七年級(jí)三角形專題

1、三角形知識(shí)點(diǎn)：關(guān)于三角形的一些概念 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。 組成三角形的線段叫三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊所組成的角叫三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。它有三條邊、三個(gè)內(nèi)角和三個(gè)頂點(diǎn)，三角形可用符號(hào)“”表示三角形的表示方法通常用三個(gè)大寫字母表示三角形的頂點(diǎn)，如用表示三角形的三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，此三角形可記作，其中線段是三角形的三條邊，有時(shí)也用來表示。頂點(diǎn)所對(duì)的邊用表示，頂點(diǎn)所對(duì)的邊用表示，頂點(diǎn)所對(duì)的邊用表示。三角形的分類三角形三條邊的關(guān)系 三角形三邊都不相等，叫不等邊三角形；有兩條邊相等的叫等腰三角形；三邊都相等的則叫等邊三角形。 等腰三

2、角形中，相等的兩條邊叫腰，另一邊叫底邊，腰和底邊的夾角叫底角，兩腰的夾角叫項(xiàng)角。 三角形接邊相等關(guān)系來分類： 三角形 用集合表示，見圖24 三角形按角分類： 用集合表示，見圖 三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角。 推論2：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。 推論3：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。 例如圖26中 1 3；1=34；538；5378；28；278；49；4910等等。三角形的三條重要線段 1、三角形的角平分線。 三角形的角平分線是一條線段（頂點(diǎn)與內(nèi)角平分線和對(duì)邊交線間的距離） 2、三角形的中線 三角形的中線也是一條線段（頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)間的

3、距離） 3三角形的高 三角形的高線也是一條線段（頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離） 注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內(nèi)。 如圖 2l， AD、 BE、 CF都是么ABC的角平分線，它們都在ABC內(nèi) 如圖22，AD、BE、CF都是ABC的中線，它們都在ABC內(nèi) 而圖23，說明高線不一定在 ABC內(nèi)， 圖23（1） 圖23（2） 圖23一（3）圖23（1），中三條高線都在 ABC內(nèi)， 圖23（2），中高線CD在ABC內(nèi)，而高線AC與BC是三角形的邊；圖23一（3），中高線BE在ABC內(nèi)，而高線AD、CF在ABC外。三角形的內(nèi)角（1）三角形內(nèi)角的概念：在三角形中，由相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角。（2）三角

4、形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和為。（3）三角形內(nèi)角和定理的推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。三角形的外角（1）三角形外角的概念：三角形的一條邊與另一邊的延長線所組成的角，叫做三角形的外角。三角形的外角應(yīng)具有三個(gè)特征：頂點(diǎn)時(shí)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)；一邊是三角形的邊；另一邊是三角形某條邊的延長線。（2）三角形外角的性質(zhì)：三角形的外角與和它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)；三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。三角形的有關(guān)性質(zhì)（1）邊的性質(zhì)：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊。 例如三條線段長分別為5

5、，6，1人因?yàn)?612，所以這三條線段，不能作為三角形的三邊。（2）角的性質(zhì)：三角形的內(nèi)角和為180 由定理可知，三角形的二個(gè)角已知，那么第三角可以由定理求得。 如已知ABC的兩個(gè)角為A90，B40，則C180904050 由定理可以知道，三角形的三個(gè)內(nèi)角中，只可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角。一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角，直角三角形的兩個(gè)銳角互余（3）穩(wěn)定性：即三角形的三邊的長度確定后，三角形的形狀保持不變?nèi)切蔚拿娣e 三角形的面積= 1/2 底高全等三角形 能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等形。 兩個(gè)全等三角形重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊

6、叫對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫對(duì)應(yīng)角。 全等用符號(hào)“”表示 ABCA BC表示 A和 A， B和B， C和C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)。 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。 如圖27，ABCA BC，則有A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A、B、C；AB、BC、CA的對(duì)應(yīng)邊是AB、BC、CA。 A，B，C的對(duì)應(yīng)角是A、B、C。 ABAB，BCBC，CACA；AA， BB，CC 五、全等三角形的判定 1、邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”） 注意：一定要是兩邊夾角，而不能是邊邊角。 2、角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角邊角“或“A

7、SA”） 3、推論有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角角邊域“AAS”） 4、邊邊邊公理有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”） 由邊邊邊公理可知，三角形的重要性質(zhì)：三角形的穩(wěn)定性。 除了上面的判定定理外，“邊邊角”或“角角角”都不能保證兩個(gè)三角形全等。 5、直角三角形全等的判定：斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊，直角邊”或“HL”）判別兩個(gè)三角形全等1已知兩邊 2已知一邊一角3已知兩角經(jīng)典例題考點(diǎn)一：三角形三邊關(guān)系三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形任意兩邊之差小于第三邊例1 在ABC中，AB

8、=9，BC=2，并且AC的長為奇數(shù)，那么ABC的周長是多少？分析 由三角形中第三邊取值范圍的確定方法：“兩邊之差第三邊兩邊之和”，可求出AC的長，從而求出ABC的周長解：根據(jù)三角形三邊關(guān)系有AB-BCACAB+BC，所以9-2AC9+2，即7AC11，又因?yàn)锳C的長為奇數(shù)，所以AC=9，所以ABC的周長為9+9+2=20練習(xí)1：（1）以下列各組線段長為邊，能構(gòu)成三角形的是（ ）A4cm，5cm，6cm B2cm，3cm，5cmC4cm，4cm，9cm D12cm，5cm，6cm（2）有長分別為1cm、2cm、3cm、4cm、5cm的線段，則以其中三條線段為邊可構(gòu)成_個(gè)三角形答案與提示：（1）選

9、A；（2）其中2cm，3cm，4cm； 2cm，4cm，5cm； 3cm，4cm，5cm共可構(gòu)成三個(gè)三角形考點(diǎn)二：三角形的內(nèi)角和三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于，直角三角形的兩個(gè)銳角互余例2（2004年陜西中考題）如圖，在銳角ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，且CD、BE交于一點(diǎn)P，若A=，則BPC的度數(shù)是（ ）A B C D 分析：解這類題目的關(guān)鍵要明確所求的角是哪個(gè)三角形的內(nèi)角，要抓住題目中存在的等量關(guān)系，如“三角形的內(nèi)角和等于等”解：在ABC中，A=，ABC+ACB=-=CD、BE分別是AB、AC邊上的高，ADC=AEB=在RtABE中，ABE=-A=- = 在RtACD中，ACD=-

10、A=- = PBC+PCB=（ABC+ACB）-（ ABE +ACD ）= =在BPC中，BPC=-（PBC+PCB）= - =本題選B練習(xí)2：（1）（2005年黑龍江中考題）已知BD、CE是ABC的高，直線BD、CE相交所成的角中有一個(gè)角為，則BAC等于_（2）一塊模板如圖所示，按規(guī)定AB、CD的延長線相交成角，因交點(diǎn)不在模板上，不便測(cè)量，所以工人師傅連結(jié)AC，測(cè)得BAC=，DCA=，這時(shí)就可以知道，AB、CD的延長線相交所成的角不符合規(guī)定請(qǐng)說明理由答案與提示：（1）；（2）由三角形內(nèi)角和定理可得 H=考點(diǎn)三 三角形中的三條重要線段在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與

11、交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做這個(gè)三角形的中線從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高例3 如圖，在ABC中，分別畫出它的中線AD和高AE，并回答下列問題：（1）AE還是哪些三角形的高？（2）ABD與ACD的面積有什么關(guān)系？為什么？分析 應(yīng)根據(jù)三角形的中線和高的意義畫圖解：（1）如圖，AE還是ABD、ADE、ADC、AEC、ABE的高（2）ABD與ACD的面積相等，因?yàn)檫@兩個(gè)三角形等底同高 練習(xí)3：（1）三角形一邊上的高（ ）A必在三角形內(nèi)部B必在三角形外部C必在三角形的邊上D以上三

12、種情況都有可能（2）如圖5，AE是ABC的角平分線，則_=_=_；AD是ABC的中線，則_=_=BC（3）三角形的三條角平分線的交點(diǎn)和三條中線的交點(diǎn)，一定在三角形的（ ）A內(nèi)部 B外部 C邊上 D不確定答案與提示：（1）選D；（2）BAE，CAE，BAC；BD，CD；（3）選A考點(diǎn)四 圖形的全等兩個(gè)能夠重合的圖形稱為全等圖形，全等圖形的形狀和大小都相同特別地，全等圖形的面積相等例4 如圖（1），一個(gè)55的正方形，去掉居于中心位置的畫陰影的一格，你能沿著圖中的虛線，把余下的部分分成四個(gè)全等的圖形嗎？分析 可以從方格的數(shù)量（即面積）入手考慮55的正方形共有25格，去掉一格后，還有24格如果分成四個(gè)

13、全等的圖形，則每個(gè)圖形應(yīng)該有6格解：圖（2）（8）是幾種可能的劃分方案 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）練習(xí)4：沿著圖中的虛線，請(qǐng)用至少三種方法把下面的圖形劃分為兩個(gè)全等圖形，把你的方案畫在下面的圖中答案如下：考點(diǎn)五 全等三角形的特征及三角形全等的條件全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS” 兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫成“角邊角” 或“ASA” 兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS” 兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫成“邊角邊” 或“SAS”斜

14、邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊” 或“HL”例 5 如圖，如圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的方法是（ ）A帶去 B帶去 C帶去 D帶去 分析 怎樣做一個(gè)三角形與已知三角形全等，可依據(jù)全等三角形的判定條件來判斷題中的一塊三角形的玻璃被打碎成三塊，其中：（1）僅留一角；（2）沒邊沒角；（3）存在兩角和夾邊，可依據(jù)ASA，不難作出與原三角形全等的三角形解：應(yīng)選C練習(xí)5：（1）（2005年臨沂市中考題）如圖，將兩根鋼條AA、BB的中點(diǎn)O連在一起，使AA、BB可以繞著點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，就做成了一個(gè)測(cè)量工件， 則AB

15、的長就等于內(nèi)槽寬AB的長，那么AOBOAB的理由是（ ）A 邊角邊 B角邊角 C 邊邊邊 D 角角邊（2）（2004年濰坊市中考題）如圖，已知ABC的六個(gè)元素，則下面甲、乙、丙三個(gè)三角形中和ABC全等的圖形是（ ）A甲和乙 B乙和丙 C只有乙 D只有丙（3）如圖10，1=2，BC=EF，那么需要補(bǔ)充一個(gè)條件_（寫出一個(gè)即可），才能使ABCDEF答案與提示：（1）選A；（2）選B；（3）提示：此題答案不唯一，屬開放性問題根據(jù)三角形全等的條件：SSS，ASA，AAS，SAS，對(duì)照?qǐng)D中已知條件，只需有另外一角或邊AC=DF即可應(yīng)填B=E（A=D或AC=DF均可）B如圖1所示，AB=AD，BAD=CAE，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)條件使ABCADE，則需添加的條件是 （一個(gè)即可）BADCEA C圖2D圖13、如圖2，AB=AD，B=D，