復(fù)變函數(shù)講解第一節(jié)孤立奇點(diǎn)

1、復(fù)變函數(shù)講解第一節(jié)孤立奇點(diǎn)1一、孤立奇點(diǎn)的概念和分類二、函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系三、小結(jié)與思考3一、孤立奇點(diǎn)1 定義 如果函數(shù)在 不解析, 但在的某一去心鄰域內(nèi)處處解析, 則稱為的孤立奇點(diǎn).例如是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).注意: 奇點(diǎn)并不一定都是孤立的。例如:的孤立奇點(diǎn).42 孤立奇點(diǎn)的分類依據(jù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)的情況分為三類:可去奇點(diǎn)洛朗級(jí)數(shù)中不含 的負(fù)冪項(xiàng)極 點(diǎn)洛朗級(jí)數(shù)中含有限個(gè) 的負(fù)冪項(xiàng) 本性奇點(diǎn)洛朗級(jí)數(shù)中含無窮多個(gè) 的負(fù)冪項(xiàng) 5其和函數(shù)為在解析的函數(shù).說明: (1)1)可去奇點(diǎn)如果洛朗級(jí)數(shù)中不含 的負(fù)冪項(xiàng), 那末孤立奇點(diǎn) 稱為 的可去奇點(diǎn).定義6(2) 無論在是否

2、有定義, 補(bǔ)充定義則函數(shù)在解析.若為的可去奇點(diǎn)，則 存在性質(zhì)7如果補(bǔ)充定義:時(shí),那末在解析.例1 函數(shù)中不含負(fù)冪項(xiàng),故 是的可去奇點(diǎn) . 的孤立奇點(diǎn) 的類型解：82) 極點(diǎn) 其中關(guān)于的最高冪為即級(jí)極點(diǎn).那末孤立奇點(diǎn)稱為函數(shù)的定義 如果洛朗級(jí)數(shù)中只有有限多個(gè)的負(fù)冪項(xiàng), 9說明:的極點(diǎn) , 則為函數(shù)如果定義式可改寫為：性質(zhì)其中，且10例2 函數(shù)是三階極點(diǎn), 是一階極點(diǎn).課堂練習(xí)求的奇點(diǎn), 如果是極點(diǎn), 指出它的級(jí)數(shù).答案11解 解析且所以不是二階極點(diǎn), 而是一階極點(diǎn).例3 問是的二階極點(diǎn)嗎?注意: 不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論 .12本性奇點(diǎn)3)定義 如果洛朗級(jí)數(shù)中含有無窮多個(gè)那末孤立奇點(diǎn)稱為的本

3、性奇點(diǎn).的負(fù)冪項(xiàng),例如，含有無窮多個(gè)z的負(fù)冪項(xiàng) 性質(zhì)：不存在且不為同時(shí)不存在.的本性奇點(diǎn) , 則為函數(shù)若13綜上所述:孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)m階極點(diǎn)本性奇點(diǎn)洛朗級(jí)數(shù)特點(diǎn)存在且為有限值不存在且不為無負(fù)冪項(xiàng)含無窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)關(guān)于的最高冪為14二 函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系1 零點(diǎn)的定義不恒等于零的解析函數(shù)如果能表示成其中在解析且m為某一正整數(shù),那末稱為的 m 階零點(diǎn).例6注意: 不恒等于零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的.152 零點(diǎn)的判定零點(diǎn)的充要條件是證 (必要性)由定義:設(shè)的泰勒展開式為:如果在解析, 那末為的階如果為的階零點(diǎn)16其中展開式的前m項(xiàng)系數(shù)都為零 ,由泰勒級(jí)數(shù)的系數(shù)公式知:并且充分性證

4、明略 .17(1)由于知是的一階零點(diǎn) .課堂練習(xí)是五階零點(diǎn),是二階零點(diǎn).知是的一階零點(diǎn).解 (2)由于答案例4 求以下函數(shù)的零點(diǎn)及階數(shù):(1)(2)的零點(diǎn)及階數(shù) .求183 零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系定理如果是的 m 階極點(diǎn), 那末就是的 m 階零點(diǎn). 反過來也成立.說明 此定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為簡便的方法.19例5求 的孤立奇點(diǎn), 并指出 奇點(diǎn)的類型. 解 顯然, 是 的零點(diǎn)，但是 故 是 的1階零點(diǎn). 因此, 是 f (z)的1階極點(diǎn) . 20推論設(shè) z0是P(z)的m級(jí)零點(diǎn),也是Q(z)的n級(jí)零點(diǎn), 則當(dāng)nm時(shí), z0是f (z)的n-m級(jí)極點(diǎn); 而當(dāng)nm時(shí), z0是f (z)的可去奇

5、點(diǎn). 例6考慮函數(shù) 設(shè) 顯然, z=0是Q(z)的5階零點(diǎn). 因?yàn)樗? z=0是P(z)的2級(jí)零點(diǎn). 故z=0是f (z)的3階極點(diǎn) . 不是5階極點(diǎn)!21例7 函數(shù)有些什么類型的奇點(diǎn)? 如果是極點(diǎn), 指出它的階數(shù).解 函數(shù)除點(diǎn)外, 所以這些點(diǎn)都是的一階零點(diǎn),故這些點(diǎn)中除1, -1, 2外, 都是的三階極點(diǎn).內(nèi)解析 .在22所以，所以，是的可去奇點(diǎn). 因?yàn)?3課堂練習(xí)24四、小結(jié)1、可去奇點(diǎn)的判別方法(1)由定義判斷: 將f (z)在其孤立奇點(diǎn) z0 的去心鄰域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)，若洛朗級(jí)數(shù)中不含z-z0 的負(fù)(2)由極限判斷：若極限 存在且為有限值,則z0是f (z)的可去奇點(diǎn).冪項(xiàng)，則孤立

6、奇點(diǎn)z0是f (z)的可去奇點(diǎn).252、極點(diǎn)的判定方法的負(fù)冪項(xiàng).洛朗展開式中含有有限個(gè)在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi)其中 在 的鄰域內(nèi)解析, 且 (1) 由定義判別(2) 由定義的等價(jià)形式判別(3) 利用極限判別(4) 利用零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系判別26定理如果是的 m 階極點(diǎn), 那末就是的 m 階零點(diǎn). 反過來也成立.3、本性奇點(diǎn)的判別方法(1)由定義判斷:洛朗級(jí)數(shù)中含無窮多個(gè)z-z0 的負(fù)冪項(xiàng).(2)由極限判斷： 極限 不存在且不為.27練習(xí)題：下列函數(shù)有哪些奇點(diǎn)？各屬于什么類型？若是極點(diǎn)，指出它的階數(shù)。28答案（2）為的可去奇點(diǎn).29第二節(jié) 留數(shù)定理30R4.2.1 留數(shù)定義及留數(shù)基本定理設(shè)為的一個(gè)孤立

7、奇點(diǎn), 則存在 R0,內(nèi)Laurent在.使得f (z)在內(nèi)解析.級(jí)數(shù)為在 內(nèi)取分段光滑正向簡單曲線C , 3100.曲線C包含z0在其內(nèi)部. 考慮積分 根據(jù) , 積分與曲線C的選取無關(guān) 32即定義 設(shè)z0是f (z)的孤立奇點(diǎn), C是在z0的充分小鄰域內(nèi)包含z0在其內(nèi)部的分段光滑正向簡單曲線，積分 稱為f (z)在z0點(diǎn)的留數(shù)(Residue), 記做 函數(shù) f (z)在孤立奇點(diǎn)z0點(diǎn)的留數(shù)即是其在以 z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)Laurent級(jí)數(shù)-1次冪項(xiàng)的系數(shù). 33留數(shù)定理 設(shè)函數(shù)f (z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析, C是D內(nèi)包含所有奇點(diǎn)在其內(nèi)部的分段光滑正向簡單閉曲線, 則 根據(jù)

8、留數(shù)定理, 函數(shù)在閉曲線f (z)上的積分可歸結(jié)為函數(shù)在曲線內(nèi)部各孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算問題. 34證明分別以 為 中心, 作半徑充分小的正向圓周 .C1C2Cn使得它們中的每個(gè)都在其余的外部, 而都在C的內(nèi)部. 根據(jù) , 再由留數(shù)的定義, 即得35第三節(jié) 留數(shù)的計(jì)算36(1) 如果為的可去奇點(diǎn), 則如果 為 的1階極點(diǎn), 那么法則1成Laurent級(jí)數(shù), 求(3) 如果為的極點(diǎn), 則有如下計(jì)算規(guī)則(2) 如果為的本性奇點(diǎn), 展開則需將)(zf留數(shù)的計(jì)算方法37證明由于z0是 f (z)的1階極點(diǎn)，所以在z0的 某個(gè)去心鄰域內(nèi)的Laurent級(jí)數(shù)展開式為 故所以 38例1求 和 在孤立奇點(diǎn)處的留

9、數(shù). 由于 z=0是g(z)的1階極點(diǎn)，于是易知z=1和z=2都是 f (z)的1階極點(diǎn)，故 39法則2設(shè)及在都解析. 如果那么為f (z)的1階極點(diǎn), 并且證明 由條件易知z0是f (z)的1階極點(diǎn). 于是40例2求 在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).處解析，且 所以 是 f (z)的1階極點(diǎn)，并且 顯然 和 都在 41如果 為 的 階極點(diǎn), 取正整數(shù) 法則3證明 由于z0是 f (z)的m階極點(diǎn)，所以在z0的 某個(gè)去心鄰域內(nèi)的Laurent級(jí)數(shù)展開式為 那么因此42對(duì)上式求階導(dǎo)數(shù), 得 +(含有 正冪的項(xiàng)),所以于是43例3求 在z= -1處的留數(shù). 解 顯然z= -1是f (z)的n階極點(diǎn)，所以 44

10、如果z0是f (z)的m階極點(diǎn)，有時(shí)在 中取nm來計(jì)算更為方便.例4求 在z=0處的留數(shù). 根據(jù) 可知, z=0是f (z)的3階極點(diǎn), 在 法則3中取n=5, 則 如果在法則3中取n=3, 那么計(jì)算就要麻煩得多.45例5 計(jì)算積分 其中C是 的正向. 的1階極點(diǎn)，并且都在C的內(nèi)部. 所以 根據(jù)留數(shù)定理和法則2, 顯然 是函數(shù)46極點(diǎn)z=3在 的外部. 分別是f (z)的3階和1階極點(diǎn), 都在 的內(nèi)部. 而 例6 計(jì)算積分其中C是 的正向. 記 顯然z=0和z=147于是，根據(jù)留數(shù)基本定理48例7 求 在z=0處的留數(shù)，并求 其中C是 的正向. 解 易見z=0是函數(shù)f (z)的本性奇點(diǎn)，并且

11、因此于是，根據(jù)留數(shù)基本定理49小結(jié)留數(shù)定理留數(shù)的計(jì)算法則50Karl Weierstrass(1815.10.31-1897.2.19)德國數(shù)學(xué)家. 曾在波恩大學(xué)學(xué)習(xí)法律, 1838年轉(zhuǎn)學(xué)數(shù)學(xué). 后來成為中學(xué)教師, 不僅教數(shù)學(xué)、物理, 還教寫作和體育, 在這期間刻苦進(jìn)行數(shù)學(xué)研究. 1856年到柏林大學(xué)任教, 1864年成為教授.Weierstrass是將嚴(yán)格的論證引入分析學(xué)的一位大師, 他發(fā)現(xiàn)了處處不可微的連續(xù)函數(shù), 與其他一些數(shù)學(xué)家一起共同結(jié)束了分析學(xué)的混亂局面.51 一、形如 的積分 二、形如 的積分三、形如 的積分第三節(jié) 留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用四、小結(jié)與思考52一、形如 的積分思想方法

12、 :封閉路線的積分 .兩個(gè)重要工作:1) 積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化2) 被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化把定積分化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)沿某條53形如當(dāng)歷經(jīng)變程時(shí),的正方向繞行一周.z 沿單位圓周54f (z)是有理函數(shù). 如果在單位圓周內(nèi)部f (z)的所有孤立奇點(diǎn).滿足 的條件.單位圓周上分母不為零, 1.被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化2.積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化55例1 計(jì)算積分解則56記 ，則57若有理函數(shù) R(x)的分母至少比分子高兩次, 并且分母在實(shí)軸上無孤立奇點(diǎn).一般設(shè)分析可先討論最后令即可 .二、形如 的積分582. 積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:取一條連接區(qū)間兩端的按段光滑曲線, 使與區(qū)間一起構(gòu)成一條封閉曲線, 并使R(z)在其內(nèi)部除有限孤立奇點(diǎn)外處處

13、解析. (此法常稱為“圍道積分法”)1. 被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:(當(dāng)z在實(shí)軸上的區(qū)間內(nèi)變動(dòng)時(shí) , R(z)=R(x) 可取 f(z)=R(z) .59這里可補(bǔ)線(以原點(diǎn)為中心 , R為半徑的在上半平面的半圓周)與一起構(gòu)成封閉曲線C , R(z)在C及其內(nèi)部(除去有限孤立奇點(diǎn)）處處解析.取R適當(dāng)大, 使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)都包在這積分路線內(nèi).xy. z1. z2. zn-RR60根據(jù)留數(shù)定理得 :當(dāng) 充分大時(shí), 總可使61 R(z)在上半平面內(nèi)的全體孤立奇點(diǎn) 62例2計(jì)算廣義積分 解記且 和 是 f (z) 在上半平面的孤立奇點(diǎn),都是f (z)的1階極點(diǎn). 因此， 63于是，64積分存在要求: R(x)是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次, 并且R(z)在實(shí)軸上無孤立奇點(diǎn).與曲線C ,使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)包在這積分路線內(nèi) .同前一型: 補(bǔ)線一起構(gòu)成封閉都三、形如 的積分xy. z1. z2. zn-RR65對(duì)于充分大的 , 且 時(shí), 有66從而67由留數(shù)定理:68例3