概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件：第8講 第三章 隨機(jī)向量

1、 第三章 隨機(jī)向量 有些隨機(jī)現(xiàn)象只用一個(gè)隨機(jī)變量來描述是不夠的，需要用幾個(gè)隨機(jī)變量來同時(shí)描述。3. 導(dǎo)彈在空中位置坐標(biāo) (X, Y, Z)。1. 某人體檢數(shù)據(jù)血壓X和心律Y；例如：2. 鋼的基本指標(biāo)含碳量 X，含硫量 Y和 硬度 Z ； 一般地, 將隨機(jī)試驗(yàn)涉及到的 n 個(gè)隨機(jī)量 X1, X2 , , Xn 放在一起，記成 (X1, X2 , , Xn )，稱 n 維隨機(jī)向量 (或變量)。 由于從二維隨機(jī)向量推廣到多維隨機(jī)向量并無實(shí)質(zhì)性困難，所以，我們著重討論二維隨機(jī)向量。3.1 二維隨機(jī)向量及其分布函數(shù) 設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為，X=X()與Y= Y()是定義在上的兩個(gè)隨機(jī)變量, 由它們構(gòu)成的向

2、量 (X, Y) 稱為二維隨機(jī)向量。 二維隨機(jī)向量(X, Y)的性質(zhì)不僅與X 和Y 的性質(zhì)有關(guān)，而且還依賴于X和Y之間的相互關(guān)系。因此，必須把(X, Y)作為一個(gè)整體來看待，加以研究。 為此，首先引入二維隨機(jī)向量(X, Y)的分布函數(shù)的概念。定義:二維隨機(jī)向量(X, Y) 的聯(lián)合分布函數(shù)為取定x0,y0R =(-,), F(x0,y0)就是點(diǎn)(X,Y)落在平面上，以(x0,y0)為頂點(diǎn)，且位于該點(diǎn)左下方無限矩形區(qū)域上的概率。 如果將 (X, Y) 看成平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)。 由上面的幾何解釋，易見: 隨機(jī)點(diǎn)(X, Y)落在矩形區(qū)域: x1xx2, y1yy2內(nèi)的概率為 Px1Xx2 , y1Yy

3、2=F(x2, y2)-F(x2, y1)- F(x1, y2)+F(x1, y1).說明二維分布函數(shù) F(x, y)的三條基本性質(zhì)(1).F(x, y)是變量 x,y 的非減函數(shù)； 即 yR 給定，當(dāng) x1 x2 時(shí)， F(x1, y)F(x2, y). 同樣, xR 給定，當(dāng)y1y2時(shí), F(x, y1)F(x, y2).(2).x, yR, 有 0F(x, y)1； (3). yR, F(-, y)=0， xR, F(x, -)=0， F(-, -)=0，F(xiàn)(, )=1.其中3.2 二維離散型隨機(jī)向量 如果隨機(jī)向量 (X, Y) 的每個(gè)分量都是離散型隨機(jī)變量，則稱 (X, Y) 是二維離

4、散型隨機(jī)向量。 二維離散型隨機(jī)向量 (X, Y) 所有可能取的值也是有限個(gè)，或可列無窮個(gè)。離散型隨機(jī)變量 X 的概率分布: 離散型隨機(jī)向量 (X, Y) 的聯(lián)合概率分布: 聯(lián)合概率分布也可以用表格表示。 表3.2.1 二維離散型隨機(jī)向量的聯(lián)合概率分布與聯(lián)合分布函數(shù) 設(shè)二維離散型隨機(jī)向量 (X, Y) 的聯(lián)合概率分布為 pij， i=1, 2, , j=1, 2, .于是, (X, Y) 的聯(lián)合分布函數(shù)為例1：設(shè)有10件產(chǎn)品，其中7件正品，3件次品?，F(xiàn)從中任取兩次，每次取一件，取后不放回。 令: X=1：若第一次取到的產(chǎn)品是次品， X=0：若第一次取到的產(chǎn)品是正品， Y=1：若第二次取到的產(chǎn)品是

5、次品， Y=0：若第二次取到的產(chǎn)品是正品。求: 二維隨機(jī)向量(X, Y)的概率分布。解：(X,Y)所有可能取的值是： (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)。PX=0,Y=0=P第一次取正品,第二次取正品,利用古典概型，得： PX=0,Y=0=(76)/(109)=7/15。同理，得 PX=0,Y=1=(73)/(109)=7/30, PX=1,Y=0=(37)/(109)=7/30, PX=1,Y=1=(32)/(109)=1/15。例2：為了進(jìn)行吸煙與肺癌關(guān)系的研究，隨機(jī)調(diào)查了23000個(gè)40歲以上的人，其結(jié)果列在下表之中。X=1若被調(diào)查者不吸煙，X=0若被調(diào)查者吸煙，Y=1若被調(diào)

6、查者未患肺癌，Y=0若被調(diào)查者患肺癌。從表中各種情況出現(xiàn)的次數(shù)，計(jì)算各種情況出現(xiàn)的頻率，就產(chǎn)生了二維隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布: PX=0,Y=03/23000=0.00013, PX=1,Y=01/23000=0.00004, PX=0,Y=14597/23000=0.19987, PX=1,Y=118399/23000=0.79996。3.3.1 概率密度 設(shè)二維隨機(jī)向量(X, Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x, y)，如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)f(x,y),使得對(duì)任意實(shí)數(shù) x,y, 有則稱(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)向量,f(x,y)為(X,Y)的概率密度函數(shù), 簡稱概率密度。.3.3 二維連續(xù)型隨機(jī)向

7、量連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度: 連續(xù)型隨機(jī)向量 (X,Y) 的聯(lián)合概率密度: 對(duì)連續(xù)型隨機(jī)向量 (X,Y)，聯(lián)合概率密度與分布函數(shù)關(guān)系如下：在 f (x, y)的連續(xù)點(diǎn)；解: (1). 由例 1：設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為其中A是常數(shù)。(1).求常數(shù)A；(2).求(X,Y)的分布函數(shù)；(3).計(jì)算 P0X4, 0Y5。(3). P0X4, 0Y53.3.2 均勻分布 定義: 設(shè)D是平面上的有界區(qū)域,其面積為d,若二維隨機(jī)向量(X, Y)的聯(lián)合概率密度為:則稱(X,Y)為服從 D上的均勻分布。 (X,Y)落在 D中某一區(qū)域A內(nèi)的概率 P(X,Y) A,與 A 的面積成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)。P(X, Y)A=A的面積/d.解: 例2：設(shè)(X, Y)服從圓域 x2+y24上的均勻分布，計(jì)算P(X,Y)A，這里A是中陰影部分的區(qū)域。 圓域 x2+y24面積 d=4；區(qū)域A是x=0, y=0 和 x+y=1 三條直線所圍成的三角區(qū)域，并且包含在圓域x2+y24 之內(nèi)，面積=0.5。故， P(X,Y)A=0.5/4=1/8。 若二維隨機(jī)向量(X,Y)有聯(lián)合概率密度3.3.3 二維正態(tài)分布正態(tài)分布(X,