高一函數(shù)單調(diào)性和奇偶性高考考點(diǎn)解析和例題分析輔導(dǎo)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載函數(shù)函數(shù)的奇偶性與周期性高考要求了解函數(shù)奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性的方法掌握函數(shù)的奇偶性的定義及圖象特征，并能判斷和證明函數(shù)的奇偶性，能利用函數(shù)的奇偶性解決問題知識(shí)點(diǎn)歸納1函數(shù)的奇偶性的定義；2奇偶函數(shù)的性質(zhì)：（1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；2）偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；3f(x)為偶函數(shù)f(x)f(|x|)4若奇函數(shù)f(x)的定義域包含0，則f(0)05判斷函數(shù)的奇偶性，首先要研究函數(shù)的定義域，有時(shí)還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響；6牢記奇偶函數(shù)的圖象特征，有助于判斷函數(shù)的奇偶性；7判斷函數(shù)的奇偶性有時(shí)可以用定義的等價(jià)形式：

2、f(x)f(x)0，f(x)1f(x)8設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D,D，那么在它們的公共定義域上：12奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇1判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價(jià)學(xué)習(xí)必備歡迎下載形式：f(x)=f(x)f(x)f(x)=0；2討論函數(shù)的奇偶性的前提條件是函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，要重視這一點(diǎn)；“3若奇函數(shù)的定義域包含0，則f(0)=0,因此，f(x)為奇函數(shù)”是f(0)=0的非充分非必要條件；4奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，因此根據(jù)圖象的對稱性可以判斷函數(shù)的奇偶性5若存在常數(shù)T，使得f(x+

3、T)=f(x)對f(x)定義域內(nèi)任意x恒成立，則稱T為函數(shù)f(x)的周期，一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期周期函數(shù)的定義域一定是無限集對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個(gè)等式上，要明確對定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實(shí)質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對稱性的反映這部分的難點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用根據(jù)已知條件，調(diào)動(dòng)相關(guān)知識(shí)，

4、選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題，是對學(xué)生能力的較高要求（5）函數(shù)的周期性定義：若T為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x，使f(xT)f(x)恒成立則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期0例：（1）若函數(shù)f(x)在R上是奇函數(shù)，且在1，上是增函數(shù)，且f(x2)f(x)則f(x)關(guān)于對稱；f(x)的周期為；f(x)在（1，2）是函數(shù)（增、減）；1若x（0）時(shí)，f(x)=2x，則f(log18)12（2）設(shè)f(x)是定義在(,)上，以2為周期的周期函數(shù)，且f(x)為偶函數(shù)，f在區(qū)間2，3上，f(x)=2(x3)24,則x0,2時(shí)，(x)=題型講解學(xué)習(xí)必備歡迎下載1對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的理解例4下面

5、四個(gè)結(jié)論：偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；奇函數(shù)的圖象一定通過原點(diǎn)；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(xR)，其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A1B2C3D4分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，但不一定相交，因此正確，錯(cuò)誤奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，但不一定經(jīng)過原點(diǎn)，因此不正確若y=f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，由定義可得f(x)=0，但不一定xR，如例1中的(3)，故錯(cuò)誤，選A說明：既奇又偶函數(shù)的充要條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱且函數(shù)值恒為零2復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)復(fù)合函數(shù)y=fg(x)是由函數(shù)u=g(x)和y=f(u)構(gòu)成的，因變量y通過中間變量u與自變量x建立起函數(shù)關(guān)系，函數(shù)u

6、=g(x)的值域是y=f(u)定義域的子集復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)由構(gòu)成它的函數(shù)性質(zhì)所決定，具備如下規(guī)律：(1)單調(diào)性規(guī)律如果函數(shù)u=g(x)在區(qū)間m，n上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)y=f(u)在區(qū)間g(m)，g(n)(或g(n)，g(m)上也是單調(diào)函數(shù)，那么若u=g(x)，y=f(u)增減性相同，則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)為增函數(shù)；若u=g(x)，y=f(u)增減性不同，則y=fg(x)為減函數(shù)(2)奇偶性規(guī)律若函數(shù)g(x)，f(x)，fg(x)的定義域都是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，則u=g(x)，y=f(u)都是奇函數(shù)時(shí)，y=fg(x)是奇函數(shù)；u=g(x)，y=f(u)都是偶函數(shù)，或者一奇一偶時(shí)，y=fg(x)是偶函

7、數(shù)例6甲、乙兩地相距Skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過ckmh，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(kmh)的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(kmh)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛=分析：(1)難度不大，抓住關(guān)系式：全程運(yùn)輸成本單位時(shí)間運(yùn)輸成本全程運(yùn)輸時(shí)間，而全程運(yùn)輸時(shí)間=(全程距離)(平均速度)就可以解決學(xué)習(xí)必備歡迎下載故所求函數(shù)及其定義域?yàn)榈捎陬}設(shè)條件限制汽車行駛速度不超過ckmh，所以(2)的解決需要論函數(shù)的增減性來解決由于vv

8、0，v-v0，并且1221學(xué)習(xí)必備歡迎下載又S0，所以即則當(dāng)v=c時(shí)，y取最小值說明：此題是1997年全國高考試題由于限制汽車行駛速度不得超過c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使難度有所增大例1判斷下列各函數(shù)的奇偶性：1xlg(1x2)（1）f(x)(x1)；（2）f(x)1x|x22|2；x2x（3）f(x)x2x(x0)(x0)解：（1）由1x0，得定義域?yàn)?,1)，關(guān)于原點(diǎn)不對稱，f(x)為非奇非偶函數(shù)1x1x20（2）由|x22|20得定義域?yàn)?1,0)(0,1)，lg(1x2)lg(1x2)f(x)，(x22)2x2f(x)lg1(x)2lg(1x2)f

9、(x)f(x)為偶函數(shù)(x)2x2學(xué)習(xí)必備歡迎下載（3）當(dāng)x0時(shí)，x0，則f(x)(x)2x(x2x)f(x)，當(dāng)x0時(shí)，x0，則f(x)(x)2x(x2x)f(x)，綜上所述，對任意的x(,)，都有f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)例2已知函數(shù)f(x)對一切x,yR，都有f(xy)f(x)f(y)，（1）求證：f(x)是奇函數(shù)；（2）若f(3)a，用a表示f(12)解：（1）顯然f(x)的定義域是R，它關(guān)于原點(diǎn)對稱在f(xy)f(x)f(y)中，令yx，得f(0)f(x)f(x)，令xy0，得f(0)f(0)f(0)，f(0)0，f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，f(x)是奇函數(shù)（2）

10、由f(3)a，f(xy)f(x)f(y)及f(x)是奇函數(shù)，得f(12)2f(6)4f(3)4f(3)4a例3（1）已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x(0,)時(shí)，f(x)x(13x)，x(13x),x0則f(x)的解析式為f(x)x(13x),x0（2）（高考A計(jì)劃考點(diǎn)3“智能訓(xùn)練第4題”）已知f(x)是偶函數(shù)，xR，當(dāng)x0時(shí)，f(x)為增函數(shù)，若x0,x0，且|x|x|，則（B）1212Af(x)f(x)Bf(x)f(x)1212Cf(x)f(x)Df(x)f(x)1212學(xué)習(xí)必備歡迎下載例4設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)x2|xa|1，xR（1）討論f(x)的奇偶性；（2）求f(x)的最小值解：

11、（1）當(dāng)a0時(shí)，f(x)(x2)|x|1f(x)，此時(shí)f(x)為偶函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，f(a)a21，f(a)a22|a|1，f(a)f(a),f(a)f(a),此時(shí)函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)1（2）當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f(x)x2xa1(x)2a234，若a12，則函數(shù)f(x)在(,a上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(,a上的最小值為f(a)a21；，函數(shù)f(x)在(,a上的最小值為f()a，且f(若a1131)f(a)224213當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f(x)x2xa1(x)2a，24若a1131，則函數(shù)f(x)在a,)上的最小值為f()a，且f()f(a)；2242若a12，則函數(shù)f(x)在a,)上單

12、調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在a,)上的最小值f(a)a21綜上，當(dāng)a是a21，1311時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a，當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值2422當(dāng)a13，函數(shù)f(x)的最小值是a24學(xué)習(xí)必備歡迎下載例4已知函數(shù)yf(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T5，函數(shù)yf(x)(1x1)是奇函數(shù)又知yf(x)在0,1上是一次函數(shù)，在1,4上是二次函數(shù)，且在x2時(shí)函數(shù)取得最小值5證明：f(1)f(4)0；求yf(x),x1,4的解析式；求yf(x)在4,9上的解析式解：f(x)是以5為周期的周期函數(shù)，f(4)f(45)f(1)，又yf(x)(1x1)是奇函數(shù)，f(1)f(1)f(4)，f(1)f(4)0

13、當(dāng)x1,4時(shí)，由題意可設(shè)f(x)a(x2)25(a0)，由f(1)f(4)0得a(12)25a(42)250，a2，f(x)2(x2)25(1x4)yf(x)(1x1)是奇函數(shù)，f(0)0，)又知yf(x)在0,1上是一次函數(shù)，可設(shè)f(x(0 x1kx，而)2f(12(12)，53k3，當(dāng)0 x1時(shí)，f(x)3x，從而當(dāng)1x0時(shí)，f(x)f(x)3x，故1x1時(shí)，f(x)3x當(dāng)4x6時(shí)，有1x51，f(x)f(x5)3(x5)3x15學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng)6x9時(shí)，1x54，f(x)f(x5)2(x5)2252(x7)253x15,4x6f(x)2(x7)25,6x9學(xué)生練習(xí)1函數(shù)f(x)=x2/

14、(x2+bx+1)是偶函數(shù)，則b=0)2函數(shù)F(x)=(1+2/(2x1)f(x)(x是偶函數(shù)，且f(x)不恒等于零，則f(x)(A)(A)是奇函數(shù)(B)是偶函數(shù)(C)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)(D)非奇非偶函數(shù)3已知函數(shù)f(x)=x2+lg(x+x21),若f(a)=M,則f(a)等于（A）(A)2a2M(B)M2a2(C)2Ma2(D)a22M5若對正常數(shù)m和任意實(shí)數(shù)x,等式f(xm)1f(x)1f(x)()A函數(shù)f(x)是周期函數(shù),最小正周期為2mB函數(shù)f(x)是奇函數(shù),但不是周期函數(shù)C函數(shù)f(x)是周期函數(shù),最小正周期為4mD函數(shù)f(x)是偶函數(shù),但不是周期函數(shù)(利用周期函數(shù)的定義證明答案

15、:C)成立,則下列說法正確的是4已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)=ln(1/(1+x),那么當(dāng)x(1,0)時(shí)，f(x)=ln(1x)5試將函數(shù)y=2x表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和學(xué)習(xí)必備歡迎下載6判斷下列函數(shù)的奇偶性：偶(1)f(x)=(1cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)（非奇非偶函數(shù)）;(2)f(x)=x/(ax1)+x/2(a0且a1)(函數(shù)）x2(x1)x0(3)f(x)=（偶函數(shù)）說明奇偶性的對稱條件和分段函數(shù)奇偶性的判別方x2(x1)x0法7已知f(x),g(x)都是奇函數(shù)，f(x)0的解集是(a2,b),g(x)0的解集是(a2/2,b/2),則f(x)g(x)0的解集是8定義在區(qū)間(,+)的奇函數(shù)f(x