概率課件：第五章 大數(shù)定律及中心極限定理

1、5.1 大數(shù)定律5.2 中心極限定理 大數(shù)定律 及中心極限定理第五章 本章要解決的問題 2022/7/1121.為何能以某事件發(fā)生的頻率 作為該事件的概率的估計(jì)？2.為何能以樣本均值作為總體 期望的估計(jì)？3.為何正態(tài)分布在概率論中占 有極其重要的地位？4.大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ) 是什么？大數(shù)定律中心極限定理 大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性 大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的廢品率一、大數(shù)定律主要：(1) 頻率穩(wěn)定性(2) 大量測量結(jié)果算術(shù)平均值的穩(wěn)定性。 定理 設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)= , 方差D(X)=2, 則對任意的正數(shù)，有 -切比雪夫(cheb

2、yshev)不等式切比雪夫不等式證明:（X為連續(xù)型）設(shè)X的概率密度為f(x)，則(1)這個(gè)不等式給出了在隨機(jī)變量X的分布未知的情況下事件 |x-| 0,有【注】 辛欽大數(shù)定理不要求隨機(jī)變量的方差存在.它為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑.證由切比雪夫不等式即推論1（伯努利大數(shù)定律）設(shè)nA是n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù).p 是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率, 則對任意 0,有因而 E(Xk)=p， (k=1,2,.),由辛欽大數(shù)定理證:因?yàn)橛屑?1. 伯努利大數(shù)定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了頻率的穩(wěn)定性.【注】2.伯努利大數(shù)定律提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的方法. 在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)

3、次數(shù)很大時(shí)，往往用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率 二、中心極限定理中心極限定理的客觀背景 在實(shí)際問題中，常需考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，如空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.對我們來說重要的是這些隨機(jī)因素的總影響. 觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大. 則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.現(xiàn)在我們研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和的規(guī)律性問題：1.當(dāng)n無限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么？2.在什么條件下極限分布是正態(tài)分布？3. 考慮n個(gè)隨機(jī)變量之和的

4、標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量的分布函數(shù)的極限.定理1 設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn, 相互獨(dú)立,服從同一分布,且 E(Xk)=，D(Xk)=20 (k=1,2, .) ,則定理表明,當(dāng)n充分大時(shí),Yn近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.的分布函數(shù)Fn(x)滿足:對任意實(shí)數(shù)x，有(證明略)獨(dú)立同分布的中心極限定理例1 一盒同型號(hào)螺絲釘共100個(gè)，已知該型號(hào)的螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€(gè)隨機(jī)變量，期望值是100g，標(biāo)準(zhǔn)差是10g ，求一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^10.2kg的概率. 且解：設(shè)Xi 為第i個(gè)螺絲釘?shù)闹亓? i=1,2,100.Xi相互獨(dú)立同分布.于是, 一盒螺絲釘?shù)闹亓繛橛芍行臉O限定理定理2 (李雅普諾夫定理)設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn,相互獨(dú)立, E(Xk)=k，D(Xk)=2k 0 (k=1,2,.) , 當(dāng)n充分大時(shí)，Zn的分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.記,若存在 0,使得則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn(x) 對任意x，有(證明略)證 由4.2例知, n可以看成n個(gè)相互獨(dú)立的服從同一(0-1)分布的隨機(jī)變量X1,.,Xn之和，即 定理3 (棣莫弗-拉普拉斯定理)設(shè)隨機(jī)變量n(n=1,2,)服從參數(shù)為n，p(0 p 30000=PX152022/7/11252022/7/11262022/7/1127 0 1 2 0.05 0.