正定矩陣的判定方法及正定矩陣在三個(gè)不等式證明中的應(yīng)用教案

1、精品文檔.正定矩陣的判定方法及正定矩陣 在三個(gè)不等式證明中的應(yīng)用作者：袁亮（西安財(cái)經(jīng)大學(xué)）摘 要: 本文從正定矩陣的的定義出發(fā)，給出了正定矩陣的若干判定定理及推論，并給出了正定矩陣在柯西、Holder、Minkowski三個(gè)不等式證明中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞: 正定矩陣，判定，不等式，應(yīng)用Abstract: In this paper, we mainly introduce some decision theorem and inference based on the definition of positive definite matrices and give the application

2、 of positive definite matrices in the proving on Cauchy、Holder、and Minkowski inequality.Keywords: positive definite matrix, determine, inequality, application目 錄1 引言42 正定矩陣的判定方法42.1 定義判定 52.2 定理判定 62.3 正定矩陣的一些重要推論113 正定矩陣在三個(gè)不等式證明中的應(yīng)用 153.1 證明柯西不等式 153.2 證明Holder不等式163.3 證明Minkowski不等式18結(jié)束語(yǔ)21參考文獻(xiàn)221

3、引言代數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的分支，而正定矩陣又是高等代數(shù)中的重要部分特別是正定矩陣部分的應(yīng)用很廣泛， n階實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣在矩陣?yán)碚撝?，占有十分重要的地位它在物理學(xué)、概率論以及優(yōu)化控制理論中都得到了重要的應(yīng)用，而本文只提供解決正定矩陣判定問(wèn)題的方法，并闡明它在數(shù)學(xué)分析中三個(gè)重要不等式證明中的應(yīng)用.正定矩陣的一般形式是,設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，若對(duì)任意，且，都有成立.本文從正定矩陣的定義，給出正定矩陣的判定定理，并給出正定矩陣的重要推論，這些重要推論對(duì)計(jì)算數(shù)學(xué)中的優(yōu)化問(wèn)題有著重要的作用，并在矩陣對(duì)策，經(jīng)濟(jì)均衡，障礙問(wèn)題的研究中具有很實(shí)用的價(jià)值.同時(shí)還介紹正定矩陣在三個(gè)不等式證明中的應(yīng)用，其一是用正

4、定矩陣證明著名的柯西不等式，其二是用正定矩陣的性質(zhì)給出Holder不等式的一個(gè)新的證明，其三是運(yùn)用正定矩陣的兩個(gè)引理證明Minkowski不等式，這三個(gè)應(yīng)用說(shuō)明正定矩陣運(yùn)用的廣泛性和有效性.以上這些正定矩陣的研究只局限在正定矩陣的理論分析方面，它的一些實(shí)際方面的應(yīng)用還有待筆者和一些學(xué)者去探索挖掘.2 正定矩陣的判定方法2.1 定義判定設(shè)=,(其中C,i,j=1,2,，n), 的共軛轉(zhuǎn)置記為=定義1 對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣=,（其中R,i,j=1,2,，n）若對(duì)于任意非零列向量，都有0,則稱(chēng)是正定矩陣.定義2 對(duì)于復(fù)對(duì)稱(chēng)矩陣=,（其中C,i,j=1,2,，n）若對(duì)于任意非零列向量，都有0,則稱(chēng)是正定矩陣

5、例1 設(shè)A為m階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣且正定，B為mn實(shí)矩陣，為B的轉(zhuǎn)置矩陣，試證 為正定矩陣的充要條件是B的秩r（B）=n. 證 必要性 設(shè)為正定矩陣，則對(duì)任意的實(shí)n維列向量，有，即.于是，因此，只有零解，從而.充分性 因,即為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣.若秩，則線(xiàn)性方程組只有零解，從而對(duì)任意實(shí)n維向量有.又A為正定矩陣，所以對(duì)于，有,于是當(dāng)時(shí)，.故為正定矩陣.例2 設(shè) A 是 n 階正定矩陣，B 是 nm 實(shí)矩陣，B的秩為 m，證明 ：BAB 是正定矩陣.證 因?yàn)椋˙AB）=BAB=BAB,故 BAB 是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，其次，由于秩 B=m，mn.故 BX=0 只有零解 ，因此，若任取非零實(shí)列向量 X 必有 BX0，因

6、A 是正定矩陣，故對(duì)任取的非零實(shí)列向量 X，必有X（BAB）X=(BX)A(BX)0.因此 BAB 是正定矩陣.注意 以上兩個(gè)例子，是運(yùn)用正定矩陣的定義來(lái)證明的.還提供了利用實(shí)矩陣來(lái)構(gòu)造正定矩陣的方法.具體是，若 A 不是方陣，也不對(duì)稱(chēng)時(shí)，AA，AA是正定矩陣，若 A 是方陣，但不對(duì)稱(chēng)，則 A+A是正定矩陣，同時(shí)，在證明的過(guò)程中，我們也看到了齊次線(xiàn)性方程組解的理論在正定二次型的理論中的應(yīng)用.2.2 定理判定定理1 n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A正定，當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)二次f(,)=的正慣性指數(shù)為n證 設(shè)實(shí)二次型f(,)經(jīng)過(guò)非退化線(xiàn)性變換得+. （2.1）由于非退化實(shí)線(xiàn)性變換保持正定性不變，那么正定當(dāng)且僅當(dāng)（2.1）

7、是正定的，由定義3知（3.1）正定當(dāng)且僅當(dāng)0()，因此，正慣性指數(shù)為n. .定理2 實(shí)對(duì)角矩陣正定的充分必要條件是0，().證 由定理3.1得，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正定當(dāng)且僅當(dāng)二次型f(,，)=+.的正慣性指數(shù)為n，因此，0（i=1,2,n,）例3 設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，證明：秩（A）=n的充分必要條件為存在一個(gè)n階實(shí)矩陣B，使是正定矩陣.證 充分性（反證法）反設(shè)，則.于是是A的特征值，假設(shè)相應(yīng)的特征向量為x，即,所以.所以，和是正定矩陣矛盾.必要性 因?yàn)?，所以A的特征值全不為0.取B=A，則.它的特征值為全部為正，所以是正定矩陣.定義3 在實(shí)二次型的規(guī)范形中，正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)p稱(chēng)為的正慣性指數(shù)，負(fù)平方項(xiàng)

8、的個(gè)數(shù)稱(chēng)為的負(fù)慣性指數(shù)，它們的差稱(chēng)為的符號(hào)差.定理3 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是正定的充要條件矩陣的秩與符號(hào)差n定理4 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是正定的充要條件是二次型f(, )=的系數(shù)矩陣的所有特征值都是正數(shù)，即大于零.證 由文獻(xiàn)1知，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣可對(duì)角化為其中，恰好是的特征值，則二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：+,而非退化實(shí)線(xiàn)性變換保持正定性不變，由f (,，)=+.正定得0()例4設(shè)A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則當(dāng)t充分大時(shí)，A+tE為正定矩陣.證 設(shè)A的特征值為，取，則的特征值全部大于零，因此當(dāng)時(shí)，是正定矩陣.例5 設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且.證明：A正定.證 設(shè)是A的任一特征值，對(duì)應(yīng)特征向量為，即，代入已知等式,有，因?yàn)椋蕽M(mǎn)足得，因A為實(shí)

9、對(duì)稱(chēng)矩陣，其特征值一定為實(shí)數(shù)，故只有，即A的全部特征值就是，這就證明A是正定矩陣.定理5 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正定當(dāng)且僅當(dāng)它與單位矩陣合同證 實(shí)正定二次型的規(guī)范形為+. (2.2.1)而（2.2.1）的系數(shù)矩陣為單位矩陣，非退化實(shí)線(xiàn)性變換保持正定性不變，而且新二次型的系數(shù)矩陣與原二次型的系數(shù)矩陣是合同的，故實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正定當(dāng)且僅當(dāng)它與單位矩陣合同定理6 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是正定的充要條件是存在可逆矩陣使得=證 設(shè)為一正定矩陣，當(dāng)切僅當(dāng)與單位矩陣合同，因此，存在可逆矩陣，使得 =.定理7 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正定的充分必要條件是矩陣的順序主子式全大于零證 必要性 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正定，則二次型f(,)=是正定的，對(duì)于每一個(gè)k,1k

10、n,令（,，）=，我們來(lái)證是一個(gè)k元正定二次型，對(duì)于一組不全為零的數(shù)，有（，）=（，0，,0）0,因此，是一個(gè)k元正定二次型.由充要條件2得的矩陣行列式 0,（k=1,2,n）.充分性 對(duì)n作數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)n=1時(shí)，f()=,由條件0，顯然f()是正定的假定此論斷對(duì)n-1元二次型成立，下證n元的情形. 令= ，=，則 =.由的順序主子式全大于零可知的順序主子式全大于零，由假設(shè)是正定矩陣，有n-1階可逆矩陣 ，使得=,令=,則=.令=,則=.令=,=-,則有=.兩邊取行列式得 =,由條件 0 知 0. 由于 =.因此，A與單位矩陣合同. 由定理5得，是正定矩陣定理8 n階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣A為正定的充要條件

11、是存在對(duì)稱(chēng)正定陣B，使A=B. 證 必要性 存在正交陣Q，使A=QO將 A 的第 n 列乘適當(dāng)?shù)谋稊?shù)，分別加到第 1,2nl列上，再施同樣的行變化，可使 A 變成為,的形式即存在非退化的下三角矩陣T，使,再令因?yàn)锳正定 ，故A作為A的n-1階順序主子式，也是正定的.對(duì)A做同樣處理，最終可得到.令 是非退化的下三角矩陣，且使A=OQ充分性 是顯然的定理10 A是正定矩陣的充要條件是存在正交向量組 使 A=.2.3 正定矩陣的一些重要推論對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣除了上面的一些充要條件用于判定一個(gè)矩陣是否為正定矩陣外，還有很多重要推論，下面給出.推論1 正定矩陣的和仍是正定矩陣證 若與為同階正定矩陣，則對(duì)

12、于非零列向量=(,)0,必有0， 0,從而（+）=+ 0.所以+也是正定的.推論2 實(shí)正定矩陣的行列式大于零證 對(duì)=兩邊取行列式有 |=| |=0，因此，|A|0推論3 與正定矩陣合同的對(duì)稱(chēng)矩陣一定是正定矩陣(事實(shí)上由合同的傳遞性及正定矩陣都與單位矩陣合同可知結(jié)論成立)推論4 正定矩陣的逆矩陣一定是正定矩陣證 由命題1.3得正定矩陣的逆矩陣一定是對(duì)稱(chēng)矩陣，又因?yàn)檎ň仃嚺c單位矩陣合同，所以存在可逆矩陣使得=,取逆矩陣得=,令=,則=.因此，與單位矩陣合同，所以是正定矩陣推論5 正定矩陣的任何順序主子式陣必為正定矩陣推論6 設(shè)A，B均為 n 階正定矩陣，且AB=BA，則AB 正定.證 因?yàn)锳B=

13、BA，故(AB)=BA=BA=AB， 所以AB為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，又因?yàn)锳 正定，所以實(shí)可逆矩陣P，使PAP=E.方法一 PABP=PAPPBP=PBP，而 B 正定，故 B 的特征值都大于零，所以 PABP 的特征值大于零，正定，AB是正定的.方法二 PAB(P)=PAPPB(P)=PB(P)，因?yàn)锽 正定，故 PB(P)正定， PB(P)的特征值大于零，AB的特征值大于零，又因?yàn)锳B實(shí)對(duì)稱(chēng)，所以AB是正定的. 推論7 若A是正定矩陣，則A 也是正定的(其中A表示A的伴隨矩陣).證 因?yàn)锳正定 ，故 A正定；A=A(0)，所以 A也正定.推論8 若A，B都是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且B是正定矩陣，則存在一

14、n階實(shí)可逆矩陣P使PAP與PBP同時(shí)為對(duì)角形.證 因?yàn)锽是正定的，所以合同于E，即存在可逆陣U使UBU=E；且A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則(UAU)=UAU.存在正交矩陣C使C(UAU)C=diag( ， ，),則.取P=UC，則P為所求 推論9 若 A 是實(shí)對(duì)稱(chēng)的正定矩陣，則存在 a0，bO，c0，使 aE+A，E+bA.cEA 均是正定矩陣.證 若A的特征值為，1in，則 aE+A 的特征值為 a+ ，1in，所以存在 a 使 aE+A的特征值大于零，其余同理可證.推論10 已知 A 是 n 階正定矩陣，則A(k是正整數(shù))也是正定矩陣.證 A與 A 的特征值有熟知的關(guān)系，故從特征值角度人手考慮根

15、據(jù)A正定，即知其特征值， 全正，由于 A 的全部特征值就是 也都為正這就知A是正定矩陣.例6 若 A 是 n 階正定矩陣，則 2.證 法一 A與2E都是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣，因此存在一n階實(shí)可逆矩陣 P 使.由推論9可知其中入 (i=l，2，n)為 A 的特征值且大于零所以 +2(i=l，2，n) 為 A+2E 的特征值，也是大于零的.所以=( +2)( +2)( +2) 2. 法二 因?yàn)?A 與 2E 都是 n 階實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣，由推論10，有 +2.推論11 A為n階正定矩陣，B為2n階非零半正定矩陣，則+. 證 由題意可知，存在實(shí)可逆陣P，使PAP=E，且PBP=，（d 0）所以所以+.推

16、論12 若 A 是 n 階實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣，則必有 a0，a0,a0.證 根據(jù)定義，對(duì)一切 XO 皆有 XAX0，故依次令X=e，e，就有(e)AeO,即 a0(e)Ae0,即 a0.3 正定矩陣在三個(gè)不等式證明中的應(yīng)用3.1 證明柯西不等式如果有一個(gè)正定的矩陣，我們通?？梢栽O(shè)計(jì)出一個(gè)柯西不等式進(jìn)而我們就有必要知道如何用正定矩陣證明柯西不等式(1)柯西不等式在中學(xué)里，我們就熟悉了如下的一個(gè)不等式 這就是著名的柯西不等式如果我們將上述不等式用內(nèi)積的形式來(lái)表示，則可將它寫(xiě)成.(2)那如何用正定矩陣證明柯西不等式呢？如果有一個(gè)正定的矩陣，我們通?？梢栽O(shè)計(jì)出一個(gè)柯西不等式進(jìn)而我們就有必要知道正定矩陣與柯

17、西不等式的關(guān)系并應(yīng)用正定矩陣證明柯西不等式.設(shè)A=(a )是一個(gè)n階正定矩陣，則對(duì)任何向量=(x，x，x )與=(Y，Y，y)，定義 . 則可以證明由上式定義的一定是n維向量間的內(nèi)積反之，對(duì)于n維向量問(wèn)的任意一種內(nèi)積，一定存在一個(gè)n階正定矩陣A=(a)，使得對(duì)任何向量和，()可由(2)式來(lái)定義因此，給定了一個(gè)n階正定矩陣，在n維向量間就可由該矩陣定義一個(gè)內(nèi)積，從而可得到相應(yīng)的柯西不等式.例7 證明不等式對(duì)所有實(shí)數(shù)x，x，x和y，y，y均成立證 從不等式來(lái)看，可知它相當(dāng)于 其中()是由矩陣A= .所定義的，但要證明是內(nèi)積還需證明A是個(gè)正定矩陣經(jīng)驗(yàn)證該矩陣為正定矩陣從而可看出該不等式就是由A所確定

18、的內(nèi)積所產(chǎn)生的柯西不等式，因此不等式成立.3.2 證明Holder不等式 設(shè)A為n階正定矩陣，xR，易知，本節(jié)將其推廣為更一般的形式，并以此為工具給出Holder不等式的一個(gè)新證明.定理 設(shè)A為n階正定陣，x，r，s為任意正整數(shù)，則.證 對(duì)任一，令a=,則有a0，令,易見(jiàn)在上有最小值,由于A正定，故存在正交陣P使，其中,為A的特征值，于是,由于,故,從而,于是,將a的表達(dá)式代入上式左端并整理得,由此即得,即.證畢下面我們 利用以上結(jié)果證明Holder不等式.Holder不等式 設(shè)，并且，則.證 由常規(guī)的極限過(guò)渡法，不妨設(shè) 且p，q為有理數(shù)；由知必存在正整數(shù)r，s，使得.令 , 經(jīng)簡(jiǎn)單運(yùn)算得,于是由 得,即.3.3 證明Minkowski不等式引理1 設(shè)，都是階正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，p1且，則有. 引理2 設(shè)，（i=1，2,m）是nn階實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣，0pn時(shí)，等式成立當(dāng)且僅當(dāng)；當(dāng)