2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 第二章　函數(shù)(必修第一冊(cè)) 第6節(jié)　對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 學(xué)案

1、第6節(jié)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1.理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì),知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).2.通過(guò)具體實(shí)例,了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象,探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.知道對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax互為反函數(shù)(a0,且a1).1.對(duì)數(shù)概念一般地,如果ax=N(a0,且a1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作x=logaN,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù)性質(zhì)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化:ax=Nx=logaN,loga1=0,logaa=1,alogaN=N運(yùn)算法則loga(MN)=logaM+logaNa0,且a1,M0,N

2、0logaMN=logaM-logaNlogaMn=nlogaM(nR)換底公式logab=logcblogca(a0,且a1;b0;c0,且c1)2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a10a1時(shí),y0;當(dāng)0 x1時(shí),y1時(shí),y0;當(dāng)0 x0在區(qū)間(0,+)上是增函數(shù)在區(qū)間(0,+)上是減函數(shù)3.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax(a0,且a1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a0,且a1)互為反函數(shù),它們的定義域與值域正好互換,圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.1.換底公式及其推論(1)logablogba=1,即logab=1logba(a,b均大于0且不等于1);(2)logambn=nmlogab;

3、(3)logablogbclogcd=logad.2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖,作直線y=1,則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù),故0cd1a0,即x-11,x-10,解得x2,所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,+).故選D.3.已知函數(shù)f(x)=2x的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則g(12)的值為(A)A.-1B.1C.12D.2解析:法一由y=f(x)=2x,得x=log2y,所以函數(shù)f(x)的反函數(shù)為g(x)=log2x,則g(12)=log212=-1.故選A.法二設(shè)g(12)=t0,則函數(shù)y=g(x)過(guò)點(diǎn)(12,t0),由于函數(shù)f(x)=2x的反

4、函數(shù)為y=g(x),因此有2t0=12,故t0=-1.故選A.4.(必修第一冊(cè)P127習(xí)題T3改編)化簡(jiǎn)2lg 5+lg 4-5log52的結(jié)果為(A)A.0B.2C.4D.6解析:因?yàn)?lg 5+lg 4=2lg 5+2lg 2=2(lg 5+lg 2)=2.又5log52=2,所以2lg 5+lg 4-5log52=2-2=0.故選A.5.若函數(shù)y=f(x)是定義在(0,+)上的增函數(shù),且滿足f(xy)=f(x)+f(y),請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)解析式:.解析:由函數(shù)滿足f(xy)=f(x)+f(y)可知,函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù),且是增函數(shù),因此只要是滿足底數(shù)大于1的對(duì)數(shù)函數(shù)即可.答案:f(x)

5、=log3x(答案不唯一,只要底數(shù)大于1即可) 對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值1.(2020全國(guó)卷)設(shè)alog34=2,則4-a等于(B)A.116B.19C.18D.16解析:法一因?yàn)閍log34=2,所以log34a=2,則有4a=32=9,所以4-a=14a=19.故選B.法二因?yàn)閍log34=2,所以-alog34=-2,所以log34-a=-2,所以4-a=3-2=132=19.故選B.法三因?yàn)閍log34=2,所以a2=1log34=log43,所以4a2=3,兩邊同時(shí)平方得4a=9,所以4-a=14a=19.故選B.法四因?yàn)閍log34=2,所以a=2log34=log39log34=log

6、49,所以4-a=14a=19.故選B.法五令4-a=t(t0),兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得log34-a=log3t,即alog34=-log3t=log31t.因?yàn)閍log34=2,所以log31t=2,所以1t=32=9,所以t=19,即4-a=19.故選B.法六令4-a=t(t0),所以-a=log4t,即a=-log4t=log41t.由alog34=2,得a=2log34=log39log34=log49,所以log41t=log49,所以1t=9,t=19,即4-a=19.故選B.2.若2a=3b=6,則1a+1b等于(D)A.2B.3C.12D.1解析:法一因?yàn)?a=3b=6,所以a=l

7、og26,1a=log62,b=log36,1b=log63,則1a+1b=log62+log63=log66=1.故選D.法二因?yàn)?a=6,所以2=61a,因?yàn)?b=6,所以3=61b,所以23=61a61b,所以6=61a+1b,所以1a+1b=1.故選D.3.設(shè)a=log36,b=log520,則log215等于(D)A.a+b-3(a-1)(b-1)B.a+b-2(a-1)(b-1)C.a+2b-3(a-1)(b-1)D.2a+b-3(a-1)(b-1)解析:因?yàn)閍=log36=1+log32,b=1+2log52,所以log23=1a-1,log25=2b-1,則log215=log

8、23+log25=1a-1+2b-1=2a+b-3(a-1)(b-1).故選D.4.計(jì)算:(1-log63)2+log62log618log64=.解析:原式=(log62)2+log62log618log64=log62(log62+log618)log64=2log622log62=1.答案:11.利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)對(duì)數(shù)式主要有以下兩種方法:一是“正向”利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,把各對(duì)數(shù)分成更為基本的一系列對(duì)數(shù)的代數(shù)和;二是“逆向”運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則,把同底的各對(duì)數(shù)合并成一個(gè)對(duì)數(shù).2.利用已知對(duì)數(shù)式表示不同底數(shù)的對(duì)數(shù)式時(shí),可以將待求式中的底數(shù)利用換底公式化為已知對(duì)數(shù)式的底數(shù)表示. 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖

9、象及應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象 在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=1ax,y=loga(x+12)(a0,且a1)的圖象可能是()解析:法一當(dāng)a1時(shí),函數(shù)y=ax的圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1),在R上單調(diào)遞增,于是函數(shù)y=1ax的圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1),在R上單調(diào)遞減,函數(shù)y=loga(x+12)的圖象過(guò)定點(diǎn)(12,0),在(-12,+)上單調(diào)遞增.顯然A,B,C,D四個(gè)選項(xiàng)都不符合.當(dāng)0a1時(shí)與0a1時(shí)兩種對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的圖象),在此基礎(chǔ)上研究由其復(fù)合而成的函數(shù)的圖象.2.在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí),要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).解析式中含絕

10、對(duì)值的對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象 函數(shù)y=ln(2-|x|)的大致圖象為()解析:令f(x)=ln(2-|x|),易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|-2x2,且f(-x)=ln(2-|-x|)=ln(2-|x|)=f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù),排除選項(xiàng)C,D;當(dāng)x=32時(shí),f(32)=ln 121或0a1這兩種不同的情況.對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用 已知函數(shù)f(x)=x2-logmx在(0,12)上恒有f(x)0成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.解析:要使函數(shù)f(x)=x2-logmx在(0,12)上恒有f(x)0成立,則有x2logmx在(0,12)上恒成立,則有0m1.在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y=x2和y=lo

11、gmx的圖象(如圖所示).因?yàn)楫?dāng)x=12時(shí),y=x2=14,所以只需y=logm1214=logmm14,所以12m14,即116m.又因?yàn)?m1,所以116m1.答案:116,1)求解與對(duì)數(shù)型方程、不等式有關(guān)的恒成立問(wèn)題,常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題,利用數(shù)形結(jié)合法求解.針對(duì)訓(xùn)練 1.當(dāng)0a1時(shí),在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=a-x與y=logax的圖象是()解析:因?yàn)楹瘮?shù)y=a-x即為函數(shù)y=(1a)x,其底數(shù)大于1,是增函數(shù),又y=logax,當(dāng)0a1時(shí)是減函數(shù),兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性正好相反.故選C.2.函數(shù)y=|log2x|的圖象是()解析:因?yàn)閒(x)=log2x,x1,-log2x,0

12、x1,則函數(shù)的定義域?yàn)?0,+),即函數(shù)圖象只出現(xiàn)在y軸右側(cè).值域?yàn)?0,+),即函數(shù)圖象只出現(xiàn)在x軸上方.其圖象為在區(qū)間(0,1)上是下降的曲線,在區(qū)間(1,+)上是上升的曲線,由增長(zhǎng)趨勢(shì)知C不正確,只有D滿足要求.故選D.3.當(dāng)0 x14時(shí),若xlogax,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析:若xlogax在x(0,14上成立,則0a1,且y=x的圖象在y=logax圖象的下方,如圖所示,由圖象知14loga14,所以0a14,解得116a1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(116,1).答案:(116,1) 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小 (1)已知a=log36,b=log510,c

13、=log714,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.abcB.cbaC.cabD.bcbcB.bacC.cbaD.cab解析:(1)a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72,且log32log52log72,故cb1,b=ln 2(0,1),c=log1213=log23log2e=a1,所以cab.故選D.法二log1213=log23,如圖,在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=log2x,y=ln x的圖象,由圖知cab.故選D.比較對(duì)數(shù)式大小的類型及相應(yīng)的方法(1)若底數(shù)為同一常數(shù),則可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷;若底數(shù)為同一字母,

14、則需對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論.(2)若底數(shù)不同,真數(shù)相同,則可以先用換底公式化為同底后,再進(jìn)行比較,或利用圖象數(shù)形結(jié)合求解.(3)若底數(shù)與真數(shù)都不同,則常借助1,0等中間量進(jìn)行比較.(4)若不能夠使用以上三種方法比較大小,則需要將已知的對(duì)數(shù)式變形或利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)確定對(duì)數(shù)值的取值范圍,或利用作差(或作商)比較法以及利用結(jié)論logn+1(n+2)1的解集為.解析:函數(shù)的定義域滿足2-x0,2+x0-2x1log2(2-x)-log2(2+x)1log22-x2+xlog22,所以2-x2+x2,-2x2-2x-23,故不等式的解集為(-2,-23).答案:(-2,-23)簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)不等式問(wèn)題的求解策略

15、(1)解決簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)不等式,應(yīng)先利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)值,再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解.求解時(shí)不要忘記對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域.(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和底數(shù)a的值有關(guān),在研究對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí),要按0a1進(jìn)行分類討論.對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域與值域 若函數(shù)f(x)=lg(ax2-2x+a)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(-1,0)B.(0,1)C.0,1D.(1,+)解析:由題意問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為g(x)=ax2-2x+a的值域能取到(0,+)內(nèi)的任意實(shí)數(shù),當(dāng)a=0時(shí),g(x)=-2x,函數(shù)g(x)的值域?yàn)镽,滿足題意;當(dāng)a0時(shí),要使g(x)的值域能取到(0,+)內(nèi)的任意

16、實(shí)數(shù),則滿足a0,=(-2)2-4a20,解得00在R上恒成立.針對(duì)訓(xùn)練 1.已知x=lg 2,y=ln 3,z=log23,則()A.xzyB.zyxC.xyzD.zxy解析:因?yàn)閤=lg 21,z=log231,所以x最小.又因?yàn)閥=lg3lge,z=lg3lg2,而lg elg 20,所以xyz.故選C.2.設(shè)函數(shù)f(x)=aex-1(a為常數(shù)),且f(-1)=2e2且g(x)=f(x),x2,log3(x-1),x2,則不等式g(x)2的解集為.解析:因?yàn)閒(-1)=ae-2=ae2=2e2,所以a=2,則f(x)=2ex-1,所以g(x)=2ex-1,x2,log3(x-1),x2.

17、當(dāng)x2時(shí),2ex-12,即ex-11,解得x1;當(dāng)x2時(shí),log3(x-1)2,即log3(x-1)log39,所以0 x-19,解得1x10,所以2x10.綜上所述,g(x)0恒成立,所以=4a2-120,解得-3a0對(duì)任意的x(-3,3恒成立,因?yàn)閤+30,則ax+60對(duì)任意的x(-3,3恒成立,則-3a+60,3a+60,得-20,可得a2.綜上所述,-2a2.故選C. 已知函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x),則()A.f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增B.f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱解析:由于f(x)=

18、lnx(2-x)=ln(-x2+2x)=ln-(x-1)2+1.令t=-(x-1)2+1,結(jié)合函數(shù)的定義域(0,2)可知,函數(shù)t在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減,由y=ln t在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增可知,函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減,因此A,B錯(cuò)誤;由題意知,f(2-x)=ln(2-x)+ln x=f(x),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,C正確,D錯(cuò)誤.故選C. 已知函數(shù)f(x)=ax-ln(ex+1)(aR)為偶函數(shù),則a等于()A.1B.2C.12D.3解析:法一(定義法)由f(-x)=f(x

19、)得,-ax-ln(ex+1ex)=ax-ln(ex+1),ln(ex+1)-ln(ex+1ex)=2ax,即ln ex=2ax,a=12.故選C.法二(特值法)由于f(x)為偶函數(shù),所以f(-1)=f(1),即-a-ln(e-1+1)=a-ln(e+1),所以2a=ln(e+1)-ln(e-1+1)=ln e+1e-1+1=ln e=1,所以a=12.故選C. 設(shè)方程ex=|ln(-x)|的兩個(gè)根分別為x1,x2,則()A.x1x21D.0 x1x21解析:作出y=ex與y=|ln(-x)|的大致圖象,如圖.顯然x10,x20.不妨設(shè)x1x2,則x1-1x20,所以ex1=ln(-x1),e

20、x2=-ln(-x2),此時(shí)ex1ex2,即ln(-x1)-ln(-x2),由此得ln(x1x2)0,所以0 x1x21.故選D.知識(shí)點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練對(duì)數(shù)的概念、運(yùn)算法則1,2,3,412對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)5,6,7,913對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用8,1011,14151.計(jì)算log225log522等于(A)A.3B.4C.5D.6解析:log225log522=log252log5232=232log25log52=3.故選A.2.若lg 2=a,lg 3=b,則log524等于(C)A.3a+b1+aB.a+3b1+aC.3a+b1-aD.a+3b1-a解析:因?yàn)閘g

21、2=a,lg 3=b,所以log524=lg24lg5=lg3+3lg21-lg2=3a+b1-a.故選C.3.(2021四川成都高三零模)已知函數(shù)f(x)=log2(2-x),x0,解得-1x0).而t=-x2+4x+5在(-1,2)上單調(diào)遞增,在(2,5)上單調(diào)遞減,且y=log12t在(0,+)上單調(diào)遞減,所以f(x)=log12(-x2+4x+5)在(-1,2)上單調(diào)遞減,在(2,5)上單調(diào)遞增,又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=log12(-x2+4x+5)在區(qū)間(3m-2,m+2)內(nèi)單調(diào)遞增,所以23m-2m+25,解得43m3的解集為.解析:設(shè)函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=logax(a0,

22、a1),由函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,-2)可得-2=loga4,即a-2=4,則a=12.由f(x-1)-f(x+1)3,可得f(x-1)3+f(x+1),即log12(x-1)log1218+log12(x+1)=log1218(x+1),所以原不等式等價(jià)于x-10,x-10,解得1x97.答案:(1,97)9.若函數(shù)f(x)=log2(x2-3ax+2a2)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,a2),則a=.解析:x2-3ax+2a2=(x-a)(x-2a),當(dāng)a=0時(shí),顯然符合題意;當(dāng)a0時(shí),因?yàn)?a0時(shí),因?yàn)?aa,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-,a),由a2=a,得a=0(舍去)或1.綜上,a=0或1

23、.答案:0或110.已知函數(shù)f(x)=loga(x+ax-4)(a0,a1)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .解析:f(x)=loga(x+ax-4)(a0,a1)的值域?yàn)镽,設(shè)t=x+ax-4,所以t可以取遍(0,+)中任意一個(gè)數(shù),所以tmin=2a-40a4,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1)(1,4.答案:(0,1)(1,411.設(shè)函數(shù)f(x)=ln|3x+2|-ln|3x-2|,則f(x)(B)A.是偶函數(shù),在(23,+)上單調(diào)遞減B.是奇函數(shù),在(-23,23)上單調(diào)遞增C.是偶函數(shù),在(-,-23)上單調(diào)遞增D.是奇函數(shù),在(23,+)上單調(diào)遞增解析:由f(x)=ln|3x+2|-

24、ln|3x-2|得f(x)的定義域?yàn)閤x23,關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.又f(-x)=ln|2-3x|-ln|-3x-2|=ln|3x-2|-ln|3x+2|=-f(x),所以f(x)為定義域上的奇函數(shù),可排除A,C;當(dāng)x(-23,23)時(shí),f(x)=ln(3x+2)-ln(2-3x),因?yàn)閥=ln(3x+2)在(-23,23)上單調(diào)遞增,y=ln(2-3x)在(-23,23)上單調(diào)遞減,所以f(x)=ln(3x+2)-ln(2-3x)在(-23,23)上單調(diào)遞增,故B正確;當(dāng)x(23,+)時(shí),f(x)=ln(3x+2)-ln(3x-2)=ln 3x+23x-2=ln(1+43x-2),因?yàn)?1+43x-2在(23,+)上單調(diào)遞減,f()=ln 在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,f(x)在(23,+)上單調(diào)遞減,故D錯(cuò)誤.故選B.12.(2021高三百校聯(lián)考)已知a=log43,b=log53,c=log45,則(A)A.bacB.abcC.acbD.cab解析:首先0a1,0b0,所以0ba1,所以bac.故選A.13.設(shè)正數(shù)x,y,z滿足31x=41y=51z,則下列關(guān)系中正確的是(D)A.4x3y2zB.2z4x3yC.3y2z4xD.2