信號與系統(tǒng)概述拉普拉斯變換要求和性質(zhì)

1、信號與系統(tǒng)概述拉普拉斯變換要求和性質(zhì) 24. 雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)；本章基本內(nèi)容：1. 雙邊拉普拉斯變換；2. 雙邊拉普拉斯變換的收斂域；5. 系統(tǒng)函數(shù)與LIT系統(tǒng)的拉氏變換分析與表征；6. 單邊拉普拉斯變換；3. 零極點(diǎn)圖與傅里葉變換幾何求值；39.0 引言 Introduction 傅里葉變換是以復(fù)指數(shù)函數(shù)的特例 和 為基底分解信號的。以一般的復(fù)指數(shù)函數(shù) 和為基底，也能對信號進(jìn)行分解。相當(dāng)廣泛的信號都可以表示成復(fù)指數(shù)信號的線性組合復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切 LTI 系統(tǒng)的特征函數(shù)本章及下一章要討論的中心問題4具有與傅里葉變換相同的重要性質(zhì)能解決用傅里葉分析方法可以解決的信號與系統(tǒng)分析問題還能用于傅

2、里葉分析方法不適用的許多方面拉普拉斯變換與變換的分析方法是傅里葉分析法的推廣，傅里葉分析是它們的特例。拉普拉斯變換為底變換為底以一般的復(fù)指數(shù)函數(shù)為基底對信號進(jìn)行分解59.1 拉普拉斯變換 復(fù)指數(shù)信號 是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。如果LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為 ，則系統(tǒng)對 產(chǎn)生的響應(yīng)是: ，其中當(dāng) 時，就是連續(xù)時間傅里葉變換。The Laplace Transform6一.雙邊拉氏變換的定義：表明：連續(xù)時間傅里葉變換是雙邊拉普拉斯變換在 或是在 軸上的特例。雙邊拉氏變換若 ， 則有:特例：傅里葉變換7由于 的拉氏變換就是 的傅里葉變換。拉氏變換是對傅里葉變換的推廣 拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的

3、適用性。表明：引入 后，使得有些本來不滿足狄里赫利條件 的信號 的傅氏變換不收斂，而它的拉氏變換 存在。8例1.在 時，積分收斂。當(dāng) 時， 的傅里葉變換存在顯然，在 時，拉氏變換收斂的區(qū)域?yàn)?，包括了 。9比較 和 ，顯然有 當(dāng) 時，可知例2.與例1.比較，區(qū)別僅在于收斂域不同。10結(jié)論:1. 拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問題。并非任何信號的拉氏變換都存在，也不是 S 平面上的任何復(fù)數(shù)都能使拉氏變換收斂。2. 使拉氏變換積分收斂的那些復(fù)數(shù)S的集合，稱為拉氏變換的收斂域 。拉氏變換的收斂域 ROC （Region of Convergence）對拉氏變換是非常重要的概念。113. 不同的信號

4、可能會有完全相同的拉氏變換表達(dá)式，只是它們的收斂域不同。5. 如果拉氏變換的ROC包含 軸，則有4. 只有拉氏變換的表達(dá)式連同相應(yīng)的收斂域，才能和信號建立一一對應(yīng)的關(guān)系。12二. 拉氏變換的ROC及零極點(diǎn)圖：例3.13可見：拉氏變換的收斂域是各個收斂域的公共部分。ROC總是以平行于 軸的直線作為邊界的，ROC的邊界總是與 的分母的根相對應(yīng)的。若 是有理函數(shù)思考：的收斂域？14因此，零極點(diǎn)圖是拉氏變換的圖示方法。零點(diǎn)：分子多項(xiàng)式的根極點(diǎn)：分母多項(xiàng)式的根零極點(diǎn)圖：將 的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)表示在S平面上最多相差一個常數(shù)因子零極點(diǎn)圖及其收斂域可以表示一個159.2 拉氏變換的收斂域可以歸納出ROC的以下性

5、質(zhì)：The Region of Convergence for Laplace Transforms3. 時限信號且絕對可積，則ROC是整個 S 平面。2. 在ROC內(nèi)無任何極點(diǎn)。1. ROC是 S 平面上平行于 軸的帶形區(qū)域。16若 ，則表明 也在收斂域內(nèi)。 若 是右邊信號, , 在ROC內(nèi)，則有 絕對可積，即：4. 右邊信號的ROC位于S平面內(nèi)一條平行于 軸的直線的右邊。175.左邊信號的ROC位于S平面內(nèi)一條平行于 軸的直線的左邊。若 是左邊信號，定義于 , 在 ROC 內(nèi)， ，則表明 也在收斂域內(nèi)。186.雙邊信號的ROC如果存在，一定是S平面內(nèi)平行于 軸的帶形區(qū)域。例1.其它19考查

6、零點(diǎn)，令有極點(diǎn)顯然 在 也有一階零點(diǎn)，由于零極點(diǎn)相抵消，致使在整個S平面上無極點(diǎn)。得（k為整數(shù)）20當(dāng) 時，上述ROC有公共部分，當(dāng) 時，上述 ROC 無公共部分，表明 不存在。例2.21當(dāng) 是有理函數(shù)時，其ROC總是由 的極點(diǎn)分割的。ROC必然滿足下列規(guī)律：3. 雙邊信號的ROC可以是任意兩相鄰極點(diǎn)之間的帶形區(qū)域。2. 左邊信號的ROC一定位于 最左邊極點(diǎn)的左邊。1. 右邊信號的ROC一定位于 最右邊極點(diǎn)的右邊。22例3.可以形成三種 ROC： ROC： ROC： ROC：此時 是右邊信號。此時 是左邊信號。此時 是雙邊信號。23The Inverse Laplace Transform 一

7、.定義：由若 在ROC內(nèi)，則有:9. 3 拉普拉斯反變換24 當(dāng) 從 時, 從由得 拉氏反變換表明: 可以被分解成復(fù)振幅為 的復(fù)指數(shù)信號 的線性組合。的反變換25二.拉氏反變換的求法: 對有理函數(shù)形式的 求反變換一般有兩種方法,即部分分式展開法和留數(shù)法。 1. 將 展開為部分分式。 部分分式展開法：3. 利用常用信號的變換對與拉氏變換的性質(zhì),對每一項(xiàng)進(jìn)行反變換。2. 根據(jù) 的ROC，確定每一項(xiàng)的ROC 。26 部分分式展開式法（當(dāng) 是有理函數(shù)）1、 有單階實(shí)數(shù)極點(diǎn)為 不同實(shí)數(shù)根，則系數(shù)27其可能的收斂域及所對應(yīng)信號的屬性：例1.右邊信號左邊信號雙邊信號將 展開成部分分式得的反變換求解：其中28

8、（1）右邊信號29（2）左邊信號30（3）雙邊信號31（1）找極點(diǎn)例2. （2）展開成部分分式系數(shù)則322、 有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)系數(shù)33（1）找極點(diǎn)例3. （2）展開成部分分式系數(shù)34系數(shù)3、 有重根35例4. 系數(shù)36可以用零極點(diǎn)圖表示 的特征。Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plot9.4 由零極點(diǎn)圖對傅里葉變換幾何求值 當(dāng)ROC包括軸時，以 代入 ，就可以得到 ?？梢杂脦缀吻笾档姆椒◤牧銟O點(diǎn)圖求得 的特性。371. 單零點(diǎn)情況： 矢量 稱為零點(diǎn)矢量，它的長度 表示 ,其幅角即為 。0 零點(diǎn) ,

9、要求出 時的 ，可以作兩個矢量 和 ，則 。38極點(diǎn) 直接由極點(diǎn)向 點(diǎn)作矢量（稱為極點(diǎn)矢量），其長度的倒量為 ,幅角的負(fù)值為 。2. 單極點(diǎn)情況：039 因此有:對有理函數(shù)形式的3. 一般情況：40 從所有零點(diǎn)向 點(diǎn)作零點(diǎn)矢量，從所有極點(diǎn)向 點(diǎn)作極點(diǎn)矢量。 ：所有零點(diǎn)矢量的長度之積除以所有極點(diǎn)矢量的長度之積。 ：所有零點(diǎn)矢量的幅角之和減去所有極點(diǎn)矢量的幅角之和。如何利用零極點(diǎn)圖考察的幅頻和相頻特性？ 取為軸上的點(diǎn)零、極點(diǎn)矢量的長度和幅角的變化41例1. 一階系統(tǒng)： 隨著 ， 單調(diào)下降，時,下降到最大值的最大值在 時取得。42相位特性：當(dāng) 時， 隨著 ， 趨向于 。則 趨向于 。隨著 ， 趨向于

10、 。43例2. 二階系統(tǒng)：44451. 當(dāng) 時， 有兩個實(shí)數(shù)極點(diǎn)，此時系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)。 起主要作用。隨 , 兩極點(diǎn)相向移動，向 處靠攏。2. 當(dāng) 時，兩極點(diǎn)重合于 處，成為二階極點(diǎn)。系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。46 3.進(jìn)一步減小，則二階極點(diǎn)分裂為共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，且隨 的減小而逐步靠近 軸。極點(diǎn)運(yùn)動的軌跡根軌跡是一個半徑為 的圓周。此時系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，隨著 ，位于第2象限的極點(diǎn)矢量比第3 象限的極點(diǎn)矢量更短，因此它對系統(tǒng)特性的影響較大（被稱為主極點(diǎn)）。47 在 時，若認(rèn)為主極點(diǎn)矢量增長 倍時，對應(yīng)的頻率是系統(tǒng)帶寬的截止頻率，則可以近似確定此時的系統(tǒng)帶寬約為 。峰值為 當(dāng) 時，由于該極點(diǎn)矢量變得

11、很短，因而 會使 出現(xiàn)峰值。其峰點(diǎn)位于 處，484. 當(dāng) 時，兩極點(diǎn)分別位于 軸上的 處，此時系統(tǒng)處于無阻尼狀態(tài)。從零極點(diǎn)圖考察系統(tǒng)的相位特性：動點(diǎn)沿 軸移動用所有零點(diǎn)矢量的幅角之和減去所有極點(diǎn)矢量的幅角之和49例3. 全通系統(tǒng)：考查零極點(diǎn)對稱分布的系統(tǒng)（一階全通系統(tǒng)） 該系統(tǒng)的 在任何時候都等于1，所以 稱為全通系統(tǒng)。50 其相位特性全通系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布呈四角對稱特征。三階全通系統(tǒng)全通系統(tǒng)被廣泛用于對系統(tǒng)進(jìn)行相位均衡。51例4. 最小相位系統(tǒng)： 考察兩個系統(tǒng)，它們的極點(diǎn)相同，零點(diǎn)分布關(guān)于 軸對稱。其中一個系統(tǒng)的零點(diǎn)均在左半平面，另一個系統(tǒng)的零點(diǎn)均在右半平面。52顯然這兩個系統(tǒng)的幅頻特性是相同

12、的。但零點(diǎn)在左半平面的系統(tǒng)其相位總小于零點(diǎn)在右半平面的系統(tǒng)。因此將零極點(diǎn)均位于左半平面的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。 工程應(yīng)用中設(shè)計(jì)的各種頻率選擇性濾波器，如：Butterworth 、Chebyshev、 Cauer濾波器都是最小相位系統(tǒng)。53 當(dāng)工程應(yīng)用中要求實(shí)現(xiàn)一個最小相位系統(tǒng)時，通常采用將一個非最小相位系統(tǒng)和一個全通系統(tǒng)級聯(lián)來實(shí)現(xiàn)。 從本質(zhì)上講系統(tǒng)的特性是由系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布決定的。對系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)質(zhì)上就是優(yōu)化其零、極點(diǎn)的位置。非最小相位系統(tǒng)全通系統(tǒng)54最小相位系統(tǒng)全通系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)55Properties of the Laplace Transform則ROC至少是9.5 拉氏

13、變換的性質(zhì) 拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的性質(zhì)。這里只著重于ROC的討論。1. 線性（Linearity ）：若56而ROC擴(kuò)大為整個S平面。 當(dāng) 與 無交集時，表明 不存在。例.（原因是出現(xiàn)了零極點(diǎn)相抵消的現(xiàn)象）572. 時移性質(zhì)（Time Shifting）:若ROC不變則3. S域平移（Shifting in the s-Domain）:若則表明 的ROC是將 的ROC平移了一個 。這里是指ROC的邊界平移。58例.顯然59 4. 時域尺度變換（Time Scaling）:若則例.求 的拉氏變換及ROC當(dāng) 時 收斂， 時 收斂60可見：若信號在時域尺度變換，其拉氏變換的ROC在S平

14、面上作相反的尺度變換。特例5. 共軛對稱性（Conjugation）：若則61如果 是實(shí)信號，且 在 有極點(diǎn)（或零點(diǎn)），則 一定在 也有極點(diǎn)（或零點(diǎn)）。這表明：實(shí)信號的拉氏變換其復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)必共軛成對出現(xiàn)。當(dāng) 為實(shí)信號時，有：由此可得以下重要結(jié)論：或62包括 6. 卷積性質(zhì):（Convolution Property）若則顯然有:例.63ROC擴(kuò)大原因是 與 相乘時，發(fā)生了零極點(diǎn)相抵消的現(xiàn)象。當(dāng)被抵消的極點(diǎn)恰好在ROC的邊界上時，就會使收斂域擴(kuò)大。7. 時域微分:（Differentiation in theTime Domain）ROC包括,有可能擴(kuò)大。若則648. S域微分:（Differ

15、entiation in the s-Domain）若則例.求求反變換65 9. 時域積分:（Integration in the Time Domain ）若包括則包括66 如果 是因果信號，且在 不包含奇異函數(shù)，則初值定理時 ，且在 不包含奇異函數(shù)。證明:將 在 展開為Taylor級數(shù)有： 10. 初值與終值定理:（The Initial- and Final- Value Theorems)67對上式兩邊做拉氏變換：68 如果 是因果信號，且在 不包含奇異函數(shù)， 除了在 可以有單階極點(diǎn)外，其余極點(diǎn)均在S平面的左半邊，則終值定理是因果信號，且在 無奇異函數(shù),證:69的實(shí)部 可以大于零，因此

16、 除了在 可以有一階極點(diǎn)外，其它極點(diǎn)均在S平面的左半平面（即保證 有終值），故 的ROC中必包含 軸。表明：當(dāng) 時70極點(diǎn)在S平面的分布與信號終值的關(guān)系71Some Laplace Transform Pairs9.6 常用拉氏變換對 72Analysis and Characterized of LTI Systems Using the Laplace Transform一. 系統(tǒng)函數(shù)的概念： 以卷積特性為基礎(chǔ)，可以建立LTI系統(tǒng)的拉氏變換分析方法，即 其中 是 的拉氏變換，稱為系統(tǒng)函數(shù)或轉(zhuǎn)移函數(shù)、傳遞函數(shù)。9.7 用拉氏變換分析與表征LTI系統(tǒng)73指數(shù)函數(shù)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。 如

17、果 的ROC包括 軸，則 和 的ROC必定包括 軸，以 代入，即有系統(tǒng)的頻率響應(yīng)LTI系統(tǒng)的傅里葉分析輸入信號分解基底：LTI系統(tǒng)響應(yīng)：輸入信號分解基底：LTI系統(tǒng)響應(yīng)： 相應(yīng)的ROC描述一個LTI系統(tǒng)：74二. 用系統(tǒng)函數(shù)表征LTI系統(tǒng)：1. 因果性：如果 時 ，則系統(tǒng)是因果的。如果 時 ，則系統(tǒng)是反因果的。右邊信號因果系統(tǒng) ROC必是最右邊極點(diǎn)的右邊75ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊因果系統(tǒng)左邊信號反因果系統(tǒng) ROC必是最左邊極點(diǎn)的左邊只有當(dāng) 是有理函數(shù)時，逆命題才成立。762. 穩(wěn)定性：如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則有 。 結(jié)論：因果穩(wěn)定系統(tǒng)的 ，其全部極點(diǎn)必須位于S平面的左半邊。 的ROC必然包括 軸必存

18、在77例1.某系統(tǒng)的 顯然該系統(tǒng)是因果的，確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。顯然，ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊。ROC包括 軸系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。的全部極點(diǎn)都在S平面的左半邊。78例2.若有 的ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊，但 是非有理函數(shù)， ，系統(tǒng)是非因果的。 由于ROC包括 軸，該系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的。而對系統(tǒng) 仍是非有理函數(shù)，ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊，但由于 ，系統(tǒng)是因果的。 79結(jié) 論：3.如果因果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，且全部極點(diǎn)位于S平面的左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定 2. 如果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，且系統(tǒng)因果，則系統(tǒng)函數(shù)的ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊。若系統(tǒng)反因果，則系統(tǒng)函數(shù)的ROC是最左邊極點(diǎn)的左邊。1.

19、 如果LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)函數(shù)的ROC必然包括 軸。80 三. 由LCCDE描述的LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：對做拉氏變換，可得是一個有理函數(shù)的ROC需要由系統(tǒng)的相關(guān)特性來確定。811）如果LCCDE具有一組全部為零的初始條件， 則 的ROC必是最右邊極點(diǎn)的右邊。2）如果已知LCCDE描述的系統(tǒng)是因果的，則 的ROC必是最右邊極點(diǎn)的右邊。3）如果已知LCCDE描述的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則 的ROC 必包括 軸。82四.系統(tǒng)特性與系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系:例1： 若一個LTI系統(tǒng)輸入是：輸出是：確認(rèn)該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，并推斷系統(tǒng)的其他性質(zhì)例2： 1 系統(tǒng)是因果的2 系統(tǒng)函數(shù)是有理的，且僅有兩個極點(diǎn)在3 若 則4

20、單位沖激響應(yīng)在時的值為4.確定該LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。83例3：考慮一個系統(tǒng)是穩(wěn)定而因果系統(tǒng)，單位沖激響應(yīng)為h(t)，系統(tǒng)函數(shù)為H(s)，假定H(s)為有理的，且有一個極點(diǎn)在s=-2，原點(diǎn)沒有零點(diǎn)，其余零、極點(diǎn)未知。判斷正誤：是一個因果而穩(wěn)定系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)收斂的拉氏變換至少有一個極點(diǎn)是有限持續(xù)期84 五. Butterworth濾波器: 通常Butterworth濾波器的特性由頻率響應(yīng)的模平方函數(shù)給出。對N階 Butterworth低通濾波器有：（N為濾波器的階數(shù)）85由于Butterworth濾波器的沖激響應(yīng)應(yīng)該是實(shí)信號，將 函數(shù)拓展到整個S平面有：共有2N個極點(diǎn)86 表明N階Butte

21、rworth低通濾波器模平方函數(shù)的全部2N個極點(diǎn)均勻分布在半徑為 的圓周上。極點(diǎn)分布的特征： 極點(diǎn)分布總是關(guān)于原點(diǎn)對稱的。 相鄰兩極點(diǎn)之間的角度差為 。 軸上不會有極點(diǎn)。當(dāng)N為奇數(shù)時在實(shí)軸上 有極點(diǎn)，N為偶數(shù)時實(shí)軸上無極點(diǎn)。 2N個極點(diǎn)等間隔均勻分布在半徑為 的圓周上。 87 要實(shí)現(xiàn)的濾波器應(yīng)該是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，因此位于左半平面的N個極點(diǎn)一定是屬于 的。 據(jù)此，確定出 后，也就可以綜合出一個Butterworth 濾波器。889.8 系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示System Function Algebra and Block Diagram Representations一.系統(tǒng)互聯(lián)時的系統(tǒng)

22、函數(shù)：1. 級聯(lián)：包括893. 反饋聯(lián)結(jié)：2. 并聯(lián)：包括包括90二. LTI系統(tǒng)的級聯(lián)和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)：LTI系統(tǒng)可以由一個LCCDE來描述。對其進(jìn)行拉氏變換有：是一個有理函數(shù)911. 級聯(lián)結(jié)構(gòu)：將 的分子和分母多項(xiàng)式因式分解 這表明：一個N階的LTI系統(tǒng)可以分解為若干個二階系統(tǒng)和一階系統(tǒng)的級聯(lián)。在N為偶數(shù)時，可以全部組合成二階系統(tǒng)的級聯(lián)形式。92其中如果N為奇數(shù)，則有一個一階系統(tǒng)出現(xiàn)。932. 并聯(lián)結(jié)構(gòu)： 將 展開為部分分式 (假定 的分子階數(shù)不高于分母階數(shù)，所有極點(diǎn)都是單階的），則有：將共軛成對的復(fù)數(shù)極點(diǎn)所對應(yīng)的兩項(xiàng)合并:（N為偶數(shù)時）94N為偶數(shù)時又可將任意兩個一階項(xiàng)合并為二階項(xiàng)，由此可得出系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)：95The Unilateral Laplace Transform單邊拉氏變換是雙邊拉氏變換的特例。也就是因果信號的雙邊拉氏變換。單邊拉氏變換對分析LCCDE 描述的增量線性系統(tǒng)具有重要的意義。一.定義: 如果 是因果信號