高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題技巧方法總結(jié)高考-學(xué)生版

1、-. z.高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、. 函數(shù)的三要素是什么？如何比擬兩個(gè)函數(shù)是否一樣？ 定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域一樣函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式一樣；定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)二、. 求函數(shù)的定義域有哪些常見(jiàn)類型？函數(shù)定義域求法：分式中的分母不為零；偶次方根下的數(shù)或式大于或等于零；指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一；對(duì)數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一，真數(shù)大于零。正切函數(shù)當(dāng)以上幾個(gè)方面有兩個(gè)或兩個(gè)以上同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，先分別求出滿足每一個(gè)條件的自變量的*圍，再取他們的交集，就得到函數(shù)的定義域。三、. 如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？義域是_。 復(fù)合函數(shù)定義域的求法：的定義域?yàn)?，求的定義域，可由解出*的*圍，即為的定義域。

2、例 假設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椤Ｋ?、函?shù)值域的求法1、直接觀察法對(duì)于一些比擬簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過(guò)觀察得到。例 求函數(shù)y=的值域2、配方法配方法是求二次函數(shù)值域最根本的方法之一。例、求函數(shù)y=-2*+5，*-1，2的值域。3、判別式法對(duì)二次函數(shù)或者分式函數(shù)分子或分母中有一個(gè)是二次都可通用，但這類題型有時(shí)也可以用其他方法進(jìn)展化簡(jiǎn)，不必拘泥在判別式上面4、反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過(guò)求其原函數(shù)的定義域來(lái)確定原函數(shù)的值域。例 求函數(shù)y=值域。5、函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，來(lái)確定函數(shù)的值域。我們所說(shuō)的單調(diào)性，最常用的就是三角函數(shù)的單調(diào)性。例 求

3、函數(shù)y=，的值域。6、函數(shù)單調(diào)性法 通常和導(dǎo)數(shù)結(jié)合，是最近高考考的較多的一個(gè)內(nèi)容例求函數(shù)y=2*10的值域7、換元法通過(guò)簡(jiǎn)單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。例 求函數(shù)y=*+的值域。8 數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的*種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這類題目假設(shè)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會(huì)更加簡(jiǎn)單，一目了然，賞心悅目。例：點(diǎn)P*.y在圓*2+y2=1上，例求函數(shù)y=+的值域。例求函數(shù)y=+ 的值域9 、不等式法利用根本不等式a+b2，a+b+c3a，b，c，求函數(shù)的最

4、值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。例：10.倒數(shù)法有時(shí)，直接看不出函數(shù)的值域時(shí)，把它倒過(guò)來(lái)之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)另一番境況例 求函數(shù)y=的值域多種方法綜合運(yùn)用總之，在具體求*個(gè)函數(shù)的值域時(shí)，首先要仔細(xì)、認(rèn)真觀察其題型特征，然后再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ话銉?yōu)先考慮直接法，函數(shù)單調(diào)性法和根本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。五、. 如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？ 取值、作差、判正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有三種：(1)定義法：根據(jù)定義，設(shè)任意得*1,*2，找出f(*1),f(*2)之間的大小關(guān)系可以變形為求的正負(fù)號(hào)或者與1的關(guān)系(2)

5、參照?qǐng)D象：假設(shè)函數(shù)f(*)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱，函數(shù)f(*)在關(guān)于點(diǎn)(a，0)的對(duì)稱區(qū)間具有一樣的單調(diào)性； 特例：奇函數(shù)假設(shè)函數(shù)f(*)的圖象關(guān)于直線*a對(duì)稱，則函數(shù)f(*)在關(guān)于點(diǎn)(a，0)的對(duì)稱區(qū)間里具有相反的單調(diào)性。特例：偶函數(shù)(3)利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)f(*)與f(*)c(c是常數(shù))是同向變化的函數(shù)f(*)與cf(*)(c是常數(shù))，當(dāng)c0時(shí)，它們是同向變化的；當(dāng)c0時(shí)，它們是反向變化的。如果函數(shù)f1(*)，f2(*)同向變化，則函數(shù)f1(*)f2(*)和它們同向變化；函數(shù)相加如果正值函數(shù)f1(*)，f2(*)同向變化，則函數(shù)f1(*)f2(*)和它們同向變化；如果負(fù)值函數(shù)f1

6、(2)與f2(*)同向變化，則函數(shù)f1(*)f2(*)和它們反向變化；函數(shù)相乘函數(shù)f(*)與在f(*)的同號(hào)區(qū)間里反向變化。假設(shè)函數(shù)u(*)，*，與函數(shù)yF(u)，u()，()或u(),()同向變化，則在，上復(fù)合函數(shù)yF(*)是遞增的；假設(shè)函數(shù)u(*),*，與函數(shù)yF(u)，u()，()或u()，()反向變化，則在，上復(fù)合函數(shù)yF(*)是遞減的。同增異減f(g)g(*)fg(*)f(*)+g(*)f(*)*g(*) 都是正數(shù)增增增增增增減減/減增減/減減增減減六、.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？值是 七、 函數(shù)f(*)具有奇偶性的必要非充分條件是什么？ f(*)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 注意如下結(jié)論

7、： 1在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。八.判斷函數(shù)奇偶性的方法1、定義域法一個(gè)函數(shù)是奇偶函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它是函數(shù)為奇偶函數(shù)的必要條件.假設(shè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).奇偶函數(shù)定義法在給定函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，計(jì)算，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷其奇偶性.復(fù)合函數(shù)奇偶性f(g)g(*)fg(*)f(*)+g(*)f(*)*g(*)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶九、. 你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？函數(shù)，T是一個(gè)周期。我們?cè)谧鲱}的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況：告訴你f

8、(*)+f(*+t)=0,我們要馬上反響過(guò)來(lái)，這時(shí)說(shuō)這個(gè)函數(shù)周期2t. 推導(dǎo)：，同時(shí)可能也會(huì)遇到這種樣子：f(*)=f(2a-*),或者說(shuō)f(a-*)=f(a+*).其實(shí)這都是說(shuō)同樣一個(gè)意思：函數(shù)f(*)關(guān)于直線對(duì)稱， 對(duì)稱軸可以由括號(hào)內(nèi)的2個(gè)數(shù)字相加再除以2得到。比方，f(*)=f(2a-*),或者說(shuō)f(a-*)=f(a+*)就都表示函數(shù)關(guān)于直線*=a對(duì)稱。如：十. 你掌握常用的圖象變換了嗎？ 聯(lián)想點(diǎn)*,y,(-*,y) 聯(lián)想點(diǎn)*,y,(*,-y) 聯(lián)想點(diǎn)*,y,(-*,-y) 聯(lián)想點(diǎn)*,y,(y,*) 聯(lián)想點(diǎn)*,y,(2a-*,y) 聯(lián)想點(diǎn)*,y,(2a-*,0) 注意如下“翻折變換：十一

9、、 你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？(k為斜率，b為直線與y軸的交點(diǎn))的雙曲線。 應(yīng)用：“三個(gè)二次二次函數(shù)、二次方程、二次不等式的關(guān)系二次方程求閉區(qū)間m，n上的最值。求區(qū)間定動(dòng)，對(duì)稱軸動(dòng)定的最值問(wèn)題。一元二次方程根的分布問(wèn)題。 由圖象記性質(zhì)！ 注意底數(shù)的限定！ 利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？均值不等式一定要注意等號(hào)成立的條件15. 你在根本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯(cuò)誤嗎？16. 如何解抽象函數(shù)問(wèn)題？ 賦值法、構(gòu)造變換法對(duì)于這種抽象函數(shù)的題目，其實(shí)簡(jiǎn)單得都可以直接用死記了代y=*，令*=0或1來(lái)求出f(0)或f(1)求奇偶性，令y=*；求單調(diào)性：令*+y=*1幾類常見(jiàn)的抽象函數(shù)

10、 正比例函數(shù)型的抽象函數(shù)f*k*k0-f*yf*fy冪函數(shù)型的抽象函數(shù)f*a-f*y f*fy；f指數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f*a*-f*yf*fy；f*y對(duì)數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f*loga*a0且a1-f*yf*fy；f f*fy三角函數(shù)型的抽象函數(shù)f*tg*-f*yf*cot*-f*y例1函數(shù)f*對(duì)任意實(shí)數(shù)*、y均有f*yf*fy，且當(dāng)*0時(shí)，f(*)0，f(1) 2求f(*)在區(qū)間2,1上的值域.分析：先證明函數(shù)f*在R上是增函數(shù)注意到f*2f*2*1*1f*2*1f*1；再根據(jù)區(qū)間求其值域.例2函數(shù)f*對(duì)任意實(shí)數(shù)*、y均有f*y2f*fy，且當(dāng)*0時(shí)，f(*)2，f(3) 5，求不等式 fa2

11、2a20,*N；fab fafb，a、bN；f24.同時(shí)成立？假設(shè)存在，求出f*的解析式，假設(shè)不存在，說(shuō)明理由.分析：先猜出f*2*；再用數(shù)學(xué)歸納法證明.例6設(shè)f*是定義在0，上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f*yf*fy，f31，求：f1；假設(shè)f*f*82，求*的取值*圍.分析：1利用313；2利用函數(shù)的單調(diào)性和關(guān)系式.例7設(shè)函數(shù)y f*的反函數(shù)是yg*.如果fabfafb，則gabgagb是否正確，試說(shuō)明理由.分析：設(shè)fam，fbn，則gma，gnb，進(jìn)而mnfafb fabf gmgn.例8函數(shù)f*的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足以下三個(gè)條件：*1、*2是定義域中的數(shù)時(shí)，有f*1*2；fa 1a0，a是

12、定義域中的一個(gè)數(shù)；當(dāng)0*2a時(shí)，f*0. 試問(wèn)：f*的奇偶性如何？說(shuō)明理由；在0，4a上，f*的單調(diào)性如何？說(shuō)明理由. 分析：1利用f *1*2 f *1*2，判定f*是奇函數(shù)；先證明f*在0，2a上是增函數(shù)，再證明其在2a，4a上也是增函數(shù). 對(duì)于抽象函數(shù)的解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解題意.有些抽象函數(shù)問(wèn)題，對(duì)應(yīng)的特殊模型不是我們熟悉的根本初等函數(shù).因此，針對(duì)不同的函數(shù)要進(jìn)展適當(dāng)變通，去尋求特殊模型，從而更好地解決抽象函數(shù)問(wèn)題.例9函數(shù)f*0滿足f*yf*fy，求證：f1f10；求證：f*為偶函數(shù)；假設(shè)f*在0，上是增函數(shù)，解不等式f*f*0.分析：函數(shù)模型為：f*

13、loga|*|a0先令*y1，再令*y 1；令y 1；由f*為偶函數(shù)，則f*f|*|.例10函數(shù)f*對(duì)一切實(shí)數(shù)*、y滿足f00，f*yf*fy，且當(dāng)*0時(shí)，f*1，求證：當(dāng)*0時(shí)，0f*1；f*在*R上是減函數(shù).分析：1先令*y0得f01，再令y*；受指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的啟發(fā)：由f*yf*fy可得f*y，進(jìn)而由*1*2，有f*1*21.練習(xí)題：1.：f*yf*fy對(duì)任意實(shí)數(shù)*、y都成立，則 Af00 Bf01 Cf00或1 D以上都不對(duì)2. 假設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)*、y總有f*yf*fy，則以下各式中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是 Af10 Bf f* Cf f*fy Df*nnf*nN3.函數(shù)f*對(duì)一切實(shí)數(shù)*、y滿足：f

14、00，f*yf*fy，且當(dāng)*0時(shí)，f*1，則當(dāng)*0時(shí)，f*的取值*圍是 A1， B，1C0，1 D1，4.函數(shù)f*定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)定義域內(nèi)不同的*1、*2都有f*1*2，則f*為 A奇函數(shù)非偶函數(shù) B偶函數(shù)非奇函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D非奇非偶函數(shù)5.不恒為零的函數(shù)f*對(duì)任意實(shí)數(shù)*、y滿足f*yf*y2f*fy，則函數(shù)f*是 A奇函數(shù)非偶函數(shù) B偶函數(shù)非奇函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D非奇非偶函數(shù)函數(shù)典型考題1.假設(shè)函數(shù)為偶函數(shù)，則的值是 A. B. C. D. 2函數(shù)是定義域在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，求滿足的的集合3.假設(shè)f(*)是偶函數(shù)，它在上是減函數(shù),且flg*f(1),則*的取值*圍是 A. (，1) B. (0，)(1，) C. (，10) D. (0，1)(10，)4.假設(shè)a、b是任意實(shí)數(shù)，且ab,則 A. a2b2B. 0 D.5.設(shè)a,b,c都是正數(shù)，且，則以下正確的選項(xiàng)是 (A) (B) (C) (D) 6對(duì)于函數(shù)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；假設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，*數(shù)的取值*圍二次函數(shù)中，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 A 0個(gè) B 1個(gè) C 2個(gè) D 無(wú)法確定8假設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3,則函數(shù)的零點(diǎn)