數(shù)理方程與特殊函數(shù)：數(shù)學(xué)物理方程總復(fù)習(xí)

1、1數(shù)學(xué)物理方程總復(fù)習(xí)本次課主要內(nèi)容一、偏微分方程理論與分離變量法二、 行波法與積分變換法三、 格林函數(shù)、貝塞爾函數(shù)、勒讓得多項(xiàng)式21、定解問題的建立2、方程的化簡(jiǎn)4、函數(shù)(一)、偏微分方程理論一、偏微分方程理論與分離變量法3、二階線性偏微分方程理論31、定解問題的建立 寫出定解問題，需要建立偏微分方程、寫出邊界條件(包括銜接條件，自然條件）和初始條件。 建立偏微分方程的主要方法是微元法(1).明確物理過程與研究對(duì)象(待研究物理量);(2).進(jìn)行微元分析； 分析微元和相鄰部分的相互作用，根據(jù)物理定律用算式表達(dá)這種作用。4如何寫出三類邊界條件？(1)、明確環(huán)境影響通過的所有邊界；(2)、分析邊界所

2、處的物理狀況；(3)、利用物理規(guī)律寫出表達(dá)邊界狀況的表達(dá)式。(3).化簡(jiǎn)、整理算式。5例1 一根半徑為r,密度為，比熱為c，熱傳導(dǎo)系數(shù)為k的勻質(zhì)桿。如果同截面上的溫度相同，其側(cè)面與溫度為u1的介質(zhì)發(fā)生熱交換，且熱交換系數(shù)為k1.求桿上溫度滿足的方程解：物理量為桿上溫度u(x,t),取微元x,x+dxx+dxxx在dt時(shí)間里，微元段獲得的熱量為：6該熱量一部分Q1用于微元段升溫，另一部分Q2從側(cè)面流出所以，微元段滿足的方程為：所以，方程為：7(1)、寫出特征方程：(2)、計(jì)算(3)、作變換(a)、2、方程的化簡(jiǎn)8(b)、9(c)、10(4)、求出變換方程：其中：11二階線性方程分類：(1) 雙曲

3、型 拋物型橢圓型 (2) (3) 說明：分類也指點(diǎn)的鄰域內(nèi)的分類！12例2 化下面方程為標(biāo)準(zhǔn)型解：方程屬于橢圓型13 所以14可得 標(biāo)準(zhǔn)型：153、二階線性偏微分方程理論(1). 線性算子 T為算子，若T(c1u1+c2u2)=c1Tu1+c2Tu2，稱T為線性算子(2). 二階線性偏微分算子 16于是 二階線性偏微分方程可以簡(jiǎn)記為：齊次形式為：17原理1：意義：欲求疊加原理的解，如果且求出的解為：則為方程的解18說明：原理2是原理1的有條件推廣。條件是算子L與和號(hào)能交換次序。疊加原理原理2：19其中，M表示自變量組，M0為參數(shù)組 .設(shè)u(M,M0)滿足線性方程(線性定解條件)疊加原理原理3：

4、且積分收斂，并滿足L中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)與積分號(hào)交換次序所需要的條件，那么U(M)滿足方程(或定解條件）20疊加原理說明：原理3可以理解為：若那么：21疊加原理定理：非齊次線性方程的一般解等于對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解與非齊次方程的一個(gè)特解之和。例3 求泊松方程 ：的一般解。解:(1)先求出方程的一個(gè)特解u1由方程的形式可令u1=ax4+by4,代入方程可得：22(2)、求對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程為：作變換：則齊次方程化為：再作變換：23方程化為：齊次方程通解為：原方程通解為：24齊次化原理1齊次化原理如果滿足方程：那么非齊次柯西問題的解為：25齊次化原理2如果滿足方程：那么非齊次柯西問題的解

5、為：26例4、若V(x,t,)是定解問題是定解問題的解，則：的解27證明：首先，其次，因V(x,t,)是齊次定解問題的解，因此，不難證明28解的適定性 滿足解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性的解稱為解的適定性。 解的穩(wěn)定性是指若定解條件有微小變化，其解也只有微小變化 只有解滿足穩(wěn)定性，其解才有意義，因定解條件常為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，有測(cè)量誤差。29 (1)、 定義 函數(shù)是指滿足下面兩個(gè)條件的函數(shù) 4、 函數(shù) 幾點(diǎn)說明：30 (a) 、 幾何意義曲線峰無限高，無限窄！但曲線下面積為1。 (b)、物理意義x0 x(x-x0) 定義中條件(1)反映物理量集中在x0處，該處稱為點(diǎn)源；條件(2)反映物理量有限。31 例5

6、、兩端固定的長(zhǎng)為L(zhǎng)的弦，密度為，初始時(shí)刻在x0處受到?jīng)_量I的作用。求初速度和定解問題。解:(1)x0u(x,t)xL032(2) 由動(dòng)量定理F t= mv得：所以有：定解問題為：33 (2)、 性質(zhì)(a)篩選性質(zhì)：對(duì)任意連續(xù)函數(shù)(x),有：34所以，證明：由于(b)函數(shù)是偶函數(shù),即：有證明：由于對(duì)任意連續(xù)函數(shù)(x),有所以，35函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)定義的算符(n)稱為(x)的n階導(dǎo)數(shù)。由36 例6、求證：其中證明：當(dāng)M不等于M0時(shí)，直接計(jì)算可得：37 另一方面： 所以：38(1)、分離變量(2)、求解固有值問題(3)、求解其它常微分方程對(duì)應(yīng)于固有值的解1、分離變量法求定解的步驟(4)、寫出疊加解

7、，利用其余條件定出疊加系數(shù)。(二)、分離變量方法 2、常涉及的幾種固有值問題394041423、固有函數(shù)值方法定解問題一般形式：求解步驟：43(1)、求下面齊次定解問題對(duì)應(yīng)的固有值問題固有函數(shù)為：Xn(x)(2)、令一般解為：44(3)、將一般解代入泛定方程并把自由項(xiàng)按固有函數(shù)系展開后通過比較系數(shù)得到Tn(t)的微分方程；(4)、由原定解問題初值條件得出T n(t)的初值條件；(5)、由常數(shù)變易法求出T n(t) 。45齊次化原理14、齊次化原理求解如果滿足方程：那么非齊次柯西問題的解為：46齊次化原理2如果滿足方程：那么非齊次柯西問題的解為：475、邊界條件齊次化方法(1)、一般方法采用未知

8、函數(shù)代換法：選擇適當(dāng)?shù)腤(x,t)，使關(guān)于V(x,t)定解問題邊界條件是齊次的。(2)、特殊情形下齊次化方法如果方程自由項(xiàng)和邊界條件表達(dá)式均與t無關(guān)，則可以令：48可以把關(guān)于V(x,t)的定解問題直接化為齊次方程和齊次邊界條件。49解：令 將其代入定解問題中得：例6 求如下定解問題 50可將其分解為：于是得：51由分離變量得一般解為：由初值條件得：由傅立葉級(jí)數(shù)展開得：5253所以，定解問題的解為：原定解問題的解為：54注：圓域、扇形域等圓弧形邊界圍城的區(qū)域上的定解問題分離變量求解，要在極坐標(biāo)下進(jìn)行。求解時(shí)要注意自然條件的使用。例7 在扇形域0,00的狀態(tài)完全由以該點(diǎn)為心，at為半徑的球面上的初

9、始擾動(dòng)決定；2) 當(dāng)初始擾動(dòng)限制在空間某局部范圍內(nèi)時(shí)，擾動(dòng)有清晰的“前鋒”與“陣尾”，即惠更斯原理成立。71答：(a)公式為：(5)二維齊次波動(dòng)方程柯西問題的泊松公式是什么？公式的物理意義是什么？(b) 物理意義：1)空間任意一點(diǎn)M在任意時(shí)刻t0的狀態(tài)完全由以該點(diǎn)為心，at為半徑的圓盤域上的初始擾動(dòng)決定；2)局部初始擾動(dòng)對(duì)二維空間上任意一點(diǎn)的擾動(dòng)有持續(xù)后效，波的傳播有清晰的前鋒而無后鋒，惠更斯原理不成立。722、典型題型(1)利用行波法求解例1、求下面柯西問題的解：解：特征方程為：特征線方程為： 73令：變換原方程化成標(biāo)準(zhǔn)型： 通解為 : 代入條件得：74例2、求波動(dòng)方程的古沙問題75解：方程

10、通解為：由(2)得：又由(3)得：由(4)與(5)得：76所以：又由(4)得：所以：(2)半無界問題的求解采用延拓或行波方法求解77例3、半無限長(zhǎng)桿的端點(diǎn)受到縱向力F(t)=Asint的作用，求解桿的振動(dòng)。解：定解問題為：Fun|x=0.YS0 x78解：方法1：延拓法首先，當(dāng)xat時(shí)，端點(diǎn)的影響沒有傳到，所以有：其次，當(dāng)xat時(shí)，端點(diǎn)的影響已經(jīng)傳到，所以定解問題必須考慮邊界影響。將定解問題作延拓：延拓后的定解問題的解為：79欲使延拓后的解限制在x0上時(shí)為原定解問題的解，只需讓延拓解滿足邊界條件，即：為此：令只要：又令80得到：所以有：所以當(dāng)x0時(shí)：(2) 求像函數(shù)(3) 求原像函數(shù)當(dāng)0時(shí)：像

11、函數(shù)為：106由卷積定理 ：這里：107于是得定解為： 108例14、求解如下定解問題：109解:(1)作針對(duì)于時(shí)間變量的Laplace變換 (2)、求像函數(shù)：110 (3)、求原像函數(shù)：例15、求解如下定解問題(習(xí)題5.4第5題)：111解:(1)作針對(duì)于時(shí)間變量的Laplace變換 (2)、求像函數(shù)：112 (3)、求原像函數(shù)：113三、格林函數(shù)、貝塞爾函數(shù)、勒讓得多項(xiàng)式(一)、Green函數(shù)問題(二)、貝塞爾函數(shù)問題 (三)、勒讓得多項(xiàng)式問題114(一)、Green函數(shù)問題1、三個(gè)格林公式第一格林公式：設(shè)u (x, y, z) ,V (x, y, z)在SSV上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，它們?cè)赩

12、中有二階偏導(dǎo)，則：第二格林公式：設(shè)u (x, y, z) ,V (x, y, z)在SSV上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，它們?cè)赩中有二階偏導(dǎo)，則：115設(shè)M0，M是V中的點(diǎn)，v(M)=1/rMM0, u(x,y,z)滿足第一格林公式條件，則有：第三格林公式：M0MSVxyz116例1、寫出穩(wěn)態(tài)場(chǎng)方程洛平問題的解。要求:(1)掌握三個(gè)公式的推導(dǎo)；(2)穩(wěn)態(tài)場(chǎng)方程洛平問題的解。解:(1)泊松方程洛平問題為：117拉普拉斯方程洛平問題為：例2、求拉普拉斯方程洛平問題的解118解：由第三格林公式：例3、求拉普拉斯方程洛平問題的解解：由第三格林公式：1192、調(diào)和函數(shù)要求:(1)掌握概念和性質(zhì)的證明；(2 ) 性

13、質(zhì)的應(yīng)用(極值原理)例4、求證泊松方程狄氏問題的解是唯一的、穩(wěn)定的。證明：泊松方程狄氏問題為：(a ) 解的唯一性證明：設(shè)定解問題有兩個(gè)解u1與u2,則：120令:U=u1-u2,則：由極值原理有： ，即(b ) 解的穩(wěn)定性證明：設(shè)在S上給定了函數(shù) 使得： 且： 121令:U=u1-u2,則：由極值原理有： 即證明了穩(wěn)定性。3、泊松方程狄氏問題格林函數(shù)要求:(1)掌握狄氏問題格林函數(shù)概念和性質(zhì)(2)泊松方程、拉氏方程狄氏問題解的積分表達(dá)式(3) 特殊區(qū)域上狄氏問題格林函數(shù)和對(duì)應(yīng)的解的積分表達(dá)式例5、什么是泊松方程狄氏問題格林函數(shù)？物理意義是什么？122答: (1)泊松方程狄氏問題格林函數(shù)定義為

14、：(a) 若G(M,M0)滿足：則稱G(M,M0)為定義在VS上的三維狄氏格林函數(shù)。(b) 若G(M,M0)滿足：則稱G(M,M0)為定義在DS上的平面狄氏格林函數(shù)。(2) 物理意義是:123(a) 物理意義：首先，對(duì)于方程G(M,M0 )=-(M-M0)來說，其物理意義是：空間中M0點(diǎn)處有一電量為(真空中的介電常數(shù)）的正點(diǎn)電荷，在M處產(chǎn)生的電勢(shì)為G(M,M0),其大小為G(M,M0)=1/4r； 其次，狄氏格林函數(shù)定解問題可以理解為：接地導(dǎo)電殼內(nèi)M0處有正點(diǎn)電荷和它在邊界面上產(chǎn)生的感應(yīng)電荷在殼內(nèi)M處產(chǎn)生的電勢(shì)的疊加為G(M,M0),其大小為G(M,M0)= 1/4r +v (x, y, z)

15、。（b) 物理意義：首先，對(duì)于方程G(M,M0 )=-(M-M0)來說，其物理意義是：平面中M0點(diǎn)處有一電量為(真空中的介電常數(shù)）的正點(diǎn)電荷，在M處產(chǎn)生的電勢(shì)為G(M,M0),其大小為G(M,M0)=1/2lnr； 其次，狄氏格林函數(shù)定解問題可以理解為：接地導(dǎo)電圈內(nèi)M0處有正點(diǎn)電荷和它在邊界上產(chǎn)生的感應(yīng)電荷在圈內(nèi)M處產(chǎn)生的電勢(shì)的疊加為G(M,M0),其大小為G(M,M0)= 1/4lnr +v(x,y)。124例6、三維泊松方程狄氏格林函數(shù)的性質(zhì)是什么？答：三維泊松方程狄氏格林函數(shù)的性質(zhì)主要有：(1) 狄氏格林函數(shù)在除去M=M0點(diǎn)外處處滿足拉氏方程。當(dāng)MM0時(shí)，G(M,M0)趨于無窮大，其階數(shù)

16、和1/rMM0相同。(2) 在邊界上格林函數(shù)恒等于零。(3) 在區(qū)域V內(nèi)，有：(4) Green函數(shù)具有對(duì)稱性(物理上稱為互易性 )，即 125例7、三維泊松方程狄氏問題解的積分表達(dá)式是什么？答：例8、二維泊松方程狄氏問題解的積分表達(dá)式是什么？答：例9、教材重點(diǎn)介紹了幾種特殊區(qū)域上狄氏問題格林函數(shù)？采用什么方法求？126答: (1)球域、半空間；圓域、半平面、第一象限。平面上的求法類似。求三維空間中區(qū)域VS上狄氏格林函數(shù),可考慮一接地導(dǎo)體殼S，在VS內(nèi)M0處放置電量為0的正點(diǎn)電荷，由格林函數(shù)物理意義：G(M,M0)等于V內(nèi)電荷0與感應(yīng)電荷在M處產(chǎn)生的電勢(shì)的疊加。這可以通過如下方法求：在V外找一

17、個(gè)M0關(guān)于S的像點(diǎn)，在該點(diǎn)放置一負(fù)電荷，使它與0在S上產(chǎn)生的電勢(shì)疊加為零，則它們?cè)贛處的電勢(shì)疊加等于G(M,M0).(2) 采用鏡像法例10、回憶球域、半空間；圓域、半平面、第一象限內(nèi)的格林函數(shù)表達(dá)式127答: (1)球域(2)上半空間128(3) 上半平面狄氏問題的Green函數(shù) (4) 圓域上狄氏問題的Green函數(shù) (5) 第一象限上狄氏問題的Green函數(shù) 129例11、寫出球域、半空間；圓域、半平面、第一象限內(nèi)的泊松方程狄氏問題解的積分表達(dá)式解：(1) 球域內(nèi)泊松方程狄式問題解的積分表達(dá)式：由于泊松方程狄氏問題的解為：在球面上130在球域上，由于：131所以：所以，球域上狄氏問題的解

18、為：132(2) 上半空間狄式問題的解泊松方程狄氏問題的解為：由于：133所以上半空間泊松方程狄氏問題的解為：而上半空間拉氏方程狄氏問題的解為：134(3) 上半平面內(nèi)泊松方程狄式問題解的積分表達(dá)式：所以得：拉氏方程狄氏解為： 135例11*、求上半平面上拉氏方程狄氏解，邊界條件為： 解：由公式：136(4) 圓域上狄氏問題的解 137解：因?yàn)椋豪?2、求圓域上泊松與拉氏方程狄氏解。所以：所以，狄氏解為：138所以：由于：所以，在極坐標(biāo)系下，有：從而，在極坐標(biāo)下，圓域上泊松方程狄氏解為：在極坐標(biāo)下，圓域上拉氏方程狄氏解為：139例13、求圓域上拉氏方程狄氏解。(1)、解法1:(格林函數(shù)法)(2

19、)、選極坐標(biāo)系，設(shè)圓內(nèi)M0(r0,0),則：140利用函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開可得：采用級(jí)數(shù)展開法計(jì)算積分*所以，得：141當(dāng) 時(shí)：142而：所以，有：1431、分離變量：代入方程得：整理后可令比值為：解法2:(分離變量法)144得兩個(gè)常微分方程如下：2、求解固有值問題145(1) 0時(shí)，令=2 得：結(jié)合周期條件，只能取正整數(shù)。于是得固有值：固有函數(shù)為：1463、求歐拉方程的解(1)、對(duì)應(yīng)于0= 0的解為：由有限性得：D=0,于是有：147(2)、對(duì)應(yīng)于n= n2(n=1,2.)作變換：=et 得：由有限性得：Dn=0,于是有：1484、求定解一般解為：由邊界條件(1)得：149所以，比較系數(shù)得：所以，

20、(1)的解為：由邊界條件(2)得：所以，比較系數(shù)得：所以，(2)的解為：150(5) 第一象限上狄氏問題的Green函數(shù)為： 例13、求第一象限上拉氏方程狄氏解。解：假定定解問題為：151由于其中：對(duì)于L1:對(duì)于L2:152對(duì)于L2:153所以，拉氏解為：例14、求上半圓域上狄氏問題格林函數(shù)格林函數(shù)滿足的定解問題為：154M0M1M1M0Mxy設(shè)想在 放置電量為0的電荷(1)對(duì)于 在 放置電量為-0的電荷，則能夠使邊界條件(3)滿足，但不能使(2)滿足。(2)若要同時(shí)使(2)滿足，對(duì)于圓周邊界來說，M0的對(duì)稱點(diǎn)為：155在M1放置電量為 的電荷對(duì)于 M1的對(duì)稱點(diǎn)為：置電量為 的電荷四個(gè)電荷的疊

21、加滿足邊界條件，所以得到格林函數(shù)：1564、三種典型方程的基本解問題要求: (1) 知道三種典型方程的基本解的定義、基本解表達(dá)式；(2)能利用基本解求相應(yīng)的定解問題。例16、敘述泊松方程基本解的定義；寫出其基本解；并求出 的一個(gè)特解。答: (1)方程 的解稱為泊松方程 的基本解。(2) 基本解為：157(3) 特解應(yīng)該為基本解與函數(shù)f的卷積。設(shè)U*為特解，則有：注：平面泊松方程基本解為：例17、敘述熱傳導(dǎo)方程柯西問題基本解的定義；寫出其基本解；在此基礎(chǔ)上求出如下定解問題：答: (1) 定解問題：158的解，稱為如下定解問題的基本解。(2) 基本解為：(3) 定解為基本解與初始函數(shù)的卷積。設(shè)u為定解，則有：159注：二維、三維類似。例18、敘述熱傳導(dǎo)方程混合問題基本解的定義；寫出其基本解；在此基礎(chǔ)上求出如下定解問題：答: (1) 定解問題160的解稱為如下定解問題的基本解(2) 基本解為：(3) 定解與基本解的關(guān)系為：161例20、敘述波動(dòng)方程柯西問題基本解的定義；寫出其基本解。答: (1) 定解問題162的解稱為如下定解