2022年高考數(shù)學(xué)尖子生輔導(dǎo)專題(文理通用)之專題04利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式（一）

1、第 PAGE12 頁(yè) 共 NUMPAGES12 頁(yè)2022年高考數(shù)學(xué)尖子生輔導(dǎo)專題(文理通用)之專題04 利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式一專題四利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式一函數(shù)不等式的證明由于其形式多變，方法靈敏，成為了近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn)與難點(diǎn)，它一般出如今壓軸題的位置，解決起來(lái)比擬困難利用導(dǎo)數(shù)作為工具進(jìn)展證明是證明函數(shù)不等式的一種常見(jiàn)方法，本專題總結(jié)了利用導(dǎo)數(shù)證明一個(gè)未知數(shù)的函數(shù)不等式的常見(jiàn)方法，希望同學(xué)們看后有所收獲，提升利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式的才能模塊1整理方法提升才能對(duì)于一個(gè)未知數(shù)的函數(shù)不等式問(wèn)題，其關(guān)鍵在于將所給的不等式進(jìn)展“改造”，得到一平一曲、兩曲兩種形式中的一種當(dāng)出現(xiàn)一平一曲時(shí)，只需運(yùn)用

2、導(dǎo)數(shù)求出“曲”的最值，將其與“平”進(jìn)展比擬即可當(dāng)出現(xiàn)兩曲時(shí)，假如兩個(gè)函數(shù)的凸性一樣，那么可以考慮通過(guò)曲線進(jìn)展隔離由于隔離曲線的尋找難度較大，所以我們一般希望兩個(gè)函數(shù)的凸性相反當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的凸性相反時(shí)，那么可以尋找直線常選擇公切線或切線實(shí)現(xiàn)隔離放縮，當(dāng)然最理想的直線狀態(tài)是該直線與軸平行或重合當(dāng)改造的過(guò)程中出現(xiàn)一斜一曲時(shí)，一般要將其繼續(xù)改造，要么將其化歸到一邊，轉(zhuǎn)化為一平一曲，要么將其轉(zhuǎn)化為兩曲常用不等式的生成在不等式“改造”或證明的過(guò)程中，可借助題目的結(jié)論、均值不等式、函數(shù)單調(diào)性、與、有關(guān)的常用不等式等方法進(jìn)展適當(dāng)?shù)姆趴s，再進(jìn)展證明下面著重談?wù)勁c、有關(guān)的常用不等式的生成生成一：利用曲線的切線進(jìn)展放

3、縮設(shè)上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，那么過(guò)該點(diǎn)的切線方程為，即，由此可得與有關(guān)的不等式：，其中，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立特別地，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有設(shè)上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，那么過(guò)該點(diǎn)的切線方程為，即，由此可得與有關(guān)的不等式：，其中，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立特別地，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有利用切線進(jìn)展放縮，能實(shí)現(xiàn)以直代曲，化超越函數(shù)為一次函數(shù)生成二：利用曲線的相切曲線進(jìn)展放縮由圖可得；由圖可得；由圖可得，；由圖可得，綜合上述兩種生成，我們可得到以下與、有關(guān)的常用不等式：與有關(guān)的常用不等式：1；2與有關(guān)的常用不等式：1；2；3，；4，用取代的位置，相應(yīng)的可得到與有關(guān)的常用不等式例1設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線為1求、；2證明：【解析】

4、1因?yàn)椋?，所以，解得，【證明】2法1：尋找公切曲線隔離由1知，于是由于混合了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，比擬復(fù)雜，所以可以考慮將指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)進(jìn)展別離，改造為令，那么，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增而遞減，所以兩個(gè)函數(shù)的凸性一樣都是下凸函數(shù)此時(shí)，我們可以尋找與兩個(gè)曲線都相切的曲線，將兩個(gè)函數(shù)進(jìn)展隔離，從而實(shí)現(xiàn)證明，令，那么，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增，所以，于是，令，那么，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增，所以，于是由于等號(hào)不能同時(shí)成立，所以法2：尋找公切線隔離由1知，于是，將不等式改造為令，那么由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增，所以令，那么由可得，由可得

5、，所以在上遞增，在上遞減，所以兩個(gè)函數(shù)的凸性相反此時(shí)，我們可以尋找與兩個(gè)曲線都相切的公切線，將兩個(gè)函數(shù)進(jìn)展隔離，又因?yàn)榈忍?hào)不能同時(shí)成立，所以【點(diǎn)評(píng)】法1中的兩個(gè)函數(shù)凸性一樣，因此需要尋找公切曲線進(jìn)展隔離，公切曲線的尋找需要有一定的函數(shù)不等式放縮經(jīng)歷該放縮與常用不等式以及有關(guān)，因此純熟掌握與、有關(guān)的常用不等式，能有效翻開(kāi)某些不等式的證明思路，使題目的難度降低法2中的兩個(gè)函數(shù)凸性相反，且兩個(gè)函數(shù)的最值一樣，此時(shí)可尋找到與軸平行的公切線，實(shí)現(xiàn)隔離放縮如何恰當(dāng)?shù)亍案脑臁焙瘮?shù)是解題的關(guān)鍵，這需要我們熟悉與、四那么運(yùn)算組合后的函數(shù)，如：1、過(guò)原點(diǎn)，先減后增；2、過(guò)原點(diǎn)，先增后減；3、在上遞減，在上先減后增

6、；4、在上先減后增；5、在上先增后減；6、在上遞減，在上先減后增例2函數(shù)1求曲線在點(diǎn)處的切線方程；2求證：當(dāng)時(shí)，【解析】1，因?yàn)樵谇€上，且，所以切線方程為，即【證明】2法1：當(dāng)時(shí)，令，那么，于是在上遞增又因?yàn)椋煽傻?，由可得，所以在上遞減，在上遞增，所以法2：當(dāng)時(shí)，由常見(jiàn)不等式，可得，所以法3：令，那么，由可得，由可得或，所以在上遞減，在上遞增，在上遞減的極小值為，由洛必達(dá)法那么，可得，所以，即法4：令，那么，所以在上遞增，又因?yàn)?，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增，所以法5：當(dāng)時(shí)，不等式成立，當(dāng)時(shí)，由可得或，由可得或，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，在上遞減因?yàn)椋?，而，所以，即?/p>

7、6：令，那么是以為對(duì)稱軸，開(kāi)口方向向上的拋物線令，那么遞減由于兩個(gè)函數(shù)的凸性相反，因此我們可以通過(guò)尋找兩個(gè)曲線的公切線將兩個(gè)函數(shù)進(jìn)展隔離，但由于公切線不容易尋找，又因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)處于相離的狀態(tài)，因此我們可以選擇在上找切線，通過(guò)該切線將兩個(gè)函數(shù)隔離，從而實(shí)現(xiàn)證明由常見(jiàn)不等式可得，容易想到隔離切線，下面進(jìn)展證明，而，命題獲證【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于含有參數(shù)的一個(gè)未知數(shù)的函數(shù)不等式，其證明方法與不含參數(shù)的一個(gè)未知數(shù)的函數(shù)不等式證明大體一致法3是直接證明，法4是將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，法5是通過(guò)別離參數(shù)進(jìn)而證明，3種方法本質(zhì)都是一平一曲狀態(tài)法6將不等式轉(zhuǎn)化為，由于兩個(gè)函數(shù)的凸性相反，因此我們可以尋找切線實(shí)現(xiàn)隔離放縮對(duì)于

8、含有參數(shù)的一個(gè)未知數(shù)的函數(shù)不等式，我們還可以通過(guò)放縮，消去參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究一個(gè)特例函數(shù)的問(wèn)題，從而使題目的難度大大降低例3函數(shù)1假設(shè)，求的值；2設(shè)為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)，求的最小值【解析】1的定義域?yàn)榉?：別離參數(shù)法當(dāng)時(shí)，有，成立當(dāng)時(shí)，令，那么，令，那么，所以在上遞增，于是，所以，所以在上遞增由洛必達(dá)法那么可得，所以當(dāng)時(shí)，令，仿照可得在上遞增由洛必達(dá)法那么可得，所以綜上所述，法2：不猜測(cè)直接用最值法當(dāng)時(shí)，在上遞增，而，于是不成立當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增，而，所以法3：通過(guò)猜測(cè)減少分類討論由可得，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增，而，所以2當(dāng)時(shí)，即，那么有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)

9、等號(hào)成立，所以，于是，所以當(dāng)時(shí)，于是的最小值為3【點(diǎn)評(píng)】不等式左邊是一個(gè)項(xiàng)乘積的形式，處理起來(lái)比擬費(fèi)事考慮取對(duì)數(shù)，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，那么容易聯(lián)想到與有關(guān)的常用不等式模塊2練習(xí)穩(wěn)固整合提升練習(xí)1：函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為1求、的值；2證明：當(dāng)，且時(shí)，【解析】1 由于直線的斜率為，且過(guò)點(diǎn)，所以，即，解得，【證明】2由1知，所以構(gòu)造函數(shù)，那么，于是在上遞減當(dāng)時(shí)，遞減，所以，于是；當(dāng)時(shí)，遞減，所以，于是綜上所述，當(dāng)，且時(shí)，練習(xí)2：函數(shù)、1假設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2假設(shè)，求證：【解析】1當(dāng)，由可得，由可得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為【證明】2假設(shè)，令，那么，設(shè)，那么，所以在上遞增，所以，所以，所

10、以在上遞增又因?yàn)?，所以恰有一個(gè)零點(diǎn)，即，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上遞減，在上遞增，所以設(shè)，那么，所以在上遞增，所以命題獲證練習(xí)3：函數(shù)1求曲線在處的切線方程；2求證：【解析】1，所以，又，所以在處的切線方程為，即【證明】2法1：，構(gòu)造函數(shù)，那么，因?yàn)樵谏线f增，且，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上遞減，在上遞增，所以，于是在上遞增，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，所以，命題獲證法2：，構(gòu)造函數(shù)，那么令，那么，由可得，由可得，于是在上遞減，在上遞增，于是于是當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上遞減，在上遞增，于是，命題獲證【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于不等式，從指對(duì)別離的角度來(lái)看，可構(gòu)造出、等一系列式子，由于構(gòu)造的不等式兩端的函數(shù)凸性一致

11、，且尋找隔離曲線的難度大，不容易證明考慮到函數(shù)的形式不算太復(fù)雜，可通過(guò)屢次求導(dǎo)證明其在軸的上方有且僅有一個(gè)交點(diǎn)也可以如法2那樣將函數(shù)進(jìn)一步改造為，法2比法1簡(jiǎn)單的原因在于當(dāng)中的比擬“單純”，求導(dǎo)一次就能消去練習(xí)4：設(shè)函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù)1假設(shè)恒成立，務(wù)實(shí)數(shù)的取值范圍；2設(shè)，比擬與的大小，并加以證明【解析】1，所以法1：別離參數(shù)法當(dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)時(shí)，在上恒成立在上恒成立，令，那么，所以在上遞增，于是，即，所以在上遞增由洛必達(dá)法那么，可得，所以，于是實(shí)數(shù)的取值范圍為法2：不猜測(cè)直接用最值法令，那么，令，得當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，所以在上遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，在上恒成立當(dāng)，即時(shí)，在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)取到最小值，于是設(shè)，那么，所以函數(shù)在上遞減，所以，即，所以不恒成立綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為2設(shè)，比擬與的大小，并加以證明2，比擬結(jié)果為：證明如下上述不等式等價(jià)于為證明該式子，我們首先證明法1：在1中取，可得，令，可得令可得，相加可得，命題獲證法2：令，那么，構(gòu)造函數(shù)，那么，于是在上遞增，所以，于是下同法1練習(xí)5：函數(shù)其中1假設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線