2022屆福建省師范大學高三第二次模擬考試數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認真閱讀答題紙上的注意事項，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1若復數(shù)（）在復平面內(nèi)的對應點在直線上，則等于( )ABCD2為比較甲、乙兩名高中學生的數(shù)學素養(yǎng)，對課程標準中規(guī)定的數(shù)學六大素養(yǎng)進行指標測驗（指標值滿分為100分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標雷達圖，則下面敘述不正確

2、的是（ ）A甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙B乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學建模素養(yǎng)C甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學運算最強3要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A向左平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個單位長度4將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則“”是“是偶函數(shù)”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件5已知數(shù)列滿足,且,則的值是( )ABC4D6某人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓，其軌道的離心率為，設地球半徑為，該衛(wèi)星近地點離地面的距離為，則該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為（ ）ABCD7已知非零

3、向量滿足，若夾角的余弦值為，且，則實數(shù)的值為（ ）ABC或D8要得到函數(shù)的導函數(shù)的圖像，只需將的圖像（ ）A向右平移個單位長度，再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍B向右平移個單位長度，再把各點的縱坐標縮短到原來的倍C向左平移個單位長度，再把各點的縱坐標縮短到原來的倍D向左平移個單位長度，再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍9相傳黃帝時代，在制定樂律時，用“三分損益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音調(diào)如圖的程序是與“三分損益”結(jié)合的計算過程，若輸入的的值為1，輸出的的值為（ ）ABCD10已知集合，則( )ABCD11已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為，則（ ）A3BCD12已知三棱柱的所有棱長均相等，

4、側(cè)棱平面，過作平面與平行，設平面與平面的交線為，記直線與直線所成銳角分別為，則這三個角的大小關(guān)系為( )ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知半徑為4的球面上有兩點A，B，AB=42，球心為O，若球面上的動點C滿足二面角C-AB-O的大小為60，則四面體OABC的外接球的半徑為_.14已知兩點，若直線上存在點滿足，則實數(shù)滿足的取值范圍是_15記為數(shù)列的前項和.若，則_.16已知一個正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為，側(cè)面積為，則該棱錐的體積為_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知數(shù)列滿足：對任意，都有.（1）若，求的值；（2）若

5、是等比數(shù)列，求的通項公式；（3）設，求證：若成等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列.18（12分）某企業(yè)為了了解該企業(yè)工人組裝某產(chǎn)品所用時間，對每個工人組裝一個該產(chǎn)品的用時作了記錄，得到大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)從這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨機抽取了個數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘）若用時不超過（分鐘），則稱這個工人為優(yōu)秀員工（1）求這個樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)；（2）以這個樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀員工的頻率作為概率，任意調(diào)查名工人，求被調(diào)查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量分布列和數(shù)學期望19（12分）已知中，是上一點（1）若，求的長；（2）若，求的值20（12分）已知函數(shù).（）若是第二象限角，且，求的值；（）求函數(shù)的定義域和值域.2

6、1（12分）已知函數(shù)（1）求單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若存在實數(shù)，使得，求證：22（10分）在三棱柱中，四邊形是菱形，點M、N分別是、的中點，且.（1）求證：平面平面；（2）求四棱錐的體積.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】由題意得，可求得，再根據(jù)共軛復數(shù)的定義可得選項.【詳解】由題意得，解得，所以，所以，故選：C.【點睛】本題考查復數(shù)的幾何表示和共軛復數(shù)的定義，屬于基礎題.2D【解析】根據(jù)所給的雷達圖逐個選項分析即可.【詳解】對于A，甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于

7、乙，故A正確；對于B，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，數(shù)學建模素養(yǎng)為60分，故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學建模素養(yǎng)，故B正確；對于C，甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為，乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為，故C正確；對于D，甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學運算為80分，不是最強的，故D錯誤；故選：D【點睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計算，考查了學生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎題.3D【解析】先將化為，根據(jù)函數(shù)圖像的平移原則，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以只需將的圖象向右平移個單位.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移，熟記函數(shù)平移原則即可，屬于基礎題型.4A【解析】求出函數(shù)的解析式，由函數(shù)為偶函數(shù)得出的表達式，然后利用充分

8、條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度，得到的圖象對應函數(shù)的解析式為，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，解得，當時，.因此，“”是“是偶函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，同時也考查了利用圖象變換求三角函數(shù)解析式以及利用三角函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查運算求解能力與推理能力，屬于中等題.5B【解析】 由，可得，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列， 所以，則， 則，故選B.點睛：本題考查了等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應用，試題有一定的技巧，屬于中檔試題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用，尤其需要注意的

9、是，等比數(shù)列的性質(zhì)和在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應該要分類討論，有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程.6A【解析】由題意畫出圖形，結(jié)合橢圓的定義，結(jié)合橢圓的離心率,求出橢圓的長半軸a,半焦距c,即可確定該衛(wèi)星遠地點離地面的距離.【詳解】橢圓的離心率：，（ c為半焦距; a為長半軸），設衛(wèi)星近地點，遠地點離地面距離分別為r，n，如圖：則所以,故選：A【點睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求法，注意半焦距與長半軸的求法,是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.7D【解析】根據(jù)向量垂直則數(shù)量積為零，結(jié)合以及夾角的余弦值，即可求得參數(shù)值.【詳解】依題意，得，即.將代入可得，解得（舍去）.故選：D.【點睛】本題

10、考查向量數(shù)量積的應用，涉及由向量垂直求參數(shù)值，屬基礎題.8D【解析】先求得，再根據(jù)三角函數(shù)圖像變換的知識，選出正確選項.【詳解】依題意，所以由向左平移個單位長度，再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍得到的圖像.故選：D【點睛】本小題主要考查復合函數(shù)導數(shù)的計算，考查誘導公式，考查三角函數(shù)圖像變換，屬于基礎題.9B【解析】根據(jù)循環(huán)語句，輸入，執(zhí)行循環(huán)語句即可計算出結(jié)果.【詳解】輸入，由題意執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖，可得：第次循環(huán)：，不滿足判斷條件；第次循環(huán)：，不滿足判斷條件；第次循環(huán)：，滿足判斷條件；輸出結(jié)果.故選：【點睛】本題考查了循環(huán)語句的程序框圖，求輸出的結(jié)果，解答此類題目時結(jié)合循環(huán)的條件進行計算，

11、需要注意跳出循環(huán)的判定語句，本題較為基礎.10D【解析】先求出集合B，再與集合A求交集即可.【詳解】由已知，故，所以.故選：D.【點睛】本題考查集合的交集運算，考查學生的基本運算能力，是一道容易題.11D【解析】由雙曲線方程可得漸近線方程，根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率，由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程可知：，漸近線方程為：，一條漸近線的傾斜角為，解得：.故選：.【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是明確直線傾斜角與斜率的關(guān)系；易錯點是忽略方程表示雙曲線對于的范圍的要求.12B【解析】利用圖形作出空間中兩直線所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖，設為的中

12、點，為的中點，由圖可知過且與平行的平面為平面，所以直線即為直線，由題易知，的補角，分別為，設三棱柱的棱長為2，在中，；在中，；在中，.故選：B【點睛】本題主要考查了空間中兩直線所成角的計算，考查了學生的作圖，用圖能力，體現(xiàn)了學生直觀想象的核心素養(yǎng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13463【解析】設ABC所在截面圓的圓心為O1，AB中點為D，連接OD,O1D，易知ODO1即為二面角C-AB-O的平面角，可求出OD,O1D及OO1，然后可判斷出四面體OABC外接球的球心E在直線OO1上，在RtO1BE中，O1B2+O1E2=BE2，結(jié)合O1B=OB2-OO12,BE=R,O1E=

13、|R-6|，可求出四面體OABC的外接球的半徑R.【詳解】設ABC所在截面圓的圓心為O1，AB中點為D，連接OD,O1D，OAOB，所以，ODAB，同理O1DAB，所以，ODO1即為二面角C-AB-O的平面角，ODO1=60，因為OA=OB=4,AB=42，所以OAB是等腰直角三角形，OD=22，在RtODO1中，由cos60O1DOD，得O1D=2，由勾股定理，得：OO1=6，因為O1到A、B、C三的距離相等，所以，四面體OABC外接球的球心E在直線OO1上，設四面體OABC外接球半徑為R，在RtO1BE中，O1B=OB2-OO12=10,BE=R,O1E=|R-6|，由勾股定理可得：O1B

14、2+O1E2=BE2，即10+(R-6)2=R2，解得R=463【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，考查了學生的空間想象能力、邏輯推理能力及計算求解能力，屬于中檔題14【解析】問題轉(zhuǎn)化為求直線與圓有公共點時，的取值范圍，利用數(shù)形結(jié)合思想能求出結(jié)果【詳解】解：直線，點，直線上存在點滿足，的軌跡方程是如圖，直線與圓有公共點，圓心到直線的距離：，解得實數(shù)的取值范圍為故答案為：【點睛】本題主要考查直線方程、圓、點到直線的距離公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，屬于中檔題151【解析】由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列是以16為首項，以為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)

15、列的前項和公式求解【詳解】由，得，且，則，即數(shù)列是以16為首項，以為公比的等比數(shù)列，則故答案為：1【點睛】本題主要考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的前項和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平16【解析】如圖所示，正四棱錐，為底面的中心，點為的中點，則，設，根據(jù)正四棱錐的側(cè)面積求出的值，再利用勾股定理求得正四棱錐的高，代入體積公式，即可得到答案.【詳解】如圖所示，正四棱錐，為底面的中心，點為的中點，則，設，.故答案為：.【點睛】本題考查棱錐的側(cè)面積和體積，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）3；（2）；（3）

16、見解析.【解析】（1）依據(jù)下標的關(guān)系，有，兩式相加，即可求出；（2）依據(jù)等比數(shù)列的通項公式知，求出首項和公比即可。利用關(guān)系式，列出方程，可以解出首項和公比；（3）利用等差數(shù)列的定義，即可證出。【詳解】（1）因為對任意，都有，所以，兩式相加，解得；（2）設等比數(shù)列的首項為，公比為，因為對任意，都有，所以有，解得，又 ，即有，化簡得，即，或，因為，化簡得，所以 故。（3）因為對任意，都有，所以有 ，成等差數(shù)列，設公差為， ，由等差數(shù)列的定義知，也成等差數(shù)列?！军c睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列的定義以及賦值法的應用，意在考查學生的邏輯推理，數(shù)學建模，綜合運用數(shù)列知識的能力。18（1）43，47；（2

17、）分布列見解析，.【解析】（1）根據(jù)莖葉圖即可得到中位數(shù)和眾數(shù)；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)可得任取一名優(yōu)秀員工的概率為，故，寫出分布列即可得解.【詳解】（1）中位數(shù)為，眾數(shù)為（2）被調(diào)查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量，任取一名優(yōu)秀員工的概率為，故，的分布列如下： 故【點睛】此題考查根據(jù)莖葉圖求眾數(shù)和中位數(shù)，求離散型隨機變量分布列，根據(jù)分布列求解期望，關(guān)鍵在于準確求解概率，若能準確識別二項分布對于解題能夠起到事半功倍的作用.19（1） （2）【解析】（1）運用三角形面積公式求出的長度，然后再運用余弦定理求出的長.（2）運用正弦定理分別表示出和，結(jié)合已知條件計算出結(jié)果.【詳解】（1）由在中，由余弦定理可得（2）由已

18、知得在中，由正弦定理可知在中，由正弦定理可知故【點睛】本題考查了正弦定理、三角形面積公式以及余弦定理，結(jié)合三角形熟練運用各公式是解題關(guān)鍵，此類題目是?？碱}型，能夠運用公式進行邊角互化，需要掌握解題方法.20（）（）函數(shù)的定義域為，值域為【解析】（1）由為第二象限角及的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出及的值，再代入中即可得到結(jié)果.（2）函數(shù)解析式利用二倍角和輔助角公式將化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)的范圍，即可得到函數(shù)值域.【詳解】解：（1）因為是第二象限角，且，所以.所以，所以.（2）函數(shù)的定義域為.化簡，得，因為，且，所以，所以.所以函數(shù)的值域為.（注：或許有人會認為“因為，所以”，其實不然，因為.）【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，三角函數(shù)函數(shù)值求解以及定義域和值域的求解問題，涉及到利用二