信號分析與處理：第3章 連續(xù)時(shí)間信號與系統(tǒng)的頻域分析1

1、第3章 連續(xù)時(shí)間信號與系統(tǒng)的頻域分析3.1周期信號的傅里葉級數(shù)3.2連續(xù)時(shí)間非周期信號的傅里葉變換3.3傅里葉變換的性質(zhì)3.4周期信號的傅里葉變換3.5連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻域分析3.6連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域抽樣定理3.7連續(xù)系統(tǒng)頻域分析的MATLAB實(shí)現(xiàn)3.1 周期信號的傅里葉級數(shù)傅里葉生平1768年生于法國1807年提出“任何周期信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示”拉格朗日反對發(fā)表1822年首次發(fā)表在“熱的分析理論”一書中1829年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示 傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和3.1 周期信號的傅里葉級數(shù)傅里葉分析的工

2、程意義各種頻率的正弦信號的產(chǎn)生、傳輸、分離和變換容易工程實(shí)現(xiàn)。正弦量只需三要素即可描述，LTI系統(tǒng)的輸入和輸出的差別只有兩要素，即系統(tǒng)的作用只改變信號的振幅和相位。 是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，響應(yīng)易求且簡單。1、傅里葉分析的基本信號單元3.1 周期信號的傅里葉級數(shù)2、適用于廣泛的信號 由虛指數(shù)或正弦信號的線性組合可以組成工程中各種信號，使得對任意信號作用下的LTI系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析成為一件容易的事情。利于濾波、壓縮處理。3.1 周期信號的傅里葉級數(shù)3、頻域分析的優(yōu)勢任意信號分解成不同頻率虛指數(shù)（正弦）信號的線性組合，分析LTI系統(tǒng)對這些不同頻率單元信號作用的響應(yīng)特性的過程就是頻域分析。頻率分析可以

3、方便求解系統(tǒng)響應(yīng)。 例如相量法。頻域分析的結(jié)果具有明顯的物理意義，例如抽樣定理和無失真?zhèn)鬏敻拍疃际穷l域分析的結(jié)果?？芍苯釉陬l域內(nèi)設(shè)計(jì)可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，例如濾波器的設(shè)計(jì)。周期信號滿足狄里赫利條件時(shí)：1、在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)間斷點(diǎn)；2、在一個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)；3、在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)絕對可積，即才能展開為傅里葉級數(shù)。3.1 周期信號的傅里葉級數(shù)完備正交函數(shù)集:三角函數(shù)集1，cos(nt)，sin (nt)，n=1,2, 虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，是兩組典型的在區(qū)間( t0，t0+T1 ) (T1=2/ )上的完備正交函數(shù)集。3.1.1 周期信號的傅里葉級數(shù)1、傅里葉級數(shù)的三角形式設(shè)周期信

4、號x(t)，其周期為T1，角頻率1=2 /T1，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三角級數(shù) 稱為x(t)的傅里葉級數(shù) 系數(shù)ak , bk稱為傅里葉系數(shù) 可見， ak 是k的偶函數(shù)， bk是k的奇函數(shù)。2.2 周期信號的傅里葉分析三角函數(shù)的傅里葉級數(shù)直流分量基波分量k =1 諧波分量k1式中，A0 = a0上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。 其中， A0/2為直流分量； A1cos(1t+1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號相同； A2cos(2 1t +2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；一般而言，Akcos(k 1t+k)稱為k次諧波。 可見

5、Ak是k的偶函數(shù)， k 是k的奇函數(shù)。ak = Akcosk， bk = Aksin k，k=1,2,將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫為2.2 周期信號的傅里葉分析對應(yīng)系數(shù)幅度譜相位譜 周期函數(shù)的頻譜周期信號的譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率處；頻譜特點(diǎn)：離散性、諧波性、收斂性；直觀看出：各分量的大小，各分量的頻移。Ak幅度譜相位譜譜線包絡(luò)線2、波形的對稱性與諧波特性(1) x(t)為偶函數(shù)對稱縱坐標(biāo)(2) x(t)為奇函數(shù)對稱于原點(diǎn)傅里葉級數(shù)中不含正弦項(xiàng)，只含直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)。傅里葉級數(shù)中只含正弦項(xiàng)。2.2 周期信號的傅里葉分析實(shí)際上，任意函數(shù)x( t )都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即 x(t)

6、 = xod( t ) + xev( t ) 由于x( -t ) = xod( -t ) + xev( -t ) = -xod( t ) + xev( t ) 所以 (3) x(t)為奇諧函數(shù)x(t) = x(tT/2)若波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期并相對于該軸上下反轉(zhuǎn)，此時(shí)波形并不發(fā)生變化。2.2 周期信號的傅里葉分析其傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量，即 a0=a2=b2=b4=0 (4) x( t )為偶諧函數(shù)x( t ) = x( tT/2)x( t )的傅氏級數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量即 a1=a3=b1=b3=0 2.2 周期信號的傅里葉分析2、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形

7、式三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪?cosx=(ejx + ejx)/2 2.2 周期信號的傅里葉分析由前知引入了負(fù)頻率其中由歐拉公式指數(shù)級數(shù)2.2 周期信號的傅里葉分析由前知引入了負(fù)頻率其中由歐拉公式指數(shù)級數(shù)2.2 周期信號的傅里葉分析表明：任意周期信號x( t )可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和。 X0 = a0/2為直流分量。稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。 (k = 0, 1, 2，) 兩種傅氏級數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系: 2.2 周期信號的傅里葉分析3、三角形式與指數(shù)形式的比較三角形式便于電路計(jì)算，便于對稱性

8、分析指數(shù)形式是本課程研究的主要形式 k = 0, 1, 2， 指數(shù)形式的優(yōu)勢可推出傅里葉變換 表達(dá)最簡練 代表頻譜2.2 周期信號的傅里葉分析2.2 周期信號的傅里葉分析3.1.2 周期信號的頻譜 從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。 周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即 將Ak和k的關(guān)系分別畫在以為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因?yàn)閗0，所以稱這種頻譜為單邊譜。 也可畫|Xk|和k的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Xk為實(shí)數(shù)，也可直接畫Xk 。2.2 周期信號的傅里葉分析1、周期矩形脈沖

9、信號的頻譜周期矩形脈沖信號的脈沖寬度為，脈沖幅度為E，周期為T1，求頻譜。 EE 抽樣信號(抽樣函數(shù)）抽樣信號的數(shù)學(xué)描述：2.1 連續(xù)時(shí)間信號的時(shí)域分析2.2 周期信號的傅里葉分析離散頻譜，譜線間隔為基波頻率，脈沖周期越大，譜線越密；各分量的大小與脈幅成正比，與脈寬成正比，與周期成反比；各譜線的幅度按 包絡(luò)線變化；過零點(diǎn)為： ；主要能量在第一過零點(diǎn)內(nèi)。主頻帶寬度為：周期矩形脈沖信號頻譜的特點(diǎn)E2.2 周期信號的傅里葉分析譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：(a) T1一定，變小，此時(shí)1（譜線間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目增多。周期不變時(shí)，脈沖寬度越窄，其頻譜包絡(luò)線第一個(gè)零值點(diǎn)的頻率越高，即信號的帶寬

10、越大，頻帶內(nèi)所含的分量越多 。過零點(diǎn)2.2 周期信號的傅里葉分析如果周期無限增長（這時(shí)就成為非周期信號），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。 (b) 一定，T1增大，間隔1減小，頻譜變密。幅度減小。2.2 周期信號的傅里葉分析2、周期三角脈沖信號的頻譜周期信號頻譜圖特點(diǎn)：1）離散性；2）諧波性；3）收斂性。傅立葉級數(shù)的主要性質(zhì)若 ， ，則傅立葉級數(shù)的主要性質(zhì)若 ， ，則（1）（2）（3）例 已知x(t)的波形如下圖所示，試求其傅立葉級數(shù)表示式。解法一 直接利用定義求解解法二 利用傅立葉級數(shù)微積分性質(zhì)求解解法三 利用單周期傅

11、立葉變換和周期信號傅立葉級數(shù)的關(guān)系求解截取x(t)一個(gè)周期的信號x1(t)，不妨令例 已知下圖單位沖激序列 試求其傅立葉級數(shù)及頻譜。解解：例：求下圖周期矩形信號的傅立葉級數(shù)。3.2 非周期信號的傅里葉變換3.2.1 從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換 非周期信號x(t)可看成是周期T1時(shí)的周期信號。 前已指出當(dāng)周期T1趨近于無窮大時(shí)，譜線間隔1趨近于無窮小，從而信號的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之間仍有差別。 為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令 (單位頻率上的頻譜） 稱X()為頻譜密度函數(shù)。頻譜演變的定性觀察-T/2T/2T/2-T/2時(shí)限信號當(dāng)

12、周期信號的周期T趨于時(shí), 就演變成非周期信號 。頻率也變成連續(xù)變量。對周期信號從傅立葉級數(shù)到傅立葉變換傅立葉變換傅立葉逆變換頻譜密度傅立葉變換傅立葉逆變換X()稱為x(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。x(t)稱為X()的傅里葉反變換或原函數(shù)。與 之間的關(guān)系： 周期信號的頻譜是非周期信號頻譜的抽樣；而非周期信號的頻譜是周期信號頻譜的包絡(luò)。從物理意義來討論非周期FTX()是一個(gè)密度函數(shù)的概念X() 是一個(gè)連續(xù)譜X() 包含了從零到無限高頻的所有頻率分量各頻率分量的頻率不成諧波關(guān)系或 x(t) X()傅立葉變換也可簡記為：X( )一般是復(fù)函數(shù)，寫為說明： (1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步

13、驟。可證明，函數(shù)x( t )的傅里葉變換存在的充分條件:(2)用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分。|X()|幅度譜 ()相位譜非周期信號的幅度頻譜是頻率的連續(xù)函數(shù)，其形狀與相應(yīng)周期信號頻譜的包絡(luò)線相同。 1. 矩形脈沖信號 （門函數(shù)） 周期信號的頻譜：AAA3.2.2 典型非周期信號的頻譜2. 單邊指數(shù)信號 x( t ) = eat(t)， a0實(shí)數(shù) f (t)0t0雙邊指數(shù)信號a為正實(shí)數(shù)3. 符號函數(shù) 4. 單位沖激信號 5. 直流信號(t)1代入反變換定義式，有將t，t-再根據(jù)傅里葉變換定義式 沖激偶的傅立葉變換有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如1，( t ) 等，但傅里葉變換卻存在。直

14、接用定義式不好求解。 可構(gòu)造一函數(shù)序列xn( t )逼近x ( t ) ，即而xn( t )滿足絕對可積條件，并且xn( t )的傅里葉變換所形成的序列Xn( )是極限收斂的。則可定義x(t)的傅里葉變換X ()為這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。 廣義傅里葉變換6. 單位階躍信號的傅立葉變換歸納記憶：1. 傅氏變換對2. 常用函數(shù) F 變換對：(t)(t) e -at(t) g(t) sgn (t) e a|t| 1 12()3.3 傅里葉變換的性質(zhì)1. 線性(Linear Property)若則對于任意常數(shù)a1和a2，有 證明: F a1 x1(t) + a2 x2(t)= a1

15、X1() + a2 X2() For example X() = ?Ans: x (t) = x1(t) g2(t)x1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() X() = 2() - 2Sa()-若 x ( t ) X() 則其中“ t0” 為實(shí)常數(shù)。證明： F x (t t0 ) 2. 時(shí)移性質(zhì)(Timeshifting Property) 時(shí)移性質(zhì)表明，信號在時(shí)間軸上的移位，其頻譜函數(shù)的幅度譜不變，而相位譜產(chǎn)生附加相移 。For example 1 X() = ?Ans: x1( t ) = g6(t - 5) , x2( t ) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t

16、 - 5) X() =+For example 2若 x (t) X() 則證明：其中 “0” 為實(shí)常數(shù)。F e j0t x(t)= X(-0) end3. 頻移性質(zhì)(Frequency Shifting Property)頻移性質(zhì)表明，若要使一個(gè)信號的頻譜在頻率軸上右移 單位，在時(shí)域就對應(yīng)于其時(shí)間信號x( t )乘以 。 For example 1x( t ) = ej3t X() = ?Ans: 1 2() ej3t 1 2(-3)For example 2x( t ) = cos0t X() = ?Ans:X() = (+0)+ (-0)x( t ) =sin（ 0t ） X() = ?

17、j(+0) -(-0)For example 3Given that x( t ) X() The modulated signal x( t ) cos0t ? Ans: For example 4Given that ( t ) The modulated signal ( t ) cos0t ? Ans: 4. 尺度變換性質(zhì)(Scaling Transform Property)若 x (t) X() 則 其中 “a” 為不等于零的實(shí)常數(shù)。證明：F x (a t ) =For a 0F x (a t ) for a 0F x (a t ) That is ,如果 a = -1,有x (-

18、 t ) X( -) 若要壓縮信號持續(xù)時(shí)間，提高通信速率，則不得不以展寬頻帶作代價(jià)。For example 尺度變換性質(zhì)表明，時(shí)域信號的壓縮與擴(kuò)展，對應(yīng)于頻域頻譜函數(shù)的擴(kuò)展與壓縮。 若a 0） 的傅里葉變換。For example 2求信號 的傅里葉變換。For example 3For example 4時(shí)域有限，頻域無限；時(shí)域無限，頻域有限。10000若f(t)為偶函數(shù)，則時(shí)域和頻域完全對稱若f(t)為偶函數(shù)，則時(shí)域和頻域完全對稱6. 時(shí)域卷積（Convolution in time domain）：If x1(t) X1()， x2(t) X2()Then x1(t)*x2(t) X1(

19、) X2()7. 頻域卷積（Convolution in frequency domain）：If x1(t) X1()， x2(t) X2()Then x1(t) x2(t) X1() * X2()證明： F x1(t)*x2(t) =利用時(shí)移性質(zhì)，所以 F x1(t)*x2(t) = X1()X2()已知為矩形脈沖信號,求的傅里葉變換。根據(jù)時(shí)域卷積定理，有的傅里葉變換為門函數(shù)其實(shí)，y(t) 是脈寬為2、脈高為的三角脈沖。For example 1Ans:For example 2Ans:利用對偶性，F(xiàn)or example 3調(diào)制解調(diào)2.3 非周期信號的傅里葉變換x( t )例：求余弦脈沖的

20、頻譜相乘卷積乘FTFT卷8. 時(shí)域微分(Differentiation in time domain)證明：若 則 兩邊對t求導(dǎo)，得 所以 x( t )= 1/t2 ?For example 1Ans:對偶性質(zhì)微分性質(zhì)For example 2Determine x ( t ) X ()Ans:X(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)X2()= F x(t) = (j )2 X ()= e j2 2 + e j2= 2 cos(2) 2 X () =利用傅里葉變換的性質(zhì)求解下圖各信號的傅里葉變換。def證明：9. 時(shí)域積分性質(zhì)例：用FT積分特性求階躍的FT解：傅立葉變換性質(zhì) 頻域微

21、分與積分特性10.帕塞瓦爾定理該性質(zhì)表明，對于非周期信號，在時(shí)域中求得的信號能量與頻域中求得的信號能量相等。作業(yè)3-3 （c）3-43-5 （1）3-7 3-8方法一：在頻域上直接計(jì)算；方法二：將 變?yōu)?，在時(shí)域上求出 的傅立葉變換，再用對偶性 求出 。 逆傅里葉變換(補(bǔ)充）例 的模與相位特性如圖所示，求 的 傅立葉逆變換 。解:法一 利用頻域微積分性質(zhì)。利用頻域微積分性質(zhì)：利用時(shí)域微分性質(zhì)：解法二 利用對偶性和時(shí)域微分性質(zhì)。由對偶定理，有例 求下列各式中 的傅立葉逆變換 。解（a）解（b）求下列信號的逆變換3.4 周期信號的傅里葉變換1. 正、余弦信號的傅里葉變換 12()由頻移特性得 e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) (0 ) +(+0 )sin(0t )= (e j 0 t - e j 0 t )/