2013年數(shù)學(xué)全真模擬試卷3（教師版）

1、PAGE PAGE 9啟東市2013年數(shù)學(xué)全真模擬試卷三一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1 已知向量，則 4 ；2 若直線為函數(shù)的一條切線，則實(shí)數(shù) 由得，故切點(diǎn)為或，代入得；3 若使“”與“”恰有一個(gè)成立的的取值范圍為，則實(shí)數(shù)的值是 0 易得；4 已知點(diǎn)為周長等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)，則劣弧的長度大于1的概率為 “劣弧的長度大于1”的概率等于；5 給出如下10個(gè)數(shù)據(jù)：63，65，67，69，66，64，66，64，65，68根據(jù)這些數(shù)據(jù)制作頻率分布直方圖，其中這組所對應(yīng)的矩形的高為 落在區(qū)間的數(shù)據(jù)依次為65，66，6

2、6，65，共4個(gè)，則矩形的高等于；6 已知，且，則 法1 由得，且，所以，則，此時(shí)；法2由得，且，所以，則；7 某圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為1cm的半圓，則該圓錐的體積是 cm 設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，高為，則由得，所以該圓錐 體積；8 對于定義在上的函數(shù)，下列正確的命題的序號是 若，則是上的單調(diào)增函數(shù)；若，則不是上的單調(diào)減函數(shù)； 若在區(qū)間、上都是單調(diào)增函數(shù)，則一定是上的單調(diào)增函數(shù)對于：不符合單調(diào)增函數(shù)的定義；正確；對于：注意在處，若函數(shù)不連續(xù)時(shí) 該命題就不一定正確；9 給出下列等式： ， ， ， 請從中歸納出第個(gè)等式： 易得第個(gè)等式：；10已知電流隨時(shí)間變化的關(guān)系式是，設(shè)，則電流 首次達(dá)到峰值

3、時(shí)的值為 易得周期，則函數(shù)首次達(dá)到峰值時(shí)；11在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，分別以的邊向（第11題圖）外作正方形與，則直線的一般式方程為 易得，則直線的方程為；12設(shè)，且，則函數(shù)的最小值為 易得，設(shè)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），則原式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）；13已知過某定圓上的每一點(diǎn)均可以作兩條相互垂直的直線與橢圓的公共點(diǎn)都各只有一個(gè)，那么該定圓的方程為 解：易得橢圓的外切矩形的四個(gè)頂點(diǎn)必在該定圓上，則該定圓必是該外切矩形的外接圓，方程為，可以驗(yàn)證過該圓上除點(diǎn)的任意一點(diǎn)也均可作兩條相互垂直的直線與橢圓的交點(diǎn)都各只有一個(gè)；14已知為非零常數(shù)，數(shù)列與均為等比數(shù)列，且，則 3 解： 因?yàn)閿?shù)列與均為

4、等比數(shù)列，所以且，得，故數(shù)列也為等差數(shù)列，不難得數(shù)列為非零常數(shù)列，則二、解答題：本大題共6小題，共90分請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證 明過程或演算步驟15 已知（1）求的值； （2）求的值 命題立意：本題主要考查兩角和與差的正、余弦公式，考查運(yùn)算求解能力（1）因?yàn)椋?， 得，（3分） 即2+2， 所以；（6分）（2）得 即，（8分）DN（第16題）PABCMQ 故，（12分） 化簡得， 由（1）得. （14分）16如圖，在正四棱錐中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上的點(diǎn).（1）若，求證：平面；（2）試寫出（1）的逆命題，并判斷其真假. 若為真，請證明；若為假，請舉反例. 命題立意：

5、本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象、推理論證能力【證明】（1）延長，交于點(diǎn)，連結(jié)， 因?yàn)辄c(diǎn)為線段上的點(diǎn)， 且， 所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，又點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以， 又平面， 平面， 所以平面. （2）（1）的逆命題為：若平面， 則（真命題）， 下證之： 因?yàn)槠矫妫?平面， 平面平面，所以，（12分） 在中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的點(diǎn)， 所以，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).（14分）17在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)為直線l：與拋物線C：異于原點(diǎn)的另一交點(diǎn)（1）若a1，b2，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)在橢圓上，求證：點(diǎn)落在雙曲線上；（3）若點(diǎn)始終落在曲線（其中為常數(shù)，且）上，

6、問動點(diǎn)的軌跡落在哪種二次曲線上？并說明理由 命題立意：本題主要考查求直線、拋物線、雙曲線、圓、橢圓等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解與探 究能力解：（1）由與則聯(lián)立方程組得， 又a1，b2，則；（3分） （2）將代入橢圓得， 將代入，即證；（7分） （3）將代入（其中為常數(shù)，）得， 若，則，所以點(diǎn)的軌跡落在拋物線上；（9分） 若，則， 若，則點(diǎn)的軌跡落在圓上；（11分） 若，且，則點(diǎn)的軌跡落在橢圓上；（13分） 若，則點(diǎn)的軌跡落在雙曲線上.（15分）18 （圖乙）（圖甲）如圖甲，一個(gè)正方體魔方由27個(gè)單位（長度為1個(gè)單位長度）小立方體組成，把魔方中間的一層轉(zhuǎn)動，如圖乙，設(shè)的對邊長為（1）試用表示；（2）

7、求魔方增加的表面積的最大值 命題立意：本題主要考查數(shù)學(xué)建模和解決實(shí)際問題的能力，考查運(yùn)算求解能力 解：（1）由題意得，解得，（6分） （2）魔方增加的表面積為， 由（1）得，令， 則（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立），答：當(dāng)時(shí)，魔方增加的表面積最大為（15分）19設(shè)各項(xiàng)均為非負(fù)數(shù)的數(shù)列的為前項(xiàng)和（，）（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用表示） （3）證明：當(dāng)（）時(shí)，命題立意：本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查靈活運(yùn)用基本量進(jìn)行探索求解、推理分析能力解：（1）當(dāng)時(shí)，所以或，（2分） 若，則，取得，即，這與矛盾； 所以，取得，又，故，所以，（4分） （2）記，

8、 則 ， 得 ，又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)均為非負(fù)數(shù)，且， 所以，（6分） 則，即， 當(dāng)或時(shí)，也適合， 所以；（10分） （3）因?yàn)?，所?， 又（） 則 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立） （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立） 所以.（16分）20（本題滿分16分） 記定義在上的函數(shù)（p，qR）的最大值、最小值分別為M、N，又記（1）當(dāng)時(shí)，求M、N（用p、q表示），并證明；（2）直接寫出的解析式（不需給出演算步驟）；（3）在所有形如題設(shè)的函數(shù)中，求出所有這樣的使得的最大值為最小 命題立意：本題主要考查函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、 分類討論思想進(jìn)行推理論證的綜合能力解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對稱軸為， 所以

9、 此時(shí)，；（3分） （2）由（1）同理可得，（6分） （3）記，下證：，且，所求函數(shù)，（8分） 若，即時(shí)，則， 所以，即；（10分） 若，即時(shí)，則， 若時(shí)，則， 所以（當(dāng)且僅當(dāng)p=0，時(shí)等號成立）；（12分） 若時(shí)，則， 所以中至少有一個(gè)大于，即，（14分） 由得，且，此時(shí)，綜上所述，所有形如題設(shè)的函數(shù)即為所求.（16分） 試題（附加題）21 B（矩陣與變換）已知矩陣，滿足，求矩陣 命題立意：本題主要考查矩陣的乘法，考查運(yùn)算求解能力 解：設(shè)， 由得（7分） 解得此時(shí).（10分）C（極坐標(biāo)與參數(shù)方程） 將參數(shù)方程（為參數(shù)，為常數(shù)）化為普通方程（結(jié)果可保留） 命題立意：本題主要考查參數(shù)方程，考查運(yùn)

10、算求解能力 解：當(dāng)t0時(shí)，y0，xcos，即y0，且；（2分） 當(dāng)t0時(shí)， 所以.（10分）22一批產(chǎn)品共100件，其中有3件不合格品，從中隨機(jī)抽取（）件，用表示所抽取的件產(chǎn)品中不合格品的個(gè)數(shù)（1）若，求的概率分布；（2）求使的概率取得最大值時(shí)的的值（參考數(shù)據(jù)：）命題立意：本題主要考查概率分布等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力 一批產(chǎn)品共100件，其中有3件不合格品，從中隨機(jī)抽?。ǎ┘?，用表示所抽取的件產(chǎn)品中不合格品的個(gè)數(shù)（1）若，求的概率分布；（2）求使的概率取得最大值時(shí)的的值（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）當(dāng)時(shí)， 則，012 所以，的概率分布為： （5分）（2）的概率為，且 （7分） 記函數(shù)， 則由得，由參考數(shù)據(jù)知或， 而， 結(jié)合函數(shù)的圖象性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，的概率取得最大值（10分）23設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差d（），m為數(shù)列中的項(xiàng)（1）若d=3，試判斷的展開式中是否含有常數(shù)項(xiàng)？并說明理由；（2）證明：存在無窮多個(gè)d，使得對每一個(gè)m，的展開式中均不含常數(shù)項(xiàng)命題立意：本題主要考查二項(xiàng)式定理，考查探究與推理論證的綜合能力 （1）解：因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，所以（2分） 假設(shè)的展開式中的第r+1