第四章連續(xù)時間傅立葉變換ppt課件

1、第4章 延續(xù)時間傅立葉變換The Continuous time Fourier Transform本章的主要內容:延續(xù)時間傅立葉變換;傅立葉級數(shù)與傅立葉變換之間的關系;傅立葉變換的性質;系統(tǒng)的頻率呼應及系統(tǒng)的頻域分析； 在工程運用中有相當廣泛的信號是非周期信號，對非周期信號應該如何進展分解，什么是非周期信號的頻譜表示，線性時不變系統(tǒng)對非周期信號的呼應如何求得，就是這一章要處理的問題。4.0 引言 Introduction 在時域可以看到，假設一個周期信號的周期趨于無窮大，那么周期信號將演化成一個非周期信號；反過來，假設將任何非周期信號進展周期性延拓，就一定能構成一個周期信號。 我們把非周期信

2、號看成是周期信號在周期趨于無窮大時的極限，從而調查延續(xù)時間傅立葉級數(shù)在 T趨于無窮大時的變化，就應該可以得到對非周期信號的頻域表示方法。4.1 非周期信號的表示延續(xù)時間傅立葉變換Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform一.從傅立葉級數(shù)到傅立葉變換 我們曾經(jīng)看到，周期性矩形脈沖，當周期 增大時，頻譜的幅度隨 的增大而下降；譜線間隔隨 的增大而減??；但頻譜的包絡不變。再次調查周期性矩形脈沖的頻譜圖： 當 時，周期性矩形脈沖信號將演化成為非周期的單個矩形脈沖信號。 ab(a)(b) 00 由于

3、 也隨 增大而減小，并最終趨于0，調查 的變化，它在 時應該是有限的。 于是，我們推斷出:當 時，離散的頻譜將演化為延續(xù)的頻譜。由當 時,假設令那么有與周期信號傅立葉級數(shù)對比有： 這闡明:周期信號的頻譜就是與它相對應的非周期信號頻譜的樣本。根據(jù)傅立葉級數(shù)表示： 延續(xù)時間傅立葉變換當時，于是有：傅立葉反變換 此式闡明，非周期信號可以分解成無數(shù)多個頻率延續(xù)分布、振幅為 的復指數(shù)信號之和。 由于 具有頻譜隨頻率分布的物理含義，因此稱 為頻譜密度函數(shù)。于是，我們得到了對非周期信號的頻域描畫方法這一對關系被稱為延續(xù)時間傅立葉變換對。 可見，周期信號的頻譜是對應的非周期信號頻譜的樣本；而非周期信號的頻譜是

4、對應的周期信號頻譜的包絡。 既然傅立葉變換的引出是從周期信號的傅立葉級數(shù)表示出發(fā)，討論周期趨于無窮大時的極限得來的，傅立葉變換的收斂問題就應該和傅立葉級數(shù)的收斂相一致。二. 傅立葉變換的收斂這闡明能量有限的信號其傅立葉變換一定存在。2. Dirichlet 條件a.絕對可積條件1. 假設那么 存在。也有相應的兩組條件：b. 在任何有限區(qū)間內， 只需有限個極值點， 且極值有限。c. 在任何有限區(qū)間內， 只需有限個第一類延續(xù)點。 應該指出:這些條件只是傅立葉變換存在的充分條件。 和周期信號的情況一樣，當 的傅立葉變換存在時，其傅立葉變換在 的延續(xù)處收斂于信號本身，在延續(xù)點處收斂于左右極限的平均值，

5、在延續(xù)點附近會產(chǎn)生Gibbs 景象。 這兩組條件并不等價。例如： 是平方可積的，但是并不絕對可積。三.常用信號的傅立葉變換：1.0102. 結論：實偶信號的傅立葉變換是實偶函數(shù)。此時可以用一幅圖表示信號的頻譜。對此例有103.0 這闡明 中包括了一切的頻率成分，且一切頻率分量的幅度、相位都一樣。因此，系統(tǒng)的單位沖激呼應 才干完全描畫一個LTI系統(tǒng)的特性， 才在信號與系統(tǒng)分析中具有如此重要的意義。01 顯然，將 中的 代之以 再乘以 ，即是相應周期信號的頻譜4. 矩形脈沖:101000不同脈沖寬度對頻譜的影響可見，信號在時域和頻域之間有一種相反的關系。(稱為理想低通濾波器) 與矩形脈沖情況對比，

6、可以發(fā)現(xiàn)信號在時域和頻域之間存在一種對偶關系。5.1，0，100對偶關系可表示如下:101000 同時可以看到，信號在時域和頻域之間也有一種相反的關系。即信號在時域脈沖越窄，那么其頻譜主瓣越寬，反之亦然。 對例5. 我們可以想到，假設 ，那么 將趨于一個沖激。6. 假設 那么有由于所以四. 信號的帶寬( Bandwidth of Signals ): 由信號的頻譜可以看出：信號的主要能量總是集中于低頻分量。另一方面，傳輸信號的系統(tǒng)都具有本人的頻率特性。因此，工程中在傳輸信號時，沒有必要一定要把信號的一切頻率分量都有效傳輸，而只需保證將占據(jù)信號能量主要部分的頻率分量有效傳輸即可。為此，需求對信號

7、定義帶寬。通常有如下定義帶寬的方法:2. 對包絡是 外形的頻譜，通常定義主瓣寬度(即頻譜第一個零點內的范圍)為信號帶寬。 下降到最大值的 時對應的頻率范圍,此時帶內信號分量占有信號總能量的1/2。1. 以矩形脈沖為例，按帶寬的定義，可以得出，脈寬乘以帶寬等于常數(shù)C (脈寬帶寬積)。這清楚地反映了頻域和時域的相反關系。 4.2 周期信號的傅立葉變換 到此為止，我們對周期信號用傅立葉級數(shù)表示，非周期信號用傅立葉變換表示。由于數(shù)學描畫方法的不一致，在某些情況下, 會給我們帶來不便。但由于周期信號不滿足 Dirichlet 條件，因此不能直接從定義出發(fā)，建立其傅立葉變換表示。 The Fourier

8、Transformation of Periodic Signals所對應的信號調查 這闡明周期性復指數(shù)信號的頻譜是一個沖激。于是當把周期信號表示為傅立葉級數(shù)時，由于就有周期信號的傅立葉變換表示假設 那么 這闡明：周期信號的傅立葉變換由一系列沖激組成，每一個沖激分別位于信號的各次諧波的頻率處，其沖激強度正比于對應的傅立葉級數(shù)的系數(shù) 。例1： 例2： 例3： 均勻沖激串010例4. 周期性矩形脈沖014.3 延續(xù)時間傅立葉變換的性質 討論傅立葉變換的性質，旨在經(jīng)過這些性質提示信號時域特性與頻域特性之間的關系，同時掌握和運用這些性質可以簡化傅立葉變換對的求取。1. 線性: Linearity那么P

9、roperties of the Continuous-Time Fourier Transform假設2. 時移: Time Shifting這闡明信號的時移只影響它的相頻特性，其相頻特性會添加一個線性相移。那么假設3. 共軛對稱性: Conjugate and Symmetry 假設 那么所以即 假設 是實信號，那么于是有:由可得即實部是偶函數(shù)虛部是奇函數(shù) 假設那么可得出即：模是偶函數(shù)，相位是奇函數(shù) 假設那么可得 假設即信號是偶函數(shù)。那么闡明： 實偶信號的傅立葉變換是偶函數(shù)。闡明 是實函數(shù)。 假設 即信號是奇函數(shù)，同樣可以得出:所以又由于闡明 是奇函數(shù)闡明 是虛函數(shù) 假設那么有:例: 的頻

10、譜:101/20-1/21/20將 分解為偶部和奇部有4.時域微分與積分: Differentiation and Integration(可將微分運算轉變?yōu)榇鷶?shù)運算)(將兩邊對 微分即得該性質)由時域積分特性從也可得到:時域積分特性那么假設5.時域和頻域的尺度變換: Scaling當 時，有 尺度變換特性闡明：信號假設在時域擴展 a 倍，那么其帶寬相應緊縮 a 倍，反之亦然。這就從實際上證明了時域與頻域的相反關系，也證明了信號的脈寬帶寬積等于常數(shù)的結論。那么假設時域中的緊縮擴展對應頻域中的擴展緊縮6.對偶性: Duality假設那么證明：也可由得到證明。根據(jù)得這就是移頻特性例如: 由 有對偶

11、關系利用時移特性有再次對偶有由對偶性可以方便地將時域的某些特性對偶到頻域由得所以頻域微分特性該特性也可由對偶性從時域微分特性得出:由有利用時域微分特性有對再次對偶得頻域微分特性由時域積分特性，可對偶出頻域積分特性利用時域積分特性再次對偶由有頻域積分特性7. Parseval定理:假設那么 這闡明：信號的能量既可以在時域求得，也可以在頻域求得。由于 表示了信號能量在頻域的分布，因此稱其為“能量譜密度函數(shù)。4.4 卷積性質 The Convolution Property一.卷積特性： 由于卷積特性的存在，使對LTI系統(tǒng)在頻域進展分析成為能夠。本質上，卷積特性的成立正是由于復指數(shù)信號是一切LTI系

12、統(tǒng)的特征函數(shù)。那么假設由闡明：故有可將 分解成復指數(shù)分量的線性組合，每個 經(jīng)過LTI系統(tǒng)時都要遭到系統(tǒng)與 對應的特征值的加權。這個特征值就是所以 由于 的傅氏變換 就是頻率為 的復指數(shù)信號 經(jīng)過LTI系統(tǒng)時，系統(tǒng)對輸入信號在幅度上產(chǎn)生的影響，所以稱為系統(tǒng)的頻率呼應。 鑒于 與 是一一對應的，因此LTI系統(tǒng)可以由其頻率呼應完全表征。由于并非任何系統(tǒng)的頻率呼應 都存在，因此用頻率呼應表征系統(tǒng)時，普通都限于對穩(wěn)定系統(tǒng)。由于，穩(wěn)定性保證了二. LTI系統(tǒng)的頻域分析法: 根據(jù)卷積特性,可以對LTI系統(tǒng)進展頻域分析, 其過程為:1. 由2. 根據(jù)系統(tǒng)的描畫，求出3.4. 4.5 相乘性質 The Mult

13、iplication Property利用對偶性可以從卷積性質得出相乘性質假設那么 兩個信號在時域相乘，可以看成是由一個信號控制另一個信號的幅度，這就是幅度調制。其中一個信號稱為載波，另一個是調制信號。例1:移頻性質例2. 正弦幅度調制:1001/2 正弦幅度調制等效于在頻域將調制信號的頻譜搬移到載頻位置。例3. 同步解調:1/21/41/4 此時，用一個頻率特性為的系統(tǒng)即可從 恢復出 。20只需即可。具有此頻率特性的LTI系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。例4. 中心頻率可變的帶通濾波器：A1理想低通的頻率呼應1等效帶通濾波器 相當于從 中直接用一個帶通濾波器濾出的頻譜。闡明整個系統(tǒng)相當于一個中心頻率

14、為 的帶通濾波器，改動 即可實現(xiàn)中心頻率可變。4.6 傅立葉變換的性質與傅立葉變換對列表(自學) 工程實踐中有相當廣泛的LTI系統(tǒng)其輸入輸出關系可以由一個線性常系數(shù)微分方程描畫。普通方式的LCCDE是:4.7 由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)一. 由LCCDE描畫的LTI系統(tǒng)的頻率特性:Systems Characterized by Linear Constant-Coefficient Differential Equations 由于 是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，因此 ，當 系統(tǒng)的輸入為 時，系統(tǒng)所產(chǎn)生的呼應就是 。闡明在 的情況下，求解LCCDE即可得到 。但是這種方法太費事，很少運用。

15、 對LCCDE兩邊進展傅立葉變換有：由于 可見由LCCDE描畫的LTI 系統(tǒng)其頻率特性是一個有理函數(shù)。由此可以看出，對由 LCCDE 描畫的LTI系統(tǒng)，當需求求得其 時(比如時域分析時) ，往往是由 做反變換得到。 對有理函數(shù)求傅立葉反變換通常采用部分分式展開和利用常用變換對進展。二.頻率呼應的求法：1.用微分方程表征的系統(tǒng)例： 可見，對由微分方程所描畫的系統(tǒng)經(jīng)過求頻率呼應可以方便地求出其單位沖激呼應。2.以方框圖描畫的系統(tǒng)例：3.互聯(lián)絡統(tǒng)的* 級聯(lián): * 并聯(lián):H1(j)H2(j)H1(j)H2(j)* 反響結合: 1. 經(jīng)過延續(xù)時間傅立葉變換，建立了將延續(xù)時間信號(包括周期、非周期信號)分解