第2章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的分析ppt課件

1、2.1 延續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析 2.1.1 根本延續(xù)時(shí)間信號(hào) 2.1.2 延續(xù)時(shí)間信號(hào)的沖激表示2.2 周期信號(hào)的傅里葉分析 2.2.1 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù) 2.2.2 典型周期信號(hào)的頻譜2.3 非周期信號(hào)的傅里葉變換 2.3.1 從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換 2.3.2 典型非周期信號(hào)的傅里葉變換 2.3.3 傅里葉變換的性質(zhì)2.4 周期信號(hào)的傅里葉變換2.5 延續(xù)信號(hào)的拉普拉斯變換 2.5.1 拉普拉斯變換的定義 2.5.2 拉普拉斯逆變換第二章 延續(xù)時(shí)間信號(hào)的分析 時(shí)域分析 以沖激函數(shù)為根本信號(hào)，恣意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)；而yf(t) = h(t)*f(t)。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)

2、立變量是時(shí)間。 頻域分析 本章將以正弦信號(hào)和虛指數(shù)信號(hào)ejt為根本信號(hào)，恣意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率。2.1 延續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析2.1.1 根本延續(xù)時(shí)間信號(hào)1、單位斜變信號(hào)數(shù)學(xué)描畫：2、單位階躍信號(hào)忽然接入的直流電壓忽然接通又馬上斷開電源1階躍信號(hào)的物理背景開關(guān)作用n 函數(shù)序列n(t)階躍信號(hào)和沖激信號(hào)都是奇特信號(hào), 階躍信號(hào)與沖激信號(hào)是兩種最根本的理想信號(hào)模型。階躍信號(hào)和沖激信號(hào)在信號(hào)分析與處置中占有重要位置。2階躍信號(hào)的數(shù)學(xué)描畫延遲時(shí)間的階躍函數(shù) 單位階躍函數(shù)3階躍信號(hào)的單邊特性對(duì)函數(shù) t0 部分的截取 5用階躍函數(shù)閉式

3、表示分段光滑信號(hào)x(t) = 2(t)- 3(t-1) +(t-2) 4階躍信號(hào)的加窗特性對(duì)脈沖范圍內(nèi)的截取 6單位階躍函數(shù)的積分為單位斜坡信號(hào)1沖激信號(hào)的物理背景 沖激信號(hào)反映一種繼續(xù)時(shí)間極短，函數(shù)值極大的脈沖信號(hào)的極限，如：雷擊電閃、短促而劇烈的干擾信號(hào)、瞬間作用的沖擊等等。3、單位沖激信號(hào)單位沖激信號(hào)的特征：寬度無(wú)窮小脈寬、高度無(wú)窮大脈高、面積為1強(qiáng)度為1的窄脈沖。留意：圖中K為強(qiáng)度，要括??！2沖激信號(hào)(t)的數(shù)學(xué)描畫 延遲單位沖激1(t)的狄拉克定義單位沖激函數(shù)普通沖激信號(hào)2 脈沖函數(shù)極限定義法矩形脈沖逼近： 脈沖逼近：對(duì)n(t)求導(dǎo)矩形脈沖pn(t) 3沖激函數(shù)的性質(zhì) 1 與普通函數(shù)

4、 x(t) 的乘積篩分性質(zhì)假設(shè)x(t)在 t = 0 、 t = t0處存在，那么 x(t)(t) = x(0)(t) ， x(t)(t t0) = x(a) (t t0) 沖激函數(shù)把信號(hào)在充激時(shí)辰的值“篩分出來(lái)，賦給沖激函數(shù)作為沖激強(qiáng)度。延續(xù)信號(hào)與沖激函數(shù)相乘再積分，等于沖激時(shí)辰的信號(hào)值,這就是抽樣性質(zhì)。 2 與普通函數(shù) x(t) 的乘積再積分抽樣性質(zhì)4沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系：可見，引入沖激函數(shù)之后，延續(xù)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也存在。如x(t) = 2(t +1)-2(t -1)x(t) = 2(t +1)-2(t -1)求導(dǎo)nn 4、沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(t) 也稱沖激偶信號(hào) ( t) = (t) 為偶函數(shù)

5、( t) = (t) 為奇函數(shù)1沖激偶信號(hào)的數(shù)學(xué)描畫2沖激偶信號(hào)的性質(zhì) 1 與普通函數(shù) x(t) 的乘積篩分性質(zhì) 2 抽樣性質(zhì) 0(t)例：簡(jiǎn)化以下表達(dá)式。 5、指數(shù)信號(hào)1指數(shù)信號(hào)的數(shù)學(xué)描畫1實(shí)指數(shù)信號(hào)指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)指數(shù)規(guī)律衰減直流2復(fù)指數(shù)信號(hào)增幅振蕩衰減振蕩等幅振蕩復(fù)指數(shù)信號(hào)是延續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中運(yùn)用的根本信號(hào)。其中復(fù)頻率s中的實(shí)部絕對(duì)值的大小反映了信號(hào)增長(zhǎng)或衰減的速率，虛部的大小反映了信號(hào)振蕩的頻率。2用復(fù)指數(shù)信號(hào)表示正余弦信號(hào) 6、抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)的數(shù)學(xué)描畫：2.1.2 延續(xù)時(shí)間信號(hào)的沖激表示恣意延續(xù)信號(hào)可以表示為無(wú)限多個(gè)不同加權(quán)的沖激信號(hào)之和。 傅里葉生平1768年生于法國(guó)180

6、7年提出“任何周期信號(hào)都可用正弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示拉格朗日反對(duì)發(fā)表1822年初次發(fā)表在“熱的分析實(shí)際一書中1829年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示 傅立葉的兩個(gè)最主要的奉獻(xiàn)周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和2.2 周期信號(hào)的傅里葉分析傅里葉分析的工程意義各種頻率的正弦信號(hào)的產(chǎn)生、傳輸、分別和變換容易工程實(shí)現(xiàn)。正弦量只需三要素即可描畫，LTI系統(tǒng)的輸入和輸出的差別只需兩要素，即系統(tǒng)的作用只改動(dòng)信號(hào)的振幅和相位。 是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，呼應(yīng)易求且簡(jiǎn)單。1、傅里葉分析的根本信號(hào)單元2、適用于廣泛的信號(hào) 由虛指數(shù)或正弦信號(hào)的線性組合可以組成工程中各種信號(hào)，使得對(duì)

7、恣意信號(hào)作用下的LTI系統(tǒng)進(jìn)展頻域分析成為一件容易的事情。利于濾波、緊縮處置。3、頻域分析的優(yōu)勢(shì)恣意信號(hào)分解成不同頻率虛指數(shù)正弦信號(hào)的線性組合，分析LTI系統(tǒng)對(duì)這些不同頻率單元信號(hào)作用的呼應(yīng)特性的過程就是頻域分析。頻率分析可以方便求解系統(tǒng)呼應(yīng)。 例如相量法。頻域分析的結(jié)果具有明顯的物理意義，例如抽樣定理和無(wú)失真?zhèn)鬏敻拍疃际穷l域分析的結(jié)果?？芍苯釉陬l域內(nèi)設(shè)計(jì)可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，例如濾波器的設(shè)計(jì)。狄里赫利條件1、在一個(gè)周期內(nèi)只需有限個(gè)延續(xù)點(diǎn)；2、在一個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)；3、在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)絕對(duì)可積，即正交函數(shù)與正交函數(shù)集正交函數(shù)：假設(shè)兩個(gè)函數(shù)g1(t)、g2(t)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)滿足那么闡明這

8、兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間(t1,t2)正交，或稱它們是區(qū)間(t1,t2)上的正交函數(shù)。正交函數(shù)與正交函數(shù)集正交函數(shù)集：假設(shè)函數(shù)集gi(t) 在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)且函數(shù)g1(t) ，. gn(t) 滿足那么這個(gè)函數(shù)集就是正交函數(shù)集，當(dāng)ki=1時(shí)為歸一化正交函數(shù)集。滿足一定條件的信號(hào)可以被分解為正交函數(shù)的線性組合假設(shè)正交函數(shù)集是完備的，那么：三角函數(shù)集是最重要的完備正交函數(shù)集三角函數(shù)是根本函數(shù)；用三角函數(shù)表示信號(hào)，建立了時(shí)間與頻率兩個(gè)根本物理量之間的聯(lián)絡(luò)；單頻三角函數(shù)是簡(jiǎn)諧信號(hào)，易于產(chǎn)生、傳輸、處置；三角函數(shù)信號(hào)經(jīng)過LTI系統(tǒng)后，仍為同頻三角函數(shù)信號(hào)。三角函數(shù)集：完備正交函數(shù)集復(fù)指數(shù)函數(shù)集：1、傅里葉級(jí)數(shù)

9、的三角方式設(shè)周期信號(hào)x(t)，其周期為T1，角頻率1=2/T1，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)數(shù) 稱為x(t)的傅里葉級(jí)數(shù) 系數(shù)ak , bk稱為傅里葉系數(shù) 可見， ak 是k的偶函數(shù)， bk是k的奇函數(shù)。2.2.1 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)式中，C0 = a0上式闡明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。 其中， C0為直流分量； C1cos(1t+1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號(hào)一樣； C2cos(2 1t +2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；普通而言，Ckcos(k 1t+k)稱為k次諧波。 可見Ck是k的偶函數(shù)， k是k的奇函數(shù)。ak

10、= Ckcosk， bk = Cksin k，k=1,2,將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫為由前知引入了負(fù)頻率其中由歐拉公式指數(shù)級(jí)數(shù)2、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)方式三角方式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因此經(jīng)常采用指數(shù)方式的傅里葉級(jí)數(shù)?？蓮娜欠绞酵瞥觯豪?cosx=(ejx + ejx)/2 稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡(jiǎn)稱傅里葉系數(shù)。 (k = 0, 1, 2，) 闡明：恣意周期信號(hào)x(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。 X0 = C0為直流分量。兩種傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系: 3、三角方式與指數(shù)方式的比較三角方式便于電路計(jì)算，便于對(duì)稱性分析指數(shù)方式是本課程研討的主要方式可推出傅里葉變換 表

11、達(dá)最簡(jiǎn)練 k = 0, 1, 2， 指數(shù)方式的優(yōu)勢(shì) 代表頻譜2.2.2 典型周期信號(hào)的頻譜 從廣義上說，信號(hào)的某種特征量隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱為信號(hào)的頻譜，所畫出的圖形稱為信號(hào)的頻譜圖。 周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即 將Ck和k的關(guān)系分別畫在以為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。由于k0，所以稱這種頻譜為單邊譜。 也可畫|Xk|和k的關(guān)系，稱為雙邊譜。假設(shè)Xk為實(shí)數(shù)，也可直接畫Xk 。1、周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖信號(hào)的脈沖寬度為，脈沖幅度為A，周期為T1，求頻譜。 離散頻譜，譜線間隔為基波頻率，脈沖周期越大，譜線越密；各

12、分量的大小與脈幅成正比，與脈寬成正比，與周期成反比；各譜線的幅度按 包絡(luò)線變化；過零點(diǎn)為： ；主要能量在第一過零點(diǎn)內(nèi)。主頻帶寬度為：周期矩形脈沖信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：譜線的構(gòu)造與波形參數(shù)的關(guān)系：(a) T1一定，變小，此時(shí)1譜線間隔不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目增多。周期不變時(shí)，脈沖寬度越窄，其頻譜包絡(luò)線第一個(gè)零值點(diǎn)的頻率越高，即信號(hào)的帶寬越大，頻帶內(nèi)所含的分量越多 。假設(shè)周期無(wú)限增長(zhǎng)這時(shí)就成為非周期信號(hào)，那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜就過渡到非周期信號(hào)的延續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小。 (b) 一定，T1增大，間隔1減小，頻譜變密。幅度減小。2、周期三角脈沖信號(hào)的頻譜2.3 非

13、周期信號(hào)的傅里葉變換2.3.1 從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換 非周期信號(hào)x(t)可看成是周期T1時(shí)的周期信號(hào)。 前已指出當(dāng)周期T1趨近于無(wú)窮大時(shí)，譜線間隔1趨近于無(wú)窮小，從而信號(hào)的頻譜變?yōu)檠永m(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小，不過，這些無(wú)窮小量之間仍有差別。 為了描畫非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令 (單位頻率上的頻譜 稱X()為頻譜密度函數(shù)。思索到：T1，1無(wú)窮小，記為d； k 1 由離散量變?yōu)檠永m(xù)量，而同時(shí)， 于是，傅里葉變換式“-傅里葉反變換式X()稱為x(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻譜。x(t)稱為X()的傅里葉反變換或原函數(shù)。根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)也可簡(jiǎn)記為或 x(t)

14、 X()X()是一個(gè)密度函數(shù)的概念X() 是一個(gè)延續(xù)譜X() 包含了從零到無(wú)限高頻的一切頻率分量各頻率分量的頻率不成諧波關(guān)系非周期信號(hào)FT的物理意義X()普通是復(fù)函數(shù)，寫為闡明： (1)前面推導(dǎo)并未遵照嚴(yán)厲的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù)x(t)的傅里葉變換存在的充分條件:(2)用以下關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分。|X()|幅度譜 ()相位譜非周期信號(hào)的幅度頻譜是頻率的延續(xù)函數(shù)，其外形與相應(yīng)周期信號(hào)頻譜的包絡(luò)線一樣。 2.3.2 典型非周期信號(hào)的頻譜單邊指數(shù)信號(hào) x(t) = et(t)， 0實(shí)數(shù)2. 矩形脈沖信號(hào) 門函數(shù) 3. 符號(hào)函數(shù) 4. 單位沖激信號(hào) 5. 直流信號(hào)(t)1代入反變換定義式，有將t

15、，t-再根據(jù)傅里葉變換定義式有一些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積這一充分條件，如1，(t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。 可構(gòu)造一函數(shù)序列xn(t)逼近x (t) ，即而xn(t)滿足絕對(duì)可積條件，并且xn(t)的傅里葉變換所構(gòu)成的序列Xn()是極限收斂的。那么可定義x(t)的傅里葉變換X ()為這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。 廣義傅里葉變換6. 單位階躍信號(hào) 7. 雙邊指數(shù)信號(hào) x(t) = et , 0 2.3.3 傅里葉變換的性質(zhì)1. 線性(Linear Property)假設(shè)，那么對(duì)于恣意常數(shù)a1和a2，有 證明: F a1 x1(t) + a2 x2(t)= a1

16、X1() + a2 X2() 2. 對(duì)偶性(Symmetrical Property)假設(shè) x (t) X() 那么證明:1in (1) t ，t then 2in (2) - then X(t) 2x () endX( t ) 2x ()3. 尺度變換性質(zhì)(Scaling Transform Property)假設(shè) x (t) X() 那么 其中 “a 為不等于零的實(shí)常數(shù)。證明：F x (a t ) =For a 0F x (a t ) for a 0時(shí)收斂域收斂邊境即單邊拉氏變換的ROC為：Res= 0可以歸納出ROC的以下性質(zhì)：1. ROC是 S 平面上平行于 軸的帶狀區(qū)域。2. 在RO

17、C內(nèi)無(wú)任何極點(diǎn)。3. 時(shí)限信號(hào)的ROC是整個(gè) S 平面。4. 右邊信號(hào)的ROC是 S 平面內(nèi)某一條平行于 軸的直線的右邊。The Region of Convergence for Laplace Transforms假設(shè) ，那么闡明 也在收斂域內(nèi)。假設(shè) 是右邊信號(hào), , 在ROC內(nèi)，那么有 絕對(duì)可積，即：5. 左邊信號(hào)的ROC是S平面內(nèi)的一條平行于 軸的直線的左邊。 假設(shè) 是左邊信號(hào)，定義于 , 在 ROC 內(nèi)， ，那么闡明 也在收斂域內(nèi)。6. 雙邊信號(hào)的ROC假設(shè)存在，一定是 S 平面內(nèi)平行于 軸的帶形區(qū)域。例1.調(diào)查零點(diǎn)，令得例2.有極點(diǎn) 顯然 在 也有一階零點(diǎn)，由于零極點(diǎn)相抵消，致使在

18、整個(gè)S平面上無(wú)極點(diǎn)。當(dāng) 時(shí)，上述ROC有公共部分，當(dāng) 時(shí)，上述 ROC 無(wú)公共部分，闡明 不存在。 當(dāng) 是有理函數(shù)時(shí)，其ROC總是由 的極點(diǎn)分割的。ROC必然滿足以下規(guī)律： 1. 右邊信號(hào)的ROC一定位于 最右邊極點(diǎn)的右邊。 2. 左邊信號(hào)的ROC一定位于 最左邊極點(diǎn)的左邊。 3. 雙邊信號(hào)的ROC可以是恣意兩相鄰極點(diǎn)之間的帶狀區(qū)域。例3.可以構(gòu)成三種 ROC： ROC： 此時(shí) 是右邊信號(hào)。 ROC： 此時(shí) 是左邊信號(hào)。 ROC： 此時(shí) 是雙邊信號(hào)。(1) (t) 1， -(2) (t)或1 1/s ， 0利用0_系統(tǒng)，可以計(jì)算信號(hào)在 t=0 時(shí)發(fā)生的沖激。全 s 域內(nèi)均存在拉氏變換。留意：階

19、躍信號(hào)只在 的區(qū)域內(nèi)存在拉 氏變換， 是區(qū)域邊境。 是 的極點(diǎn)實(shí)部。當(dāng)s 的實(shí)部 時(shí)， ，故 3、常見信號(hào)的拉氏變換時(shí)，有留意：指數(shù)信號(hào)只在 的區(qū)域內(nèi)存在拉氏變換， 是區(qū)域邊境。cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 sin0t = (ej0t e-j0t )/2j (3) 指數(shù)函數(shù)e-s0t -Res0= 04、拉氏變換的性質(zhì) 線性時(shí)移頻移尺度變換t 域微分s 域微分t 域積分s 域積分t 域卷積例1:求如圖信號(hào)的單邊拉氏變換。解：x1(t) = (t) (t-1)， x2(t) = (t+1) (t-1)X1(s)=X2(s)= X1(s)留意: X2(s) 例2:求x(t)=

20、e-2(t-1)(t1) X (s)=?例3:求x(t)= e-2(t-1)(t) X (s)=?x(t)= e-2t e2(t)例4:知x1(t) X1(s), 求x2(t) X2(s)。解： x2(t) = x1(0.5t) x10.5(t-2)x1(0.5t) 2X1(2s)x1 0.5(t-2) 2X1(2s)e-2sx2(t) 2X1(2s)(1 e-2s)例5:知因果信號(hào)x(t)的象函數(shù)X(s)= 求e-tx(3t-2)的象函數(shù)。 解：e-tx(3t-2) 例6: (n)(t) ? 例7:例9: t2(t) ? 解:例8: t (t) ?例10：例11:知因果信號(hào)x(t)如圖 ,求X(s)。解:由于x(t)為因果信號(hào)，故 x(0-)=0結(jié)論：假設(shè)x(t)為因果信號(hào)，知x(n)(t) Xn(s) 那么 x(t) Xn(s)/sn2.5.2 拉普拉斯逆變換1、根本思想 根據(jù)線性性質(zhì)，把象函數(shù)分解為根本單元的組合，再求取拉普拉斯逆變換。 直接求取相當(dāng)困難！的根