2020高考文科數(shù)學(xué)(人教版)一輪復(fù)習(xí)講義第6講 函數(shù)的單調(diào)性含答案

1、第6講函數(shù)的單調(diào)性1理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義2會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)3能夠熟練地應(yīng)用定義判斷與證明函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性知識梳理1函數(shù)的單調(diào)性的定義給定區(qū)間D上的函數(shù)f(x)，若對于任意的x1，x2D，當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)，則f(x)為區(qū)間D上的增函數(shù)對于任意的x1，x2D，當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)，則f(x)為區(qū)間D上的減函數(shù)2函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間D上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做yf(x)的單調(diào)區(qū)間.如果函數(shù)是增函數(shù)，則稱區(qū)間D為增區(qū)間，如果函數(shù)是減函數(shù)，則稱區(qū)

2、間D為減區(qū)間.3單調(diào)函數(shù)的圖象特征增函數(shù)的圖象是上升的(如圖1)，減函數(shù)的圖象是下降的(如圖2)圖1圖21單調(diào)性定義的等價形式：設(shè)x1，x2a，b，且x1x2，那么(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)f(x1)f(x2)fx1fx2x1x2fx1fx2x1x2f(x)在a，b上是增函數(shù)；f(x)在a，b上是減函數(shù).2判斷單調(diào)性的常用結(jié)論(1)若f(x)，g(x)均為增(減)函數(shù)，則f(x)g(x)為增(減)函數(shù)(2)若f(x)為增(減)函數(shù)，則f(x)為減(增)函數(shù)(3)yfg(x)是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則其復(fù)合函數(shù)fg(x)為增函數(shù)；若f(x)，g(x

3、)的單調(diào)性相反，則其復(fù)合函數(shù)fg(x)為減函數(shù).(4)已知函數(shù)yf(x)，給定區(qū)間D，若對D內(nèi)任意的x，f(x)0，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增；若對D內(nèi)任意的x，f(x)0，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.Af(x)Bf(x)(x1)2熱身練習(xí)1下列函數(shù)f(x)中，滿足“對任意x1，x2(0，)，當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)”的是(D)1xCf(x)exDf(x)ln(x1)根據(jù)單調(diào)性的定義，滿足條件的函數(shù)f(x)在(0，)上為增函數(shù)，分別作出選項A，B，C，D的圖象(如下圖)，根據(jù)圖象特征進(jìn)行判斷AyBycosx1x1x故yln(x1)在(1,1)上為增函數(shù)；選項D中，y2x()x在R上為

4、減函數(shù)，故y2x在(1，42由圖象可知，應(yīng)選D.2(2016北京卷)下列函數(shù)中，在區(qū)間(1,1)上為減函數(shù)的是(D)11xCyln(x1)Dy2x11選項A中，y在(，1)和(1，)上為增函數(shù)，故y在(1,1)上為增函數(shù)；選項B中，ycosx在(1,1)上先增后減；選項C中，yln(x1)在(1，)上為增函數(shù)，121)上為減函數(shù)3已知函數(shù)f(x)x22ax3在區(qū)間1,2上具有單調(diào)性，則實數(shù)a的取值范圍為(D)A1,2B(1,2)C(，1)(2，)D(，12，)因為二次函數(shù)的單調(diào)性以對稱軸為分界線，故頂點的橫坐標(biāo)不能落在區(qū)間(1,2)內(nèi)，所以a2或a1.4函數(shù)f(x)axloga(x1)在0,1

5、上的最大值與最小值之和為a，則a的值為(B)11A.B.C2D4因為yax與yloga(x1)的單調(diào)性相同，所以f(x)axloga(x1)是單調(diào)函數(shù)，其最大值和最小值分別在端點處取得，所以最值之和為f(0)f(1)a0loga1aloga2a.1所以loga210，所以a2.5(2018杭州期中)函數(shù)f(x)log(4x2)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,2).又因為0)在(0，a)上是減函數(shù)f(x1)f(x2)(x1)(x2)(x1x2)()(x1x2)(12x1x2所以函數(shù)f(x)x在(0，a)上是減函數(shù)(2)函數(shù)yx(a0)是一種常用函數(shù)，俗稱“雙勾函數(shù)”，其圖象如下圖所示單調(diào)性的判定與證明ax因

6、為沒有要求一定要用定義進(jìn)行證明，因此，除定義證明外，還可考慮用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明(方法一)設(shè)0 x1x2a，則aax1x2aax1x2xxa)因為0 x1x2a，所以x1x20,0 x1x20，即f(x1)f(x2)，axax2a(方法二)因為0 xa，所以f(x)1x2x20)在(a，)上是增函數(shù)由圖象，你能寫出它的單調(diào)區(qū)間嗎？能得出它的哪些性質(zhì)？axf(x1)f(x2)(x1)(x2)(x1x2)()(x1x2)(12x1x2所以函數(shù)f(x)x在(a，)上是增函數(shù)(方法一)設(shè)ax1x2，則aax1x2aax1x2xxa)因為ax1x2，所以x1x2a，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)a，

7、所以f(x)1x2x20，所以f(x)在(a，)上是增函數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(2017全國卷)函數(shù)f(x)ln(x22x8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(，2)B(，1)C(1，)D(4，)由x22x80，得x4或x0，所以x2或x1.故ux23x2在(2，)上遞增，在(，1)上遞減1212恒成立，設(shè)af()，bf(2)，cf(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()因為af()f()，且2x11時，(x2)f(x1)(x2x1)abBcbaCacbDbac(2)(2018昭通月考)已知函數(shù)f(x)是定義域(3,3)上的增函數(shù)，如果f(3m)ac.33m3，(2)依題意3m233，解得2m6.3mm23，(

8、1)D(2)A(1)單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，它的應(yīng)用非常廣泛，主要表現(xiàn)在兩個方面：根據(jù)自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系，如比較大小、求函數(shù)的最值等；根據(jù)函數(shù)值的大小關(guān)系得到自變量的大小關(guān)系，如解有關(guān)函數(shù)不等式等(2)解函數(shù)不等式的一般步驟：第一步，(定性)確定函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；第二步，(轉(zhuǎn)化)將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為f(M)f(N)的形式；第三步，(去f)運用函數(shù)的單調(diào)性“去掉”函數(shù)的抽象符號，轉(zhuǎn)化為一般的不等式或不等式組；第四步，(求解)解不等式或不等式組確定解集13(1)已知f(x)log2x1x，若x1(1,2)，x2(2，)，則(B)Af(x1)0，f(x2)0Bf(x1

9、)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0 x3，x0，(2)已知函數(shù)f(x)若f(2x2)f(x)，則實數(shù)x的取值范圍是(D)lnx1，x0.A(，1)(2，)B(，2)(1，)C(1,2)D(2,1)1(1)因為函數(shù)f(x)log2x1x在(1，)上為增函數(shù)，且f(2)0，所以當(dāng)x1(1,2)時，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.(2)因為當(dāng)x0時，兩個表達(dá)式對應(yīng)的函數(shù)值都為0，所以函數(shù)圖象是一條連續(xù)不斷的曲線在(，0)和(0，)都是減函數(shù)，單調(diào)區(qū)間不能寫成(，0)(0，)，事實上，f(x)說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“互逆互推”，有x1x2f(x1)因為當(dāng)x0時，f(x)x3為增函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)ln(x1)也是增函數(shù)，且當(dāng)x10時，f(x1)f(x)等價于2x2x，即x2x20，解得2x1，故選D.1對于單調(diào)性的定義的理解，要注意以下四點：(1)單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)區(qū)間(2)單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì)因此，定義中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替(3)由于定義都是充要性命題，因此由f(x)是增(減)函數(shù)，且f(x1)f(x2x1x2(或x1x2)，這即f(x2)(或f(x1)f(x