工程流體力學教學作者周乃君流體力學粘性流體運動方程及其基本解課件

1、第八章 粘性流體運動方程及其基本解內(nèi)容提要：流體微團的運動形式與速度分解定理粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）Navier-Stokes方程 主要討論層流問題二維層流精確解18.1 問題的提出旋轉(zhuǎn)容器中液體的粘性效應(yīng)柱體繞流28.2 雷諾輸運定理與連續(xù)性方程對于一般物理量（如密度，動量，能量）雷諾輸運定理：運動著的流體微團的某一物理量對時間的變化率等于單位時間內(nèi)控制體中所含該物理量的增量與通過控制面流出相應(yīng)物理量之和。連續(xù)性方程：31、流體微團運動的基本形式 流體微團在運動過程中，將發(fā)生剛體運動（平動和轉(zhuǎn)動） 與變形運動（線變形和角變形運動）平動轉(zhuǎn)動線變形角變形8.3 速度分解定

2、理（Helmholtz定理）42、速度分解定理 德國物理學家 Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流場速度的分解定理，正確區(qū)分了流體微團的運動形式。設(shè)在流場中，相距微量的任意兩點，按泰勒級數(shù)展開給出分解。在 速度為 在 點處，速度為5以x方向速度分量為例，由泰勒級數(shù)展開，有將上式分別加、減下列兩項得到：6如果令：綜合起來，有：7對于y,z方向的速度分量，也可得到寫成矢量形式：其中，第一項表示微團的平動速度， 第二項表示微團轉(zhuǎn)動引起的， 第三項表示微團變形（線變形和角變形）引起的。8定義如下：流體微團平動速度：流體微團線變形速度：流體微團角變形速度（剪切變形速度）：流體微團旋

3、轉(zhuǎn)角速度：9流體質(zhì)點的渦量定義為表示流體質(zhì)點繞自身軸旋轉(zhuǎn)角速度的2倍。并由渦量是否為零，定義無旋流動與有旋運動。4、變形率矩陣（或變形率張量，或應(yīng)變率張量） 在速度分解定理中，最后一項是由流體微團變形引起的，其中 稱為變形率矩陣，或變形率張量。該項與流體微團的粘性應(yīng)力存在直接關(guān)系。3、有旋運動與無旋運動10定義流體微團的變形率矩陣該矩陣是個對稱矩陣，每個分量的大小與坐標系的選擇有關(guān)，但有三個量是與坐標系選擇無關(guān)的不變量。它們是：11其中對于第一不變量，具有明確的物理意義。表示速度場的散度，或流體微團的相對體積膨脹率。125.速度梯度分解速度梯度是一個二階張量Sij即為變形率張量（ ij，應(yīng)變率

4、張量），ij稱為旋轉(zhuǎn)張量。13 流體處于靜止狀態(tài)，只能承受壓力，幾乎不能承受拉力和剪力，不具有抵抗剪切變形的能力。理想流體在運動狀態(tài)下，流體質(zhì)點之間可以存在相對運動，但不具有抵抗剪切變形的能力。因此，作用于流體內(nèi)部任意面上的力只有正向力，無切向力。 粘性流體在運動狀態(tài)下，流體質(zhì)點之間可以存在相對運動，流體具有抵抗剪切變形的能力。因此，作用于流體內(nèi)部任意面上力既有正向力，也有切向力。 1、理想流體和粘性流體作用面受力差別8.4 粘性流體的受力分析142、粘性流體中的應(yīng)力狀態(tài) 在粘性流體運動中，由于存在切向力，過任意一點單位面積上的表面力就不一定垂直于作用面，且各個方向的大小也不一定相等。因此，作

5、用于任意方向微元面積上合應(yīng)力可分解為法向應(yīng)力和切向應(yīng)力。如果作用面的法線方向與坐標軸重合，則合應(yīng)力可分解為三個分量，其中垂直于作用面的為法應(yīng)力，另外兩個與作用面相切為切應(yīng)力，分別平行于另外兩個坐標軸，為切應(yīng)力在坐標軸向的投影分量。15 由此可見，用兩個下標可把各個應(yīng)力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一個下標表示作用面的法線方向，第二個下標表示應(yīng)力分量的投影方向。如，對于x面的合應(yīng)力可表示為 y面的合應(yīng)力表達式為 z面的合應(yīng)力表達式為16 如果在同一點上給定三個相互垂直坐標面上的應(yīng)力，那么過該點任意方向作用面上的應(yīng)力可通過坐標變換唯一確定。因此，我們把三個坐標面上的九個應(yīng)力分量稱為該點

6、的應(yīng)力狀態(tài)，由這九個應(yīng)力分量組成的矩陣稱為應(yīng)力矩陣（或應(yīng)力張量）。根據(jù)剪力互等定理，在這九分量中，只有六個是獨立的，其中三法向應(yīng)力和三個切向應(yīng)力。這個應(yīng)力矩陣如同變形率矩陣一樣，是個對稱矩陣。17（1）在理想流體中，不存在切應(yīng)力，三個法向應(yīng)力相等，等于該點壓強的負值。即（2）在粘性流體中，任意一點的任何三個相互垂直面上的法向應(yīng)力之和一個不變量，并定義此不變量的平均值為該點的平均壓強的負值。即（3）在粘性流體中，任意面上的切應(yīng)力一般不為零。188.5 動量方程積分形式的理想流體動量方程：積分形式的粘性流體動量方程：微分形式的粘性流體動量方程：198.6 本構(gòu)方程如圖，微元體每個面上有正應(yīng)力和切應(yīng)

7、力。第一個角標指垂直于每軸的面，第二個角標指應(yīng)力方向（坐標軸上的投影）共有9個量，構(gòu)成二階張量應(yīng)力張量： 為研究粘性流體的運動，我們需要找到應(yīng)力與應(yīng)變率的關(guān)系本構(gòu)關(guān)系 作用于微元上的應(yīng)力20廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）1、牛頓內(nèi)摩擦定理啟發(fā) 牛頓內(nèi)摩擦定理得到，粘性流體作直線層狀流動時，流層之間的切應(yīng)力與速度梯度成正比。即： 如果用變形率矩陣和應(yīng)力矩陣表示，有：說明應(yīng)力矩陣與變形率矩陣成正比。對于一般的三維流動，Stokes（1845年）通過引入三條假定，將牛頓內(nèi)摩擦定律進行推廣，提出廣義牛頓內(nèi)摩擦定理。212、Stokes假設(shè)（1845年）（1）流體是連續(xù)的，它的應(yīng)力矩陣與變形率矩陣成線性

8、關(guān)系，與流體的平動和轉(zhuǎn)動無關(guān)。（2）流體是各向同性的，其應(yīng)力與變形率的關(guān)系與坐標系的選擇和位置無關(guān)。（3）當流體靜止時，變形率為零，流體中的應(yīng)力為流體靜壓強。 由第三條件假定可知，在靜止狀態(tài)下，流體的應(yīng)力只有正應(yīng)力，無切應(yīng)力。即：22 因此，在靜止狀態(tài)下，流體的應(yīng)力狀態(tài)為 根據(jù)第一條假定，并受第三條假定的啟發(fā)，可將應(yīng)力矩陣與變形率矩陣寫成如下線性關(guān)系式（本構(gòu)關(guān)系）。 式中，系數(shù)a、b是與坐標選擇無關(guān)的標量。參照牛頓內(nèi)摩擦定理，系數(shù)a只取決于流體的物理性質(zhì)，可取：23 由于系數(shù)b與坐標系的轉(zhuǎn)動無關(guān)，因此可以推斷，要保持應(yīng)力與變形率成線性關(guān)系，系數(shù)b只能由應(yīng)力矩陣與變形率矩陣中的那些線性不變量構(gòu)成

9、。即令：式中，b1，b2，b3為待定系數(shù)。將a、b代入，有：取等式兩邊矩陣主對角線上的三個分量之和，可得出：24歸并同類項，得到：在靜止狀態(tài)下，速度的散度為零，且有：于是，有： 由于b1和b3均為常數(shù)，且要求p0在靜止狀態(tài)的任何情況下均成立，則 然后代入第一式中，有25定義流體壓強為其中稱為虛擬粘性系數(shù)（容變/膨脹粘性系數(shù)）。則本構(gòu)關(guān)系為：上式即為廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（亦為牛頓流體的本構(gòu)方程，constructive equation）26對于絕大部分牛頓流體（包括氣體和液體）流動，虛擬粘性系數(shù)0，可以不予考慮，只有在少數(shù)特殊情況下，比如激波層內(nèi)，0。所以一般情況下，本構(gòu)關(guān)系可簡化為：用指標形式

10、，上式可表示為27對于不可壓縮流體,有：如果用坐標系表示，有：粘性切應(yīng)力：法向應(yīng)力：2829本構(gòu)關(guān)系：應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系 對于剪切流動的簡單情況，牛頓內(nèi)摩擦定律：對于剪切流動的復雜情況，牛頓內(nèi)摩擦定律：根據(jù)各向同性假設(shè)有x，y，z三個切向應(yīng)力：30根據(jù)斯托克斯假設(shè)，在粘性不可壓流體中x,y,z三個法向應(yīng)力的表達式為：將上述三式相加，并根據(jù)連續(xù)性方程得到：對于靜止流體：8.7 N-S方程 如圖微元體，每個面上正應(yīng)力沿外法線方向，切應(yīng)力沿坐標軸正向，現(xiàn)分析z方向上表面力正應(yīng)力切應(yīng)力作用于微元上的應(yīng)力ABCDHEFG3132質(zhì)量力：作用于微元上的應(yīng)力ABCDHEFG3334不可壓縮流體，由連續(xù)

11、性方程得：35基本方程組： 定解條件未知數(shù)：u,v,w,p四個，故方程組封閉，給定定解條件，理論上可求得唯一解?？墒?，由于是非線性、強耦合偏微分方程組，求解非常困難，通常根據(jù)實際問題進行簡化后，可求一些簡單問題的解。注：理想流體歐拉運動方程就是N-S方程的一種簡化。36 上述N-S方程和連續(xù)方程適用于不可壓流動，對于可壓縮流動，還需要加上狀態(tài)方程和能量守恒方程才能封閉，再加上定解條件，數(shù)學上可以求解，但僅對層流有效；對于湍流，通常還需要建立湍流模型進行求解。 N-S方程的邊界條件和初始條件 數(shù)學上，N-S方程是三個橢圓型二階偏微分方程聯(lián)立的方程組，其邊界條件應(yīng)是在一個封閉邊界上的狄利克雷或諾伊

12、曼條件。 從物理學方面講，對于連續(xù)介質(zhì)流體與固體的交界面，實驗得到的粘性流動的邊界條件是：流體與固體間無穿透且無相對滑動，即un = Un，ut = Utn和t分別表示法向和切向。37 在流場無窮遠處，流速為零或常數(shù)。需考慮流場中熱效應(yīng)時，熱邊界條件為：在邊界處，溫度T為常數(shù)或溫度梯度T/n為常數(shù)。 在兩種不同流體的分界面，若它們均為液體，則分界面兩側(cè)流體的速度、壓強和溫度都相等：u1 = u2，p1 = p2，T1 = T2摩擦力和通過分界面的熱傳導量也相等： 若界面兩側(cè)分別是液體和氣體，如液體自由表面，則其運動學條件為：在自由表面上的流體質(zhì)點永遠都處于自由表面上；動力學條件為：交界面處的法向應(yīng)力、切向應(yīng)力連續(xù)。38398.9 二維平面層流解 一、庫塔流動（Couette Flow） 如圖，平板在水面上運動，假設(shè)：二維，定常不可壓，層流，不計重力。對基本方程組根據(jù)問題性質(zhì)做適當簡化后，直接求出的解稱精確解。至今大約有二十多個，它們是其他解法的重要基礎(chǔ)。4041(1) 簡單庫塔流動無壓差流動，上板以u0運動其解為：42壓差流動(順壓梯度)其解為：(2) 平面泊肅葉流動平面泊肅葉流動43(3)其解為：為上述