自動(dòng)控制理論：3第三章 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析-2

1、2022/7/13 二 、 二階系統(tǒng)的時(shí)域分析1. 二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型位置控制系統(tǒng)如下圖所示。(Transient-Response Analysis and Steady-State Error Analysis of Second-order Systems)二階系統(tǒng)：凡以二階系統(tǒng)微分方程作為運(yùn)動(dòng)方程的控制系統(tǒng)。位置控制系統(tǒng)原理圖2022/7/13該系統(tǒng)的任務(wù)：控制機(jī)械負(fù)載的位置。使其與參考位置相協(xié)調(diào)。工作原理：用一對電位計(jì)作系統(tǒng)的誤差測量裝置，它們可以將輸入和輸出位置信號(hào)，轉(zhuǎn)換為與位置成正比的電信號(hào)。輸入電位計(jì)電刷臂的角位置， 由控制輸入信號(hào)確定, 角位置就是系統(tǒng)的參考輸入量，而電刷臂上

2、的電位與電刷臂的角位置成正比，輸出電位計(jì)電刷臂的角位置， 由輸出軸的位置確定。 2022/7/13電位差就是誤差信號(hào)。 橋式電位器的傳遞函數(shù)該信號(hào)被增益常數(shù)為 的放大器放大， 應(yīng)具有很高的輸入阻抗和很低的輸出阻抗）放大器的輸出電壓作用到直流電動(dòng)機(jī)的電樞電路上。電動(dòng)機(jī)激磁繞組上加有固定電壓。如果出現(xiàn)誤差信號(hào)，電動(dòng)機(jī)就產(chǎn)生力矩以轉(zhuǎn)動(dòng)輸出負(fù)載，并使誤差信號(hào)減少到零。 2022/7/13(3)當(dāng)激磁電流固定時(shí)，電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的力矩（電磁轉(zhuǎn)距）為： 電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù)為電樞電流對于電樞電路電動(dòng)機(jī)電樞繞組的電感和電阻。電動(dòng)機(jī)的反電勢常數(shù)，電動(dòng)機(jī)的軸的角位移。電動(dòng)機(jī)的力矩平衡方程為： (1)(2)(3)J:為電動(dòng)

3、機(jī)負(fù)載和齒輪傳動(dòng)裝置，折合到電動(dòng)機(jī)軸上的組合轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。f:為電動(dòng)機(jī)負(fù)載和齒輪傳動(dòng)裝置，折合到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)。(4)2022/7/13據(jù)方程(1) (2) (3) (4)可畫出系統(tǒng)方框圖如下:(5)開環(huán)傳遞函數(shù)：2022/7/13(5)如略去電樞電感(6)增益阻尼系數(shù)，由于電動(dòng)機(jī)反電勢 的存在，增大了系統(tǒng)的粘性摩擦。開環(huán)增益機(jī)電時(shí)間常數(shù)2022/7/13不考慮負(fù)載力矩，隨動(dòng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)簡化為：(7)相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 為了使研究的結(jié)果具有普遍意義，可將式（7）表示為如下標(biāo)準(zhǔn)形式（9）自然頻率（或無阻尼振蕩頻率）阻尼比（相對阻尼系數(shù)）(8)2022/7/13 2、 二階系統(tǒng)的時(shí)域分

4、析(Transient-Response Analysis and Steady-State Error Analysis of Second-order Systems)二階系統(tǒng)：凡以二階系統(tǒng)微分方程作為運(yùn)動(dòng)方程的控制系統(tǒng)。2022/7/13(10)(11)標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，可以用 和 加以描述,二階系統(tǒng)的特征方程： 2022/7/13 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)(Unit-Step Response of Second-Order Systems)兩個(gè)正實(shí)部的特征根 ,發(fā)散,負(fù)阻尼 ，共扼復(fù)根，位于左半S平面，欠阻尼系統(tǒng)兩個(gè)相等的負(fù)根，臨界阻尼，兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，過阻尼，虛軸上，瞬態(tài)響

5、應(yīng)變?yōu)榈确袷帲?無阻尼2022/7/13(1)過阻尼( ) 2022/7/13(3)過阻尼( ) （16）2022/7/13響應(yīng)曲線： 1時(shí)的近似處理：此時(shí)可近似地等效為具有時(shí)間常數(shù)為 的一階系統(tǒng)。時(shí)域響應(yīng)式為：調(diào)節(jié)時(shí)間為：響應(yīng)特點(diǎn)：單調(diào)上升，無振蕩和超調(diào)2022/7/13臨界阻尼情況下的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)稱為臨界阻尼響應(yīng)（15）(2)臨界阻尼( )2022/7/13當(dāng) 時(shí)，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為1的無超調(diào)單調(diào)上升過程， 響應(yīng)曲線 如右圖： 響應(yīng)過程單調(diào)上升，與過阻尼一樣，無超調(diào)，但它是這一類響應(yīng)中最快的，調(diào)節(jié)時(shí)間為 ：(2)臨界阻尼( )2022/7/13令衰減系數(shù)阻尼振蕩頻

6、率，由式（9）得 (3)欠阻尼( )二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)1圖3-172022/7/13對上式取拉氏反變換，得單位階躍響應(yīng)為：瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量(3)欠阻尼( )二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)1圖3-172022/7/13穩(wěn)態(tài)分量為1，表明圖系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差，瞬態(tài)分量為阻尼正弦振蕩項(xiàng)，其振蕩頻率為響應(yīng)特點(diǎn)：振蕩衰減，必有超調(diào)2022/7/13包絡(luò)線決定收斂速度這是一條由欠阻尼系統(tǒng)的各個(gè)峰值聯(lián)絡(luò)而成的指數(shù)曲線2022/7/13（4）零阻尼（=0）單位階躍響應(yīng)拉氏變換：時(shí)域響應(yīng)式： 系統(tǒng)處于無阻尼振蕩狀態(tài)，暫態(tài)響應(yīng)為恒定振幅的周期函數(shù)，頻率為n(也稱為無阻尼自然振蕩角頻率)。 2

7、022/7/13取不同值（ 0）時(shí)二階系統(tǒng)的位階躍響應(yīng)的曲線 2022/7/13響應(yīng)曲線的特征：1、 =0時(shí)，等幅振蕩； 2、0 1時(shí)， 越大，曲線單調(diào)上升過程越緩慢； 5、-1 0時(shí)，振蕩發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 6、 -1時(shí)，單調(diào)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。2022/7/13不同時(shí)典型二階系統(tǒng)特征方程根、特征根在S平面上的位置及單位階躍響應(yīng)曲線。2022/7/133、 二階系統(tǒng)欠阻尼情況的階躍響應(yīng)性能指標(biāo)在控制工程中，除了那些不容許產(chǎn)生振蕩響應(yīng)的系統(tǒng)外，通常都希望控制系統(tǒng)具有適度的阻尼、快速的響應(yīng)速度和較短的調(diào)節(jié)時(shí)間。 二階系統(tǒng)一般取2022/7/13欠阻尼系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 令在較大的 值范圍內(nèi)，近似有 （

8、17）時(shí)，亦可用（18） （1）延遲時(shí)間 2022/7/13 求得： （19）一定，即一定， ,響應(yīng)速度越快 （2）上升時(shí)間（12）2022/7/13 因?yàn)?(峰值時(shí)間pt對式（12）求導(dǎo)，并令其為零，求得（12） （3）2022/7/13 根據(jù)峰值時(shí)間定義，應(yīng)取 （3）峰值時(shí)間（20）pt（閉環(huán)極點(diǎn)離負(fù)實(shí)軸的距離越遠(yuǎn)）一定時(shí)，nwx響應(yīng)速度越快2022/7/13（4）超調(diào)量Mp （ % ） 將tp帶入二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達(dá)式，可得：超調(diào)量Mp僅與有關(guān)。2022/7/13（4）超調(diào)量2022/7/13（5）調(diào)節(jié)時(shí)間ts 根據(jù)ts的定義，并借助二階系統(tǒng)欠阻尼衰減正弦包絡(luò)線圖進(jìn)行近似計(jì)算，可得：當(dāng)0 0.8時(shí)，通常使用以下近似式：2022/7/13例題9例9:設(shè)控制系統(tǒng)的方框圖如3-26圖所示，當(dāng)有單位階躍信號(hào)作用于系統(tǒng)時(shí)，試求系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)tr、tp、ts和 %。2022/7/13解 求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 因此有 上升時(shí)間tr： 峰值時(shí)間tp ： 超調(diào)量 % ：調(diào)節(jié)時(shí)間ts ：2022/7/13例10解 （1）求出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：因此有：如3-27圖所示的單位反饋隨動(dòng)系