大學課件電磁學-自感互感以及磁能

1、4.3.1自感流動于閉合回路的含時電流所產(chǎn)生的含時磁通 量，會促使閉合回路本身出現(xiàn)感應(yīng)電動勢一稱為 自感現(xiàn)象，相應(yīng)的感應(yīng)電動勢稱為自感電動勢.自感現(xiàn)象可以明顯看到燈泡A先亮燈泡會短時間更 亮的一閃說明：電感線圈中出現(xiàn)了阻礙線圈中電流變化的自感電動勢.線圈匝數(shù)d屮8 =-d t=-N=-Ndd Id I dt=L屮dt線圈的自感系數(shù)dZ=d IddI自感系數(shù)：等于回路中的電流變化為單位值時, 在回路本身所圍面積內(nèi)引起磁鏈數(shù)的改變值。如果回路的幾何形狀保持不變，而且在它的周圍空間沒有鐵磁性物質(zhì)。單位：亨利(H) lH=lWb/A自感電動勢di L dt0,與I方向相同;若dI0,則 s已知：R“

2、R2,求:一無限長同軸傳輸線（視為 內(nèi)外導體柱殼）單位長度的自感.丿解：H = , B = M d= B dS =-ldr2兀r2龍r2兀r屮凹R2 dryll R?InRi r型 InQ)2n R丄 ln(R)2nRL丿已知：Ri、R2、h、N,求一矩形截面的螺繞環(huán)的自感。解：j H dl = H 2 龍 r 二 NI h = J = NL2乃r2兀rd Q = B dS= N-hdr2兀r1RR1Th1今drd 二 B dS = -hdr,2兀r二yNIh rR2 dr2龍執(zhí)rpNIhInln( R氣 ln( R自感的應(yīng)用口自感現(xiàn)象的應(yīng)用：鎮(zhèn)流器，扼流圈等.口自感也有不利的一面:如大電流的

3、電路拉閘時要小心!4.3.2互感由一回路中電流變化而在另回路中 產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的現(xiàn)象，叫做互感現(xiàn)象，這 種感應(yīng)電動勢叫做互感電動勢。W 21 = M21 厶W12 = M1212由對稱性不難理解m12=m21=m,稱為互感 系數(shù)，簡稱互感.它和兩個回路的大小、形狀、匝數(shù)以及周 圍磁介質(zhì)的性質(zhì)決定，描述了兩個線圈或 電路的磁場互相影響（耦合）的程度。互感電動勢d 比 2“d 12d W 21“dd勺 一-df = -M-df 21 一-df 一Md化率為每秒一安培時，在第一個回路所產(chǎn)生的 互感電動勢的大小一互感系數(shù)的物理意義有兩個直長螺線管,它們繞在同一個圓柱面上. 已知：“0、N1、N2、1、

4、5,求互感系數(shù).n iBMW解：H n B2 二出2H = n I = Nl IN ”B2 = “0 H2 = “0 I2 12 訂 b2 - d = B2S =“0 NIS12 = N 12 = “ N1N212 SM = = “N N21S2m = “ n sv厶=“0ni VL2 “0n2VM = J LL在此例中，線圈1的磁通全部通過線圈2,稱為無漏磁在一般情況下M =稱K為耦合系數(shù)0 K 1耦合系數(shù)的大小反映了兩個回路磁場耦合松緊的程度.由于在一般情況下都有漏磁通，所以耦合系數(shù)小于1在磁導率為“的均勻無限大磁介質(zhì)中，一無限長直載流導線附近放置一N匝矩形線圈（如圖所示）,求它們的互感系

5、數(shù).解：設(shè)直導線中電流I,矩形線圈平面上的磁鏈數(shù)為W = N f B dS = N叢 Idr s兒2龍ruNIla + b= InM ZUNin凹I2na2na互感系數(shù)取決于回路的形狀、相對位置及環(huán)境磁導率.El互感線圈的串聯(lián)厶La bd v(a)順接L L + L + 2 ML L+厶-2 M互感線圈的串聯(lián)順接：1 =n +甲2厶Lab-cd i_ di= 一一 些=_ l# - M =-( L + M)業(yè) TOC o 1-5 h z dt dt dtdt dtdt屮二屮 +屮丄2丄22 +丄21d小“、dI% =-y2 =-( L + M)蘇dtdtdydydy 、dI% = = = %

6、+ 2 = 一 L dt dt dt 12 dt HYPERLINK l bookmark35 o Current Document L = L + Lq + 2 M互感的應(yīng)用口互感的應(yīng)用如：變壓 器.口互感也有不利的地方, 如打電話竄線使兩線圈的互感M減小的辦法之一，是使兩線圈互相垂直.副線圈Primaryarret+ Secondary jl currerc理想變壓器還可制作感式傳感器,在自動檢測、自動控制中有重要作用%叫-/5-/P-自感現(xiàn)象表明：當電路中的電流發(fā) 生變化時，線圈中的自感電動勢反抗（ 電流的改變.L既然任一線圈都有反抗電流改變的自感，說明線 中的電流表現(xiàn)出一種“慣性”.事

7、實上，要改變線 圈中的電流，就必須把線圈接在電源上，用電源電 動勢做功來克服這種“慣性”.在這樣的電路中，電流與線圈兩端電壓的關(guān)系中3 T d2 q亠”dvd2 xU = L = L 比較 F = m = mY dt dt2dt dt2線圈牛頓粒子UFIvqxLmLI（自磁鏈）mv1 LI2 ?1 2 mv2 2相同的方程應(yīng)該有相同的解。這種形式上的對比， 提供給我們一個可能是正確的信息：1-LI2應(yīng)該具有能量的意義!？這種從數(shù)學形式相同出發(fā)進行類比的研究方法是非 常有效的。非常有趣的是，物理學中既存在相似定律，也存在 相似現(xiàn)象，如萬有引力定律 一庫侖定律 相似定律機械振動一電磁振蕩 相似現(xiàn)象

8、當然，這只是相似，并非全同! 因而研究中還要抓住特異點.類比研究有利于思維聯(lián)想，能夠開拓思路.我們 要學會抓住各學科的交叉滲透現(xiàn)象，要從看上 去互不相關(guān)的現(xiàn)象中尋找內(nèi)在的聯(lián)系.建議閱讀文獻:費曼物理學講義第一卷25章第4節(jié)口剛才的類比使我們注意到，對于質(zhì)點的動能mv2/2,有個類似的量LI2/2與與之對應(yīng).口這個量是否就是線圈在通電情況下的某種能量呢？ 口繼續(xù)考查：電功率P = A U機械功率dWg一P =g = F - v8 dt一仍有可比性仔細考查前面提到的電路，并將電路中的電阻 集中在電阻器人上.由歐姆定律： + l = R TOC o 1-5 h z 電源功率81二RI2 -sLI(d

9、W 2 dl即=R12 + L 1dtdtti電源做功W = J12 Rdt + J Lldl00電阻器上消耗的焦耳熱自感線圈獲得的能量!口當電路中電流從0增加到穩(wěn)定值厶時，電路 附近的空間逐漸建立起一定強度的磁場，磁場 和電場都是一種特殊形式的物質(zhì)，具有能量.口所以電源反抗自感電動勢所做的功，就在建立 磁場的過程中轉(zhuǎn)化為磁場的能量.這個能量并 未消耗,一旦條件許可就能釋放出來轉(zhuǎn)變?yōu)槠?它形式的能量.1記 W = - LI2m 2自感磁能將兩相鄰線圈分別與電 源相連，在通電過程中電源所做功111III線圈中產(chǎn)I八 反抗自感 反抗互感生焦耳曼電動勢做功電動勢做功W = + 厶厶2+12 2七Mi

10、l 2 忽略 22互感磁能自感磁能為簡單起見，計算兩個分別載流Il. I的電流回路 系統(tǒng)所儲存的磁場能量.設(shè)兩個回路的形狀、相對位置、介質(zhì)環(huán)境都不變, 同時忽略線圈中的焦耳熱損耗.在建立磁場的過 程中，兩回路的電流分別為Ii（t ）、I2（t ）,初始電流 都為零，最終穩(wěn)定為Iio、I20，在這一過程中，電 源做的功轉(zhuǎn)變?yōu)榇艌瞿芰?我們知道，系統(tǒng)的總能量只與系統(tǒng)的最終狀態(tài)有 關(guān)，與建立這個狀態(tài)的歷史或方式無關(guān).因而可以 假定開始時兩個回路都是斷路.然后先接通線圈 1,再接通線圈2.先接通線圈1,使其LiLi電流從0增加到I10,1的自感磁能然后接通線圈2,使其電流從零增加到I2o 儲存為 線圈

11、2的自感磁能1Wm 2 二-L當線圈2中的電流增大時,在線圈1中產(chǎn)生互 感電動勢 = Mdl212dt為了保持線圈1的電源io不變，線圈1電路中 的電源必須反抗互感電動勢作功，轉(zhuǎn)化為磁場 的能量Q120Wm12 = . 12110d = J MIiodI2 = MI 101200這是因互感而出現(xiàn)的附加磁能，稱為互感磁能.經(jīng)過上述步驟，兩線圈中的電流分別為厶0和厶0時, 儲存在磁場中的總磁能Wm = Wm- + Wm 2 + %1 1石厶 + L21 0 + MI10120如果電流I10和厶0在兩個線圈中產(chǎn)生的磁通相互削 弱，則總磁能1 1Wm =-厶厶J + - L厶02 -呦0厶0另證在建立

12、電流的過程中，電源除了供給線圈中產(chǎn)生焦 耳熱的能量和抵抗自感電動勢做功外，還要抵抗互 感電動勢做功。抵抗互感電動勢做的功為=_J S21Id J $1212 dI20I10M21 J I1dI2 + M12 J I2 dI100I10120M J d （厶厶）MI10120氐=-M曹A A + A2螺線管特例：L = yn V H二nI B二nIW = 2 LI 2= 2 沖 2/吩）2 = 2 才=2 bh磁場能量密度：單位體積中儲存的磁場能量wmW 1 B2121wm = W = yH2 = BHm V 2 y 221任意磁場 dWm = wmdV = - BHdVWm = J/ WJV

13、=1-BHdVV 2電容器儲能-CU2 2電場能量密度電感器儲能1L22磁場能量密度we =1 sE2 =1D - Ee 2 2We 訂 1.sE 2dT TOC o 1-5 h z 1 B21 -wm = B Hm 2 “2B2 dT“同時存在電場與磁場時的能量密度w =1D - E +1B - H2 2存在電場和磁場空間所包含的總能量可以通過對總能量密度進行體積積分求得如圖求高頻同軸傳輸線的磁能及自感系數(shù)解：高頻電流有趨膚效應(yīng),電流分布在柱表面,一10r v R1ta_ B = vI iLlIHR v r v R2兀rJ /0r R2取體積元為薄柱殼dV =2兀 rldrwdV =mT1B

14、 dVdV再根據(jù)Wm =T “ 2R2= JR1廟（豈E如普噴）可得傳輸高頻信號的同軸電纜的自感系數(shù)為: 唱 ln(R討論計算自感系數(shù)可歸納為三種方法靜態(tài)法：T = LIdI動態(tài)法：s= Ldt能量法：1W = - LI22前例求輸送穩(wěn)恒電流時同軸電纜的磁能及自感系數(shù)解輸送穩(wěn)恒電流或低頻信號時，同 軸電纜的內(nèi)柱上電流均勻分布.wmdV =TVi2小Ri 1/ “i Ir2用dV=丄(占$ 丫2時 Jo 2“1 27TR 2+ f ()2 2 兀 rldrW” =辛牛+耳Jri 2“ 2 兀 rA “2(R4兀R再根據(jù) Wm = 1 = L =“ + “ in( R2)2塔兀2兀R內(nèi)自感雙線傳輸

15、線間距為，導線半徑(D R )。刃自求：單位長度上的自感系數(shù)(忽略內(nèi)自感)解:建坐標如圖雙線間任意F點磁場ldxD x丿Il. D R 呻1、D-Ina- In兀 R 兀 RB 1rkI1ro參1d1xV.dW3“I0 e3tca + b=ln f2nicrabI = Io e 3 3無限長直導線載有電流,其附近有一矩形導體 回路如圖安置，求感應(yīng)電動勢和互感系數(shù)。解：建坐標，取面元a+b M 訕._ I a + b a2冗rdt這是互感電動勢屮,dIuc, a + bIndt 2 兀 aM=/如前例，若在矩形回路中建立電流 i = i。sin G)t, 求: 長直導線中的感應(yīng)電動勢。解：這是互感問題由前例知，互感系數(shù)為uc .