北京市西城區(qū)市級名校2021-2022學年高三第二次診斷性檢測數學試卷含解析

1、2021-2022高考數學模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知函數f（x）ebxexb+c（b，c均為常數）的圖象關于點（2，1）對稱，則f（5）+f（1）（ ）A2B1C2D42若干年前，某教師剛退休的月退休金為6000元，月退

2、休金各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的條形圖.該教師退休后加強了體育鍛煉，目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費比剛退休時少100元，則目前該教師的月退休金為（ ）. A6500元B7000元C7500元D8000元3給出個數 ，其規(guī)律是：第個數是，第個數比第個數大 ，第個數比第個數大，第個數比第個數大，以此類推，要計算這個數的和現已給出了該問題算法的程序框圖如圖，請在圖中判斷框中的處和執(zhí)行框中的處填上合適的語句，使之能完成該題算法功能( )A；B；C；D；4復數在復平面內對應的點為則（ ）ABCD5已知函數，存在實數，使得，則的最大值為（ ）ABCD6已知直線與直線則“”

3、是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件7已知的面積是, ,則（ ）A5B或1C5或1D8如圖，四面體中，面和面都是等腰直角三角形，且二面角的大小為，若四面體的頂點都在球上，則球的表面積為（ ）ABCD9若將函數的圖象上各點橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)得到函數的圖象，則下列說法正確的是（）A函數在上單調遞增B函數的周期是C函數的圖象關于點對稱D函數在上最大值是110為虛數單位,則的虛部為（ ）ABCD11已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示，俯視圖中的兩個小三角形全等，則（ ）APA，PB，PC兩兩垂直B三棱錐P-ABC的體積

4、為CD三棱錐P-ABC的側面積為12已知f(x)，g(x)都是偶函數，且在0,+)上單調遞增，設函數F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|，若a0，則（ ）AF(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)BF(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)CF(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)DF(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知，若，則a的取值范圍是_14已知函數的圖象在點處的切線方程是，則的值等于_.15在中，則繞所在直線旋轉一周所形成的幾何體的表面積為_.16已知雙曲線的一條漸近線方程為，則_三、解答題

5、：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數.（）解不等式；（）設其中為常數.若方程在上恰有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍.18（12分）已知函數（1）求單調區(qū)間和極值；（2）若存在實數，使得，求證：19（12分）已知函數.（）若，求曲線在處的切線方程；（）當時，要使恒成立，求實數的取值范圍.20（12分）已知函數.（1）解不等式；（2）若函數的最小值為，求的最小值.21（12分）如圖，過點且平行與x軸的直線交橢圓于A、B兩點，且.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點M且斜率為正的直線交橢圓于段C、D，直線AC、BD分別交直線于點E、F，求證：是定值.22（1

6、0分）已知，.（1）求函數的單調遞增區(qū)間；（2）的三個內角、所對邊分別為、，若且，求面積的取值范圍.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】根據對稱性即可求出答案【詳解】解：點（5，f（5）與點（1，f（1）滿足（51）22，故它們關于點（2，1）對稱，所以f（5）+f（1）2，故選：C【點睛】本題主要考查函數的對稱性的應用，屬于中檔題2D【解析】設目前該教師的退休金為x元，利用條形圖和折線圖列出方程，求出結果即可【詳解】設目前該教師的退休金為x元，則由題意得：600015%x10%1解得x2故選D【點睛】本題考

7、查由條形圖和折線圖等基礎知識解決實際問題，屬于基礎題3A【解析】要計算這個數的和，這就需要循環(huán)50次，這樣可以確定判斷語句，根據累加最的變化規(guī)律可以確定語句.【詳解】因為計算這個數的和，循環(huán)變量的初值為1，所以步長應該為1，故判斷語句應為，第個數是，第個數比第個數大 ，第個數比第個數大，第個數比第個數大，這樣可以確定語句為，故本題選A.【點睛】本題考查了補充循環(huán)結構，正確讀懂題意是解本題的關鍵.4B【解析】求得復數，結合復數除法運算，求得的值.【詳解】易知，則.故選：B【點睛】本小題主要考查復數及其坐標的對應，考查復數的除法運算，屬于基礎題.5A【解析】畫出分段函數圖像，可得，由于，構造函數，

8、利用導數研究單調性，分析最值，即得解.【詳解】由于，,由于，令，在，故.故選：A【點睛】本題考查了導數在函數性質探究中的應用，考查了學生數形結合，轉化劃歸，綜合分析，數學運算的能力，屬于較難題.6B【解析】利用充分必要條件的定義可判斷兩個條件之間的關系.【詳解】若，則，故或，當時，直線，直線 ，此時兩條直線平行；當時，直線，直線 ，此時兩條直線平行.所以當時，推不出，故“”是“”的不充分條件，當時，可以推出，故“”是“”的必要條件，故選：B.【點睛】本題考查兩條直線的位置關系以及必要不充分條件的判斷，前者應根據系數關系來考慮，后者依據兩個條件之間的推出關系，本題屬于中檔題.7B【解析】，,若為

9、鈍角，則，由余弦定理得，解得；若為銳角，則，同理得.故選B.8B【解析】分別取、的中點、，連接、，利用二面角的定義轉化二面角的平面角為，然后分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，在中計算出，再利用勾股定理計算出，即可得出球的半徑，最后利用球體的表面積公式可得出答案【詳解】如下圖所示，分別取、的中點、，連接、，由于是以為直角等腰直角三角形，為的中點，且、分別為、的中點，所以，所以，所以二面角的平面角為，則，且，所以，是以為直角的等腰直角三角形，所以，的外心為點，同理可知，的外心為點，分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，則點在平面內，如下圖所示，由圖形可知，在中，所以，所以，球的

10、半徑為，因此，球的表面積為.故選：B.【點睛】本題考查球體的表面積，考查二面角的定義，解決本題的關鍵在于找出球心的位置，同時考查了計算能力，屬于中等題9A【解析】根據三角函數伸縮變換特點可得到解析式；利用整體對應的方式可判斷出在上單調遞增，正確；關于點對稱，錯誤；根據正弦型函數最小正周期的求解可知錯誤；根據正弦型函數在區(qū)間內值域的求解可判斷出最大值無法取得，錯誤.【詳解】將橫坐標縮短到原來的得：當時，在上單調遞增 在上單調遞增，正確；的最小正周期為： 不是的周期，錯誤；當時，關于點對稱，錯誤；當時， 此時沒有最大值，錯誤.本題正確選項：【點睛】本題考查正弦型函數的性質，涉及到三角函數的伸縮變換

11、、正弦型函數周期性、單調性和對稱性、正弦型函數在一段區(qū)間內的值域的求解；關鍵是能夠靈活應用整體對應的方式，通過正弦函數的圖象來判斷出所求函數的性質.10C【解析】利用復數的運算法則計算即可.【詳解】，故虛部為.故選：C.【點睛】本題考查復數的運算以及復數的概念，注意復數的虛部為，不是，本題為基礎題，也是易錯題.11C【解析】根據三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖，然后再計算可得.【詳解】解：根據三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示，其中D為AB的中點，底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為，、不可能垂直，即不可能兩兩垂直，.三棱錐P-ABC的側面積為.故正確的為C.故選：C.【點睛

12、】本題考查三視圖還原直觀圖，以及三棱錐的表面積、體積的計算問題，屬于中檔題.12A【解析】試題分析：由題意得，F(x)=2g(1-x),f(x)g(1-x)2f(x),f(x)g(1-x)，F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)g(1+a)，F(a)=2g(1-a),f(a)g(1-a)2f(a),f(a)0，(a+1)2-(a-1)2=4a0，|1+a|a-1|g(1+a)g(1-a)，若f(a)g(1+a)：F(-a)=2g(1+a)，F(a)=2g(1-a)，F(-a)F(a)，若g(1-a)f(a)g(1+a)：F(-a)=2f(

13、-a)=2f(a)，F(a)=2g(1-a)，F(-a)F(a)，若f(a)g(1-a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(a)=2f(a)，F(-a)=F(a)，綜上可知F(-a)F(a)，同理可知F(1+a)F(1-a)，故選A.考點：1.函數的性質；2.分類討論的數學思想.【思路點睛】本題在在解題過程中抓住偶函數的性質，避免了由于單調性不同導致1-a與1+a大小不明確的討論，從而使解題過程得以優(yōu)化，另外，不要忘記定義域，如果要研究奇函數或者偶函數的值域、最值、單調性等問題，通常先在原點一側的區(qū)間(對奇(偶)函數而言)或某一周期內(對周期函數而言)考慮，然后推廣到整個定義域上.二、

14、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】函數等價為，由二次函數的單調性可得在R上遞增，即為，可得a的不等式，解不等式即可得到所求范圍【詳解】，等價為，且時，遞增，時，遞增，且，在處函數連續(xù)，可得在R上遞增，即為，可得，解得，即a的取值范圍是故答案為：【點睛】本題考查分段函數的單調性的判斷和運用：解不等式，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題14【解析】利用導數的幾何意義即可解決.【詳解】由已知，故.故答案為：.【點睛】本題考查導數的幾何意義，要注意在某點的切線與過某點的切線的區(qū)別，本題屬于基礎題.15【解析】由題知該旋轉體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，根據圓錐側面積計算公式可

15、得.【詳解】解：由題知該旋轉體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，在中，如下圖所示，底面圓的半徑為，則所形成的幾何體的表面積為.故答案為：.【點睛】本題考查旋轉體的表面積計算問題，屬于基礎題.16【解析】根據雙曲線的標準方程寫出雙曲線的漸近線方程，結合題意可求得正實數的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由于該雙曲線的一條漸近線方程為，解得.故答案為：.【點睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求參數，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（）；（）.【解析】（I）零點分段法，分，討論即可；（II），分，三種情況討論.【詳解】原不等式即.當時，化簡

16、得.解得；當時，化簡得.此時無解；當時，化簡得.解得.綜上，原不等式的解集為由題意，設方程兩根為.當時，方程等價于方程.易知當，方程在上有兩個不相等的實數根.此時方程在上無解.滿足條件.當時，方程等價于方程，此時方程在上顯然沒有兩個不相等的實數根.當時，易知當，方程在上有且只有一個實數根.此時方程在上也有一個實數根.滿足條件.綜上，實數的取值范圍為.【點睛】本題考查解絕對值不等式以及方程根的個數求參數范圍，考查學生的運算能力，是一道中檔題.18（1）時，函數單調遞增，函數單調遞減，；（2）見解析【解析】（1）求出函數的定義域與導函數，利用導數求函數的單調區(qū)間，即可得到函數的極值；（2）易得且，

17、要證明，即證，即證，即對恒成立，構造函數，利用導數研究函數的單調性與最值，即可得證；【詳解】解：（1）因為定義域為，所以，時，即在和上單調遞增，當時，即函數在單調遞減，所以在處取得極小值，在處取得極大值；，；（2）易得，要證明，即證，即證即證對恒成立，令，則令，解得，即在上單調遞增；令，解得，即在上單調遞減；則在取得極小值，也就是最小值， 從而結論得證.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性與極值，利用導數證明不等式，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，屬于中檔題19（）（）【解析】（）求函數的導函數，即可求得切線的斜率，則切線方程得解；（）構造函數，對參數分類討論，求得函數的單調性，以及

18、最值，即可容易求得參數范圍.【詳解】（）當時，則.所以.又，故所求切線方程為，即.（）依題意，得，即恒成立.令，則.當時，因為，不合題意.當時，令，得，顯然.令，得或；令，得.所以函數的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是.當時，所以，只需，所以，所以實數的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數的幾何意義求切線方程，以及利用導數研究恒成立問題，屬綜合中檔題.20（1）（2）【解析】（1）用分類討論思想去掉絕對值符號后可解不等式；（2）由（1）得的最小值為4，則由，代換后用基本不等式可得最小值【詳解】解：（1）討論：當時，即，此時無解；當時，；當時，.所求不等式的解集為（2）分析知，函數的最小值為4，當且僅當時等號成立.的最小值為4.【點睛】本題考查解絕對值不等式，考查用基本不等式求最小值解絕對值不等式的方法是分類討論思想21（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由題意求得的坐標，代入橢圓方程求得，由此求得橢圓的標準方程.（2）設出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，可得關于的一元二次方程，設出的坐標，分別求出直線與直線的方程，從而求得兩點的縱坐標，利用根與系數關系可化簡證得為定值.【詳解】（1）由已知可得：，代入橢圓方程得：橢圓方程為；（2）設直線CD的方程為，代入，得：設，則有，則AC的方程為，令，得B