離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革方案研究

1、 離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革方案研究 引言離散數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，是計(jì)算機(jī)類專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課程。它以研究離散量的結(jié)構(gòu)及其相互間的關(guān)系為主要目標(biāo)，其研究對(duì)象一般是有限個(gè)或可數(shù)個(gè)元素，因此離散數(shù)學(xué)可以充分描述計(jì)算機(jī)學(xué)科離散性的特點(diǎn)。1通過這門課程的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和嚴(yán)格邏輯的推理能力，為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)、編譯理論、算法分析等后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。但離散數(shù)學(xué)內(nèi)容多、概念多、理論性強(qiáng)、抽象、解題方法靈活、解題思路嚴(yán)謹(jǐn)、應(yīng)用廣泛，在實(shí)際教學(xué)中學(xué)生興趣不高，教學(xué)效果不理想。因此，改革離散數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和手段等以提高離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量，對(duì)學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和科研工作有

2、重要的意義。一、教學(xué)內(nèi)容離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容一般包括四個(gè)部分：數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)和圖論。根據(jù)學(xué)校的層次不同，離散數(shù)學(xué)的學(xué)時(shí)也不相同。例如清華大學(xué)等名校離散數(shù)學(xué)的學(xué)時(shí)多達(dá)96個(gè)學(xué)時(shí)，例如中國地質(zhì)大學(xué)等重點(diǎn)高校離散數(shù)學(xué)的學(xué)時(shí)為80學(xué)時(shí)，一些普通高校則是64或48學(xué)時(shí)。該課程內(nèi)容非常多，包含大量的定義、定理以及邏輯推導(dǎo)和證明題。如果全部內(nèi)容都詳細(xì)講授, 必然講課速度要快，各知識(shí)點(diǎn)的例題要少而精。這樣很難使學(xué)生在課堂上跟上老師的思路，從而失去了興趣和信心，導(dǎo)致教學(xué)效果不佳。因此對(duì)講授內(nèi)容應(yīng)當(dāng)有所側(cè)重和取舍。對(duì)于與后繼課程聯(lián)系不緊密，而學(xué)生又不容易理解的內(nèi)容僅做了解性介紹，對(duì)于與后繼課程聯(lián)系緊

3、密，在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用的內(nèi)容則詳細(xì)講解，必要時(shí)，多講幾個(gè)例題。從而保證學(xué)生學(xué)一部分會(huì)一部分，而不是學(xué)了很多卻什么都不能深入理解。在數(shù)理邏輯的教學(xué)中強(qiáng)化訓(xùn)練學(xué)生邏輯演算能力，并通過邏輯推理理論的學(xué)習(xí)來提高邏輯推理能力。在集合基本概念部分，學(xué)生對(duì)其中很多內(nèi)容在中學(xué)已有所了解，因此這部分內(nèi)容只需簡單介紹。代數(shù)系統(tǒng)部分主要介紹二元運(yùn)算及其性質(zhì)，以及幾個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，包括半群、單元半群、群、格與布爾代數(shù)。正規(guī)子群、群同態(tài)等刪除不講。圖論部分重點(diǎn)放在基本概念的理解和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中沒有涉及到的實(shí)際問題的處理上，如詳細(xì)講解圖的同構(gòu)、歐拉圖和哈密爾頓圖，而最小生成樹、 最短通路等問題，在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中有詳細(xì)講解，在該課

4、程中則可以一帶而過。這樣既為后續(xù)課程數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)做一個(gè)良好的鋪墊，也節(jié)省了學(xué)時(shí)。二、教學(xué)方法教學(xué)方法是完成教學(xué)任務(wù)、實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)和提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵所在。好的教學(xué)方法可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)該課程產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和人文素養(yǎng)。在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們的教學(xué)方法包括：注重課堂授課內(nèi)容與趣味性相結(jié)合，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；揭示該課程知識(shí)體系的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)內(nèi)在的統(tǒng)一性；揭示本課程與計(jì)算機(jī)科學(xué)之間的聯(lián)系，使學(xué)生體會(huì)到離散數(shù)學(xué)對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)的重要意義；講解知識(shí)的背景與形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的人文素質(zhì)。（一）注重課堂授課內(nèi)容與趣味性相結(jié)合提高課堂教學(xué)質(zhì)量對(duì)于提高教學(xué)質(zhì)量非常關(guān)鍵。在課堂教學(xué)中結(jié)合一

5、些有趣的故事或問題，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，減輕學(xué)習(xí)的壓力，并從故事入手，提出有思考性的問題，促進(jìn)和啟發(fā)學(xué)生思維的積極性。比如在講命題邏輯時(shí)，引入悖論來說明不是所有陳述句都是命題；用蘇格拉底三段論來說明有些簡單而正確的推理過程在命題邏輯里是得不到證明的，由此引出謂詞邏輯；在講圖論時(shí)提出哥尼斯堡七橋問題，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉給出了對(duì)該問題很容易理解的簡單證明，他將該問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖的問題，利用這個(gè)例子既生動(dòng)的引出圖論，也講解了如何將一個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)建模過程。還可以介紹一些在民間廣泛流傳的游戲難題，如迷宮問題、博弈問題和棋盤上馬的行走路線等問題。這些古老的難題，當(dāng)時(shí)吸引了很多學(xué)者的注

6、意，在這些問題研究的基礎(chǔ)上又繼續(xù)提出了著名的四色猜想，漢密爾頓環(huán)游世界數(shù)學(xué)難題?？傊? 盡量開拓學(xué)生思路，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索式學(xué)習(xí)，避免簡單地灌輸型傳授知識(shí)，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲，既調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又培養(yǎng)了學(xué)生的科研能力。（二）揭示本課程知識(shí)體系的內(nèi)在聯(lián)系離散數(shù)學(xué)的四大部分內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立又相互滲透，我們在講課過程中應(yīng)注重前后呼應(yīng)，力求揭示知識(shí)體系的內(nèi)在聯(lián)系。如集合論是整個(gè)課程的基礎(chǔ)，用集合描述概念的思想方法滲透于各個(gè)篇章之中。謂詞邏輯就是命題邏輯的推廣，謂詞邏輯的內(nèi)容和定理與命題邏輯十分的類似，應(yīng)建議學(xué)生對(duì)比著學(xué)習(xí)。集合論中的恒等式與邏輯中的等值式的名稱和形式都基本相同，關(guān)系是笛卡爾積的子

7、集，函數(shù)是特殊的二元關(guān)系。代數(shù)系統(tǒng)是具有某些運(yùn)算的非空集合， 同態(tài)和同構(gòu)是保持運(yùn)算的不同函數(shù)。圖是由邊集和點(diǎn)集所構(gòu)成，各種子圖都是其子集。有限集合上的關(guān)系可用圖來表示。在教學(xué)中多總結(jié)各章節(jié)之間的聯(lián)系和相同之處，可達(dá)到事半功倍的效果。可使學(xué)生融匯貫通，形成離而不散的知識(shí)結(jié)構(gòu)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)內(nèi)在的統(tǒng)一性，也有利于知識(shí)的鞏固。（三）揭示離散數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)之間的聯(lián)系離散數(shù)學(xué)作為計(jì)算機(jī)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課，與計(jì)算機(jī)科學(xué)之間存在著緊密的聯(lián)系。很多學(xué)生看到離散數(shù)學(xué)這門課的名字就認(rèn)為又是一門數(shù)學(xué)課，所以一開始就對(duì)這門課失去了興趣。因此在教學(xué)過程中需要認(rèn)真思考怎樣把這門課程與計(jì)算機(jī)專業(yè)知識(shí)結(jié)合起來，如何把計(jì)算機(jī)知識(shí)融入

8、離散數(shù)學(xué)教學(xué)中，使學(xué)生掌握如何將在這門課中學(xué)到的知識(shí)應(yīng)用到計(jì)算機(jī)領(lǐng)域里來。從而達(dá)到學(xué)以致用的目的。下面就從幾個(gè)方面介紹離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的具體應(yīng)用。2 (1) 邏輯學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用命題邏輯在數(shù)字邏輯中廣泛應(yīng)用，比如將設(shè)計(jì)的硬件電路圖用邏輯表達(dá)式表示出來，然后利用命題邏輯中的命題公式化簡的方法化簡邏輯表達(dá)式，再由化簡后的表達(dá)式畫出電路圖，即可得到簡化的電路圖。同時(shí)在計(jì)算機(jī)的程序設(shè)計(jì)中，運(yùn)用命題公式化簡可以簡化很多運(yùn)算來優(yōu)化程序。比如，當(dāng)我們初步設(shè)計(jì)出一個(gè)計(jì)算機(jī)的程序，如果認(rèn)為設(shè)計(jì)比較繁瑣，那么就可以利用命題公式的等價(jià)公式，通過演算就可以檢驗(yàn)出設(shè)計(jì)中是否存在不必要的內(nèi)容。從而減少冗余。(

9、2) 集合論計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用集合論是離散數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，滲透到各個(gè)章節(jié)。在計(jì)算機(jī)科學(xué)中也得到了廣泛的應(yīng)用，特別是在研究關(guān)系數(shù)據(jù)庫時(shí)有著極其重要的作用。關(guān)系數(shù)據(jù)模型建立在嚴(yán)格的集合代數(shù)的基礎(chǔ)上，它用二維表結(jié)構(gòu)來表示實(shí)體以及實(shí)體之間聯(lián)系的模型。例如笛卡兒積的理論應(yīng)用在研究實(shí)體集中的域和域之間可能存在的關(guān)系；等價(jià)關(guān)系應(yīng)用在信息檢索系統(tǒng)中，根據(jù)一個(gè)主碼，可以把全體文獻(xiàn)劃分成兩個(gè)塊；序關(guān)系應(yīng)用在項(xiàng)目管理系統(tǒng)中，其中一些任務(wù)必須在其它任務(wù)結(jié)束之后才能開始，就需要建立序關(guān)系。(2) 代數(shù)系統(tǒng)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用代數(shù)結(jié)構(gòu)及群論對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展有著重大的理論和實(shí)踐意義。對(duì)程序理論、編譯程序理論、數(shù)據(jù)安全、形

10、式語言、文本編輯理論、自動(dòng)機(jī)理論、邏輯電路理論、語義學(xué)研究及數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等計(jì)算機(jī)分支學(xué)科都有重大的理論和現(xiàn)實(shí)意義。例如，利用置換群解決著色問題；利用圖的同構(gòu)異構(gòu)理論解決圖計(jì)數(shù)問題；利用布爾代數(shù)理論進(jìn)行開關(guān)電路的研究；利用群的相關(guān)理論進(jìn)行糾錯(cuò)碼的研究。(3) 圖論在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用圖論是個(gè)在計(jì)算機(jī)學(xué)科中應(yīng)用十分廣泛的重要理論，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的圖和樹這兩個(gè)重要概念就是由圖論理論引出來的。它為學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)奠定了基礎(chǔ)。同時(shí)圖論在操作系統(tǒng)、人工智能、形式語言、編譯程序的編寫方面都發(fā)揮了極其重要的作用。比如，在操作系統(tǒng)中，當(dāng)我們需要判斷并發(fā)進(jìn)程中是否存在遞歸和死鎖的現(xiàn)象時(shí)，就可以運(yùn)用圖論通過判斷一個(gè)有向圖中是否存

11、在回路來解決。在編譯程序中，在圖論的理論基礎(chǔ)上使用樹來表示源程序的語法結(jié)構(gòu)，從而產(chǎn)生語法分析樹。在數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)中，運(yùn)用圖論理論就可以用樹來組織和檢索所需要的各種信息，把各種不同的信息結(jié)點(diǎn)間的復(fù)雜關(guān)系，用樹這種清晰的形式直觀地表達(dá)出來。圖論理論還被廣泛運(yùn)用到計(jì)算機(jī)的操作系統(tǒng)中，它可以把一項(xiàng)本來很復(fù)雜的操作程序最大程度的簡單化，同時(shí)圖和樹的理論對(duì)于網(wǎng)絡(luò)信息流量、網(wǎng)絡(luò)線路的鋪設(shè)、集成電路的布線分析等實(shí)際應(yīng)用很有實(shí)用價(jià)值。三、教學(xué)手段采用現(xiàn)代化的教學(xué)手段是為了更好地實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)、完成教學(xué)任務(wù)。講求實(shí)效，是運(yùn)用現(xiàn)代化教學(xué)手段應(yīng)遵循的首要原則。在有多媒體教室之前，我們采用純板書的教學(xué)方式進(jìn)行授課。但是板書需

12、要占用較多時(shí)間書寫定義和實(shí)例，在學(xué)時(shí)一定的情況下，講解的內(nèi)容和例題相對(duì)就要減少。自有多媒體教室以來，就制作了多媒體課件，采用多媒體的教學(xué)方式進(jìn)行授課。多媒體課件提高了教學(xué)效率。更重要的是采用多媒體課件還有利于加強(qiáng)啟發(fā)式、形象化教學(xué)，通過使用文字、圖像、動(dòng)畫等使授課形式更加生動(dòng)。但是，我們必須注意到，純多媒體教學(xué)也存在著一些問題，例如，在邏輯學(xué)部分有大量的邏輯推導(dǎo)和證明例題，如果用多媒體課件講解，速度會(huì)比較快，學(xué)生普遍出現(xiàn)不愿意主動(dòng)思考的局面，老師和學(xué)生的互動(dòng)無形中將會(huì)被弱化，不利于深入開展教學(xué)活動(dòng)，更不利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。因此，我們采取多媒體課件教學(xué)與板書教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)方式，同時(shí)在代

13、數(shù)系統(tǒng)等章節(jié)使用Maple軟件演示一些函數(shù)的計(jì)算。Maple是加拿大滑鐵盧大學(xué)和Waterloo Maple Software公司設(shè)計(jì)的一套為微積分、線性代數(shù)和微分方程等高等數(shù)學(xué)使用的軟件包。Maple提供了2000余種數(shù)學(xué)函數(shù)，涉及范圍包括普通數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、數(shù)論、離散數(shù)學(xué)和圖形學(xué)。這樣采用多種教學(xué)方式相互補(bǔ)，需要邏輯推導(dǎo)的例題采用板書的方式；定義、定理、圖表、圖形等采用多媒體方式；需要快速讓學(xué)生看到計(jì)算結(jié)果的使用Maple軟件。取得了良好的教學(xué)效果。四、結(jié)束語本文從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段三個(gè)方面闡述了教學(xué)改革的思路。本著離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)專業(yè)的核心專業(yè)基礎(chǔ)課的出發(fā)點(diǎn)，在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)緊密的與計(jì)算機(jī)專業(yè)相結(jié)合，在提高教學(xué)質(zhì)量，使學(xué)生掌握該課程知識(shí)體系的同時(shí)，能夠與計(jì)算機(jī)專業(yè)的其它課程相聯(lián)系，達(dá)到學(xué)以致用的目的。Reference1左孝凌,李為,劉永才.離散數(shù)學(xué)M,上海：上海科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，1982.2蔡之華,薛思清,吳杰.離散數(shù)學(xué)M,武漢：中國地質(zhì)大學(xué)出版社，2008.3程轉(zhuǎn)流.離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)與實(shí)踐J,安慶師