第七章 小波分析、分析工具及應(yīng)用發(fā)展ppt課件

1、第七章 小波分析、分析工具及運(yùn)用開展.復(fù)習(xí)回想小波分析來源 小波分析來源于信號分析的需求.設(shè)一個(gè)有限分辨率的延續(xù)信號 ,將其近似地表示為以下階梯函數(shù)(圖1) 為簡化表達(dá),取整數(shù)點(diǎn)n為樣點(diǎn),式中 為樣本值,而其基函數(shù) 并又將其稱為“尺度函數(shù)，如圖2所示. .我們將采樣間隔加倍,那么其樣點(diǎn)數(shù)減半,這時(shí)信號表示為顯然,這里自然取 ,參見(圖3).我們稱上述算法為二分法.再分析二分前后兩個(gè)信號的偏向(圖3) .它具有方式 , 這里 而其基函數(shù) 如(圖4)所示: 它就是一種“小波函數(shù)。顧名思義,“小波就是小的波形。所謂“小是指它具有衰減性,譬如是部分非零的;而稱之為“波那么是指它的動搖性,即其振幅呈正負(fù)

2、相間的震蕩方式.又如 也具有這種特性 。.小波函數(shù) 的重要價(jià)值在于:它經(jīng)過平移和伸縮可生成平方可積函數(shù)空間 中一組正交基: , 從而可將信號 進(jìn)展分解:為進(jìn)展信號分析,提供 的一組正交基是至關(guān)重要的.我們尤感興趣的是,為了順應(yīng)實(shí)踐需求,利用所給的小波函數(shù)能否派生出更多、更適用的小波函數(shù)?.再調(diào)查上述尺度函數(shù) 與小波函數(shù) ,它們可以看作是由函數(shù) 經(jīng)過以下兩種不同的運(yùn)算生成的(見圖5):對稱 從圖5上看, 和 具有不同的對稱性,分別記為“0和“1對稱. .我們再對所給小波函數(shù) 反復(fù)施行所謂 “0 和 “1 兩種對稱運(yùn)算,那么可生成一系列小波函數(shù),如圖6所示.即 施行“0 對稱運(yùn)算 ； 施行“1 對

3、稱運(yùn)算施行“0 對稱運(yùn)算 ； 施行“1 對稱運(yùn)算施行“0 對稱運(yùn)算 ； 施行“1 對稱運(yùn)算 這些小波函數(shù)組成一個(gè)函數(shù)庫,圖7表示自下而上地描畫了小波庫的生成過程. .Matlab中的小波分析工具箱Wavelet 3.0)Matlab小波分析工具箱提供了一個(gè)可視化的小波分析工具，是一個(gè)很好的算法研討和工程設(shè)計(jì)，仿真和運(yùn)用平臺。特別適宜于信號和圖像分析，綜合，去噪，緊縮等領(lǐng)域的研討人員。.小波分析工具箱的七類函數(shù)：常用的小波基函數(shù)。延續(xù)小波變換及其運(yùn)用。離散小波變換及其運(yùn)用。小波包變換。信號和圖像的多尺度分解?；谛〔ㄗ儞Q的信號去噪?；谛〔ㄗ儞Q的信號緊縮。.常用的小波基函數(shù)： 參數(shù)表示小波基的名

4、稱morlMorlet小波mexh墨西哥草帽小波meyrMeyer小波haarHaar小波dbN緊支集正交小波symN近似對稱的緊支集雙正交小波coifNCoifmant小波biorNr.Nd雙正交樣條小波.怎樣獲取小波基的信息：在Matlab窗口鍵入“waveinfo(參數(shù)名waveinfo(meyr) MEYRINFO Information on Meyer wavelet. Meyer Wavelet General characteristics: Infinitely regular orthogonal wavelet. Family Meyer Short name meyr

5、.Orthogonal yes Biorthogonal yes Compact support no DWT possible but without FWT CWT possible Support width infinite Effective support -8 8 Regularity indefinitely derivable Symmetry yes Reference: I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, CBMS, SIAM, 61, 1994, 117-119, , 152.計(jì)算小波濾波器系數(shù)的函數(shù)： 參數(shù)表示小波基的名稱

6、morlet計(jì)算Morlet小波濾波器系數(shù)mexihat計(jì)算墨西哥草帽小波濾波器系數(shù)meyer計(jì)算Meyer小波與尺度濾波器系數(shù)meyeraux計(jì)算Meyer小波輔助函數(shù)dbwavf計(jì)算緊支集雙正交小波濾波器系數(shù)dbaux計(jì)算緊支集雙正交小波尺度濾波器系數(shù)symwavf計(jì)算近似對稱的緊支集雙正交小波濾波器系數(shù)coifwavf計(jì)算Coifmant小波尺度濾波器系數(shù)biowavf計(jì)算雙正交樣條小波尺度濾波器參數(shù).wname=bior2.2;rf,rd=biorwavf(wname)rf = 0.2500 0.5000 0.2500rd = -0.1250 0.2500 0.7500 0.2500

7、-0.1250.用于驗(yàn)證算法的數(shù)據(jù)文件： 文件名說明sumsin.mat三個(gè)正弦函數(shù)的疊加freqbrk.mat存在頻率斷點(diǎn)的組合正弦信號 whitnois.mat均勻分布的白噪聲 warma.mat有色AR(3)噪聲 wstep.mat階梯信號 nearbrk.mat分段線性信號 scddvbrk.mat具有二階可微跳變的信號wnoislop.mat疊加了白噪聲的斜坡信號 .時(shí)頻域分析有關(guān)信號處置的文獻(xiàn)中包含了相當(dāng)多采用二維時(shí)頻空間的術(shù)語來分析信號的任務(wù)。這一方法實(shí)踐上在小波變換之前就有，但它如今納入同一個(gè)現(xiàn)代框架。根據(jù)時(shí)頻域分析，一個(gè)信號的每個(gè)瞬態(tài)分量映射到時(shí)間頻率平面上的位置對應(yīng)于分量的

8、主要頻率和發(fā)生的時(shí)間。.時(shí)頻空間a信號b表示. 在圖像分析中，這個(gè)空間是三維的，可以看作是一個(gè)圖像疊層。一個(gè)部分化分量將主要出如今疊層中對應(yīng)于此分量主要頻率的層次。.變換一個(gè)變換中的每個(gè)系數(shù)都是經(jīng)過輸入函數(shù)和其中一個(gè)基函數(shù)之間的內(nèi)積確定的。在某些意義上，這個(gè)值表示輸入函數(shù)和那個(gè)特定基函數(shù)之間的類似程度。逆變換可以看作是經(jīng)過以變換系數(shù)為幅度權(quán)重的基函數(shù)加權(quán)和，來重構(gòu)原始信號或圖像的。.變換類型傅立葉變換技術(shù)：傅立葉積分變換，傅立葉級數(shù)展開和離散傅立葉變換DFT。小波變換類型就像博立葉變換那樣，在小波變換中也同樣存在這三種能夠性：延續(xù)小波變換(CWT)，小波級數(shù)展開和離散小波變換(DWT)。不過情

9、況略微復(fù)雜些，由于小波基函數(shù)可以是正交歸一也可以不是正交歸一的。.符號和定義 由小波變換來表示的一類函數(shù)是在實(shí)軸(即一切實(shí)數(shù)的集合x軸)上平方可積的。這一類函數(shù)被表示為 。因此，概念 就意味著在小波分析中，經(jīng)過對一個(gè)稱為小波基的單個(gè)原型函數(shù)的伸縮和平移來產(chǎn)生一組基函數(shù)。.延續(xù)小波變換也稱積分小波變換一切小波是經(jīng)過對根本小波進(jìn)展尺度伸縮和位移得到的。根本小波是一具有特殊性質(zhì)的實(shí)值函數(shù)，它是震蕩衰減的，而且通常衰減得很快，在數(shù)學(xué)上滿足積分為零的條件：.即根本小波在頻域也具有好的衰減性質(zhì)。有些根本小波實(shí)踐上在某個(gè)區(qū)間外是零，這是一類衰減最快的小波。一組小波基函數(shù)是經(jīng)過尺度因子和位移因子由根本小波來產(chǎn)

10、生：.延續(xù)小波變換定義為： 延續(xù)小波變換也稱為積分小波變換。延續(xù)小波逆變換為： .延續(xù)小波變換：格式： coefs=cwt(s,scales,wname) coefs=cwt(s,scales,wname,plot)闡明： s:輸入信號 scales: 需求計(jì)算的尺度范圍 wname:所用的小波基 plot: 用圖像方式顯示小波系數(shù).一維延續(xù)小波變換函數(shù)pat2cwav由模式構(gòu)造小波cwt一維連續(xù)小波變換函數(shù).例子： c = cwt(s,1:32,meyr) c = cwt(s,64 32 16:-2:2,morl) c = cwt(s,3 18 12.9 7 1.5,db2).二維延續(xù)小波定

11、義為：二維延續(xù)小波變換是：二維延續(xù)小波逆變換為： .濾波器族解釋 這里將小波變換與一族帶通線性卷積濾波器相聯(lián)絡(luò)，作為小波變換的一種解釋。首先定義尺度a上的普通小波基函數(shù)為 這是用a做尺度因子，并用a-1/2將模規(guī)范了的根本小波。假設(shè)記其翻轉(zhuǎn)和共軛為.如今可以將延續(xù)小波變換寫為：a的每個(gè)值定義了一個(gè)不同的帶通濾波器，而一切的濾波器的輸出加在一同組成了小波變換.而且每個(gè)濾波器的輸出分量再次濾波并適當(dāng)伸縮后組合在一同可重構(gòu)f(x)。 .二維濾波器族 在二維情況下，每一濾波器都是一個(gè)二維沖激呼應(yīng)，輸入是圖像上的帶通濾波器，濾波后的圖像的疊層組成了小波變換。 .小波級數(shù)展開二進(jìn)小波變換通常在數(shù)值計(jì)算中，

12、采用離散化的尺度及位移因子，特別地當(dāng)取二進(jìn)伸縮以2的因子伸縮和二進(jìn)位移每次挪動k/2j時(shí)，就構(gòu)成二進(jìn)小波。 .正交小波定義為滿足以下條件的小波： 上式是小波級數(shù)展開公式。 .當(dāng)進(jìn)一步把f(x)和根本小波限制為在0，1區(qū)間外為零的函數(shù)時(shí)，上述正交小波函數(shù)族就成為緊支二進(jìn)小波函數(shù)族，它可以用單一的索引n來確定：.離散小波變換DWT 離散化方式在數(shù)值計(jì)算中，需求對小波變換的尺度因子、位移因子進(jìn)展離散化，普通采用如下的離散化方式： .多分辨率分析 小波分析之前的許多技術(shù)開展都來自于一個(gè)通常稱為多分辨分析的領(lǐng)域。這些技術(shù)開展是企圖抑制傅立葉變換的局限性。對這一方法進(jìn)展總結(jié)作為導(dǎo)出現(xiàn)代小波分析的根底。根本

13、小波經(jīng)過伸縮構(gòu)成一組基函數(shù)，在大尺度上，膨脹的基函數(shù)搜索大的特征；而在較小的尺度上，它們那么尋覓細(xì)節(jié)信息。 .根本思想：將L2R用它的子空間Vj，Wj表示，其中Vj，Wj分別稱為尺度空間和小波空間。在分辨率分析中，Vj稱為逼近空間，我們把平方可積的函數(shù)f(t)L2(R)看成是某一逐級逼近的極限情況。每次逼近都是用一低通平滑函數(shù)t對f(t)做平滑的結(jié)果，在逐級平滑時(shí)平滑函數(shù)t也做逐級逼近，這就是多分辨率，即用不同分辨率來逐級逼近待分析函數(shù)f(t)。.離散小波變換的設(shè)計(jì) 根據(jù)子帶編碼重構(gòu)公式，在頻率域上有： .可見，設(shè)計(jì)一個(gè)離散小波變換的義務(wù)就是精心挑選低通濾波器。符合這一條件的離散低通濾波器脈沖

14、呼應(yīng)h0(k)為尺度向量，由它產(chǎn)生一個(gè)有關(guān)的函數(shù)稱為尺度函數(shù)。尺度向量和尺度函數(shù)彼此相互確定。 例如，由尺度向量h0(k)到尺度函數(shù)的定義如下.即它可以經(jīng)過本身半尺度復(fù)制后的加權(quán)和來構(gòu)造。另外它也能用帶尺度的矩形脈沖函數(shù)卷積h0(k)，利用數(shù)值計(jì)算方法得到： .帶尺度的矩形脈沖函數(shù).相反，由尺度函數(shù)開場，在它滿足單位平移下正交歸一條件時(shí)，尺度向量的計(jì)算方法如下： .二維離散小波變換 為了將一維離散小波變換推行到二維，只思索尺度函數(shù)是可分別的情況，即 .正變換 從一幅NxN的圖像f1(x,y)開場，其中上標(biāo)指示尺度并且N是2的冪。對于j=0, 尺度2j=20=1，也就是原圖像的尺度。j值的每一次

15、增大都使尺度加倍，而使分辨率減半。 .在變換的每一層次，圖像都被分解為四個(gè)四分之一大小的圖像，它們都是由原圖與一個(gè)小波基圖像的內(nèi)積后，再經(jīng)過在行和列方向進(jìn)展2倍的間隔抽樣而生成的。對于第一個(gè)層次(j=1)，可寫成 后續(xù)的層次(j1)，依次類推，構(gòu)成如下圖的方式。. 二維離散小彼變換(a)原圖像(b)第一層(c)第二層(d)第三層.假設(shè)將內(nèi)積改寫成卷積方式那么有： 在第一層，首先用h0(-x)和h1(-x)分別與圖像f1(x,y)的每行作卷積并丟棄奇數(shù)列以最左列為第0列。接著這個(gè)NxN/2陣列的每列再和h0(-x)和h1(-x)相卷積，丟棄奇數(shù)行以最上行為第0行。結(jié)果就是該層變換所要求的四個(gè)(N

16、/2)x(N/2)的數(shù)組。 .如以下圖所示： DWT圖像分解步驟.逆變換 逆變換與上述過程類似。在每一層，經(jīng)過在每一列的左邊插入一列零來增頻采樣前一層的四個(gè)陣列；接著用h0(x)和h1(x)來卷積各行，再成對地把這幾個(gè)N/2xN的陣列加起來；然后經(jīng)過在每行上面插入一行零來將剛剛所得的兩個(gè)陣列的增頻采樣為NxN；再用h0(x)和h1(x)與這兩個(gè)陣列的每列卷積。這兩個(gè)陣列的和就是這一層重建的結(jié)果。 .DWT圖像重建步驟.雙正交小波變換 滿足緊支集正交歸一小波條件的函數(shù)缺乏對稱性，運(yùn)用兩個(gè)不同的小波基，一個(gè)用來分解分析，另一個(gè)用來重建合成，構(gòu)成彼此對稱的雙正交的小波基： .一維雙正交小波變換經(jīng)過四

17、個(gè)離散濾波器實(shí)現(xiàn)，需求選擇兩個(gè)低通濾波器即尺度向量，使它們的傳送函數(shù)滿足 .雙正交小波變換的一個(gè)分解步驟和一個(gè)重建步驟如以下圖所示。 .雙正交小波為： 二維雙正交小波變換由對應(yīng)的小波基確定： .一維離散小波變換函數(shù)分解函數(shù)dwt單尺度一維離散小波變換wavedec多尺度一維小波分解（一維多分辨率分析函數(shù)）wmaxlec允許的最大尺度值分解合成重構(gòu)函數(shù)idwt單尺度一維離散小波逆變換waverec多尺度一維小波重構(gòu)wrcoef對一維小波系數(shù)進(jìn)行單支重構(gòu)upcoef一維系數(shù)的直接小波重構(gòu)分解結(jié)構(gòu)工具detcoef提取一維小波變換高頻系數(shù)appcoef提取一維小波變換低頻系數(shù)upwlev單尺度一維小

18、波分解的重構(gòu).一維離散小波變換： dwt cA,cD=dwt(X,wname) cA,cD=dwt(X,H,G) 其中：cA ：低頻分量， cD：高頻分量 X：輸入信號。 wname：小波基稱號 H：低通濾波器 G：高通濾波器.多層小波分解： A,L=wavedec(X,N，wname) A,L=wavedec(X,N,H,G) 其中：A ：各層分量， L：各層分量長度 N：分解層數(shù) X：輸入信號。 wname：小波基稱號 H：低通濾波器 G：高通濾波器.二維離散小波變換：分解函數(shù)dwt2單尺度二維離散小波變換wavedec2多尺度二維小波分解（一維多分辨率分析函數(shù)）wmaxlec允許的最大尺

19、度值分解合成重構(gòu)函數(shù)idwt2單尺度二維離散小波逆變換waverec2多尺度二維小波重構(gòu)wrcoef2對二維小波系數(shù)進(jìn)行單支重構(gòu)upcoef2二維系數(shù)的直接小波重構(gòu)分解結(jié)構(gòu)工具detcoef2提取二維小波變換高頻系數(shù)appcoef2提取二維小波變換低頻系數(shù)upwlev2單尺度二維小波分解的重構(gòu).二維離散小波變換： dwt2 cA,cH,cV,cD=dwt2(X,wname) cA,cH,cV,cD=dwt2(X,H,G) 其中：cA ：低頻分量， cH：程度高頻分量 cV：垂直高頻分量 cD：對角高頻分量 X：輸入信號。 wname：小波基稱號 H：低通濾波器 G：高通濾波器.二維信號的多層小

20、波分解： A,L=wavedec2(X,N，wname) A,L=wavedec2(X,N,H,G) 其中：A ：各層分量， L：各層分量長度 N：分解層數(shù) X：輸入信號。 wname：小波基稱號 H：低通濾波器 G：高通濾波器.小波的選取理想的根本小波是一個(gè)過程很短的振蕩函數(shù)(即具有緊支集或者在一個(gè)短區(qū)間以外只需很小的幅度)，而且此函數(shù)一切的二進(jìn)平移和伸縮都是正交歸一的。Haar函數(shù)就闡明了這一點(diǎn)。其他可以得到的小波函數(shù)也許就不能全部滿足這些準(zhǔn)那么。.小波包分解：.樹操作 allnodes 列出數(shù)構(gòu)造的一切節(jié)點(diǎn)。 isnode 判別指定位置能否存在節(jié)點(diǎn)。 istnode 判別一個(gè)節(jié)點(diǎn)能否為終

21、端節(jié)點(diǎn)。 nodejoin 樹的剪枝。 .分解函數(shù)wpcoef小波包系數(shù)Wpdec和wpdec2小波包分解wpsplt分解包合成重構(gòu)函數(shù)wprcoef重構(gòu)系數(shù)wprec和wprec2小波包信號重構(gòu)wpjoin小波包分解樹的節(jié)點(diǎn)合并分解結(jié)構(gòu)工具besttree尋找最優(yōu)分解樹bestlevt尋找最優(yōu)滿樹entrupd更新小波包熵get得到WPTREE對象的內(nèi)容read讀取WPTREE對象的值wentropy計(jì)算熵值wp2wtree由小波包樹提取小波樹wpcutree截除小波包樹.信號去噪與緊縮：在小波變換域上進(jìn)展閥值處置。多層小波分解閥值操作多層小波重構(gòu).其他的免費(fèi)軟件工具：Wavelab Dav

22、id Donoho在斯坦福大學(xué)開發(fā)的Matlab程序庫，最新版本為Wavelab 0.802，有1200多個(gè)文件。LastWave 小波信號和圖像處置軟件，用C言語編寫，可在Unix和Macintosh上運(yùn)轉(zhuǎn)。.值得關(guān)注的幾個(gè)開展方向：提升小波變換Lifting scheme wavelet transform)多小波變換Multiwavelet transform) 線調(diào)頻小波變換(chirplet transform)。.提升小波變換Lifting scheme wavelet transform)傳統(tǒng)的第一代小波變換是在歐氏空間內(nèi)經(jīng)過基底的平移和伸縮構(gòu)造小波基的，不適宜非歐氏空間的運(yùn)用，

23、因此小波提升方案應(yīng)運(yùn)而生，它是構(gòu)造第二代小波變換的理想方法。提升小波在1996年由Sweldens提出后，在信號處置領(lǐng)域得到了廣泛的運(yùn)用。在靜態(tài)圖像處置中，提升小波已被選做JPEG2000的變換核。在視頻領(lǐng)域，運(yùn)用提升小波方法自順應(yīng)地對任不測形的物體進(jìn)展編碼，顯著地提高了編碼效率。.提升算法相對于Mallat算法而言，被譽(yù)為第2代小波變換。使我們能用一種簡單的方法去解釋小波的根本實(shí)際，而第一代小波變換都可以找到等效的提升方案。提升方案把第一代小波變換過程分為以下三個(gè)階段：分解Split、預(yù)測Predict和更新Update。提升算法的分解和重構(gòu)如圖。.算法實(shí)現(xiàn)方法1分解。將輸入信號 分為2個(gè)較

24、小的子集 和 ， 也稱為小波子集。最簡單的分解方法是將輸入信號 根據(jù)奇偶性分為2組。2預(yù)測。在基于原始數(shù)據(jù)相關(guān)性的根底上，用偶數(shù)序列 的預(yù)測值 去預(yù)測或內(nèi)插奇數(shù)序列 ，即將濾波器P對偶數(shù)信號作用以后作為奇信號的預(yù)測值，奇信號的實(shí)踐值與預(yù)測值相減得到殘差信號。.算法實(shí)現(xiàn)方法3更新。為了使原信號集的某些全局特性在其子集 中繼續(xù)堅(jiān)持，必需進(jìn)展更新。更新的思想使要找到一個(gè)更好的子集 ，使得它堅(jiān)持原圖的某一標(biāo)量特性 例如均值、消逝矩等不變，即有 。可以利用知計(jì)算的小波子集 對 進(jìn)展更新，使得后者堅(jiān)持特性 ，即要構(gòu)造一個(gè)算子U去更新 。定義如下： .多小波變換：在圖像處置和信號分析的實(shí)踐運(yùn)用中，我們需求小

25、波具有正交性和對稱性?？墒牵瑢?shí)數(shù)域中，緊支、對稱、正交的非平凡單小波是不存在的，這使人們不得不在正交性與對稱性之間進(jìn)展折衷。.Goodman等提出多小波的概念，其根本思想是將單小波中由單個(gè)尺度函數(shù)生成的多分辨分析空間，擴(kuò)展為由多個(gè)尺度函數(shù)生成，以此來獲得更大的自在度。1994年，Geronimo,Hardin和Massopus構(gòu)造了著名的GHM多小波。它既堅(jiān)持了單小波所具有的良好的時(shí)域與頻域的部分化特性，又抑制了單小波的缺陷，將實(shí)踐運(yùn)用中非常重要的光滑性、緊支性、對稱性、正交性完美地結(jié)合在一同。與此同時(shí)，在信號處置領(lǐng)域，人們將傳統(tǒng)的濾波器組推行至矢值濾波器組、塊濾波器組，初步構(gòu)成了矢值濾波器組的實(shí)際體系，并建立了它和多小波變換的關(guān)系。 .多小波的多分辨分析.雙尺度方程：.多小波在實(shí)際上所表現(xiàn)出來的優(yōu)勢以及它在運(yùn)用領(lǐng)域所具有的潛力，使其遭到高度注重。在它誕生的短短幾年時(shí)