ABCD。當動點沿拋物

26、曲線段ABCD由A點出發(fā)時，AB段目標函數(shù)值下降。過點B后，在BC段目標函數(shù)值上升。過C點后，在CD段目標函數(shù)值再次下降。D點是使目標函數(shù)值最小的可行點，其坐標可通過解方程組：得出：ABCD 由以上三個例子可見，對二維最優(yōu)化問題。我們總可以用圖解法求解，而對三維或高維問題，已不便在平面上作圖，此法失效。 在三維和三維以上的空間中，使目標函數(shù)取同一常數(shù)值的是 X| f(X)=C, C是常數(shù)稱為目標函數(shù)的等值面。等值面具有以下性質(zhì)：（1）不同值的等值面之間不相交，因為目標函數(shù)是單值函數(shù)；（2）等值面稠的地方，目標函數(shù)值變化得較快，而稀疏的地方變化得比較慢；（3）一般地，在極值點附近，等值面（線）近似地呈現(xiàn)為同心橢球面族（橢圓族）。求解優(yōu)化問題的基本解法有： 二、基本解法解析法數(shù)值解法解析法：即利用數(shù)學分析(微分、變分等）的方法，根據(jù)函數(shù)（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析解的求解方法 。在目標函數(shù)比較簡單時，求解還可以。 局限性：工程優(yōu)化問題的目標函數(shù)和約束條件往往比較復雜，有時甚至還無法用數(shù)學方程描述，在這種情況下應用數(shù)學分析方法就會帶來麻煩。 最優(yōu)化方法是與近代電子計算機的發(fā)展緊密相聯(lián)系的，數(shù)值計算法比解析法更能適應電子計算機的工作特點，因為數(shù)值計算的迭代方法具有以下特點： 1）是數(shù)值計算而不是數(shù)學分析方法； 2）具有簡單的邏輯結(jié)構(gòu)并能進行反復的同樣的算術(shù)計算