數(shù)理方程與特殊函數(shù)：5齊次弦振動(dòng)方程的分離變量法_第1頁
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1、數(shù)學(xué)物理方程第三章1 齊次波動(dòng)方程分離變量法固有值和固有函數(shù)Fourier級(jí)數(shù)回顧波動(dòng)方程的Fourier解引例 有界弦的振動(dòng)問題u(x, t) = cos t sin x2/16解 u = f(x + t ) + g(x t )2f(x) = sin x + C2g(x) = sin x C 齊次波動(dòng)方程分離變量方法其中是已知函數(shù)設(shè)問題的解 u( x, t )可以按自變量分離u( x, t )=T(t)X(x)將 utt = T”X, uxx = T X” 代入波動(dòng)方程3/16utt = a2 uxxT”(t) X(x) = a2T(t) X”(x)常微分方程邊界條件:固有值問題:X(0)

2、= 0X(L) = 0T(t)X(0)=0T(t)X(L)=04/16分三種情形: (1) ; (2) ; (3)解 的二次方程:(1)通解:A = B = 0時(shí)固有值問題只有零解X(0) = 0X(L) = 0邊界條件:5/16(2)通解: X(x) = Ax + BX(0) = 0X(L) = 0B = 0A L + B = 0A = B = 0時(shí)特征值問題只有零解(3)6/16通解:X(0) = 0X(L) = 0A = 0( n=1,2, )7/16代入方程通解:弦振動(dòng)方程的基本解:un(x, t) = Tn(t) Xn(x)8/169/16例1 Dn = 0Fourier級(jí)數(shù): 設(shè) f(x) 在區(qū)間 連續(xù)設(shè) f(x) 在 上連續(xù) (奇延拓)10/16設(shè) f(x) 在 0, L上有定義(奇延拓)11/16波動(dòng)方程初始條件12/16方程的Fourier解結(jié)論:13/16例3 設(shè) a2=10000解:( n為奇數(shù))14/1615/16習(xí)題3.1 （P.56） 2(1), 2(1,3) 思考題偏微分方程分離變量法與常微分方程分離變量法有何不同？比較固有值問題與矩陣特征值問題偏微分方程分離變量

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