理論力學(xué)A課本習(xí)題答案：5第五章習(xí)題解答

1、PAGE 動力學(xué)第五章部分習(xí)題解答5-2解：M1gM2gFI2FI1x2x1取整個系統(tǒng)為研究對象，不考慮摩擦，該系統(tǒng)具有理想約束。作用在系統(tǒng)上的主動力為重物的重力。假設(shè)重物的加速度的方向豎直向下，則重物的加速度豎直向上，兩個重物慣性力為：(1)該系統(tǒng)有一個自由度，假設(shè)重物有一向下的虛位移，則重物的虛位移豎直向上。由動力學(xué)普遍方程有：（2）根據(jù)運動學(xué)關(guān)系可知：M2gTa2（3）將(1)式和(3)式代入(2)式，可得對于任意有：方向豎直向下。取重物為研究對象，受力如圖所示，由牛頓第二定律有：解得繩子的拉力。本題也可以用動能定理，動靜法，拉格朗日方程求解。零勢面5-4解：該系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，有一個自由

2、度，取為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的動能為：取圓柱軸線O所在的水平面為零勢面，系統(tǒng)的勢能為：拉格朗日函數(shù)，代入拉格朗日方程有：整理得擺的運動微分方程為：h零勢面5-6解：該系統(tǒng)為保守系統(tǒng)有一個自由度，取弧坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的動能為：取軌線最低點O所在的水平面為零勢面，系統(tǒng)的勢能為：由題可知，因此有：則拉格朗日函數(shù)：代入拉格朗日方程：，整理得擺的運動微分方程為：，解得質(zhì)點的運動規(guī)律為：，其中為積分常數(shù)。零勢位5-13解：1.求質(zhì)點的運動微分方程圓環(huán)（質(zhì)量不計）以勻角速度繞鉛垂軸AB轉(zhuǎn)動，該系統(tǒng)有一個自由度，取角度為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的動能為：取為零勢位，系統(tǒng)的勢能為：則拉格朗日函數(shù)：代入拉格朗日方程：，整理得

3、質(zhì)點的運動微分方程為：2.求維持圓環(huán)作勻速轉(zhuǎn)動的力偶如果求力偶，必須考慮圓環(huán)繞鉛垂軸AB的一般轉(zhuǎn)動。因此解除“圓環(huán)繞鉛垂軸AB勻速轉(zhuǎn)動”這一約束，將力偶視為主動力。此時系統(tǒng)有兩個自由度，取角度和圓環(huán)繞軸AB的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的勢能不變，動能表達(dá)式中以代替，則拉格朗日函數(shù)為：力偶為非有勢力，它對應(yīng)于廣義坐標(biāo)和的廣義力計算如下：取，在這組虛位移下力偶所作的虛功為，因此力偶對應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力；取，在這組虛位移下力偶所作的虛功為，因此力偶對應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力；代入拉格朗日方程，整理可得：代入拉格朗日方程，整理可得：圓環(huán)繞鉛垂軸AB勻速轉(zhuǎn)動，即：，代入上式可得：5-14解： 以該物體為研究對象

4、，有一個自由度，取和OC的夾角為廣義坐標(biāo)。若以框架為動系，則物體的相對運動是以角速度繞軸的定軸轉(zhuǎn)動，牽連運動是以角xzyzGO3垂直于O1O2的平面y速度繞軸的定軸轉(zhuǎn)動，物體的絕對角速度是和的矢量之和。為了方便起見，以為軸，為軸，如圖建立一個固連在物體上的坐標(biāo)系，該剛體的角速度可表示成：。由于坐標(biāo)系的三個坐標(biāo)軸為過點的三個慣量主軸，則系統(tǒng)的動能為：取為零勢位，系統(tǒng)的勢能為：則拉格朗日函數(shù)：代入拉格朗日方程：，整理后，可得物體的運動微分方程為：5-15解：框架（質(zhì)量不計）以勻角速度繞鉛垂邊轉(zhuǎn)動，該系統(tǒng)是保守系統(tǒng)，有一個自由度，取AB桿與鉛垂邊的夾角為廣義坐標(biāo)。若以框架為動系，AB桿上任意一點的速

5、度是該點相對于框架的相對速度和隨框架運動的牽連速度的矢量和，且相對速度和牽連速度相互垂直, 因此桿AB的動能可表示為相對于框架運動的動能和隨框架轉(zhuǎn)動的動能之和。AB桿相對于框架作平面運動，速度瞬心為O點，設(shè)AB桿的質(zhì)心為C，由幾何關(guān)系可知，則質(zhì)心為C的速度：CO桿AB相對于框架運動的動能：桿AB隨框架轉(zhuǎn)動的動能系統(tǒng)的動能。取為勢能零點，則系統(tǒng)的勢能為：則拉格朗日函數(shù)：代入拉格朗日方程：，整理得系統(tǒng)的運動微分方程為：由于角描述的是桿AB相對于框架的位置變化，因此上式也就是桿的相對運動微分方程。5-17解：取楔塊A，B構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對象，該系統(tǒng)有二個自由度，取楔塊A水平滑動的位移，以及楔塊B相對

6、于A的沿斜面滑動的位移為廣義坐標(biāo)。若以楔塊A為動系，楔塊A的速度，楔塊B的速度，以及B相對于A的相對速度滿足如下的矢量關(guān)系（方向如圖所示）：xs系統(tǒng)的動能為：取過軸的水平為零勢面，系統(tǒng)的勢能為： 則拉格朗日函數(shù)：將水平力視為非有勢力，它對應(yīng)于廣義坐標(biāo)和的廣義力計算如下：取，在這組虛位移下力所作的虛功為，因此力對應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力；取，在這組虛位移下力所作的虛功為，因此力對應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力；代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得：（2）由方程(1)和方程(2)解得：楔塊A的加速度：，方向水平向右。楔塊B的相對加速度：，方向沿斜面向上。x零勢面5-18解：取楔塊ABC和

7、圓柱構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對象，該系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，有二個自由度，取楔塊水平滑動的位移，以及圓柱的轉(zhuǎn)角（A點=0）為廣義坐標(biāo)。若以楔塊為動系，楔塊的速度，圓柱軸心O的速度，以及軸心O相對于A的相對速度滿足如下的矢量關(guān)系（方向如圖所示）：圓柱在斜面上作純滾動有：。系統(tǒng)的動能為： 取過楔塊上A點的水平為零勢面，系統(tǒng)的勢能為：則拉格朗日函數(shù)：代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得：（2）由方程(1)和方程(2)解得：楔塊的加速度：，方向水平向左。圓柱的角加速度：，順時針方向。5-21解：以三個重物和滑輪構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對象，該系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，有二個自由度（如圖所示）。設(shè)重物的坐標(biāo)為，重

8、物相對于滑輪B的輪心的位置為。系統(tǒng)的動能為：x1x2設(shè)時系統(tǒng)的勢能為零，則任意位置系統(tǒng)的勢能為：拉格朗日函數(shù)：代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得：（2）由方程(1)和方程(2)解得重物的加速度：， 初始時刻系統(tǒng)靜止，若使下降則，即：5-22解：取整個系統(tǒng)為研究對象，該系統(tǒng)有二個自由度，取平臺的水平坐標(biāo)，以及物體相對于平臺的坐標(biāo)（彈簧原長為坐標(biāo)原點）為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的動能為：xs設(shè)初始時刻勢能為零，系統(tǒng)的勢能為：則拉格朗日函數(shù)：將水平力視為非有勢力，它對應(yīng)于廣義坐標(biāo)和的廣義力計算如下：取，在這組虛位移下力所作的虛功為，因此力對應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力；取，在這組虛位移下力所

9、作的虛功為，因此力對應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力；代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可得： （2）由方程(1)可得：（3）代入方程(2)得：（4）解微分方程（4）得：，其中：。求導(dǎo)得：，代入方程(3)可得：平臺的加速度：，方向水平向右。物體M的加速度：，方向水平向右。5-27解：取整個系統(tǒng)為研究對象，該系統(tǒng)有二個自由度，取滑塊的水平坐標(biāo)，以及桿AB與鉛垂方向的夾角為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的動能為：設(shè)時勢能為零，系統(tǒng)的勢能為：拉格朗日函數(shù)：拉格朗日函數(shù)中不顯含廣義坐標(biāo)和時間t，存在循環(huán)積分和廣義能量積分，即：常數(shù)常數(shù)C5-28解：取整個系統(tǒng)為研究對象，該系統(tǒng)有二個自由度，取滑塊B沿斜面的坐標(biāo)，以及桿OD與鉛垂方向的夾角為廣義坐標(biāo)。桿OD作平面運動，有：則系統(tǒng)的動能為：設(shè)時勢能為零，系統(tǒng)的勢能為：拉格朗日函數(shù)中不顯含時間t，存在廣義能量積分，即：常數(shù)5-29解：以