概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五節(jié)

1、 由于從二維推廣到多維無(wú)實(shí)質(zhì)性的困難，本節(jié)我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量。第五節(jié) 二維隨機(jī)變量及其分布 到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維隨機(jī)變量及其分布。但有些隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述還不夠，而需要用幾個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述。 定義 如果某隨機(jī)變量要通過(guò) 個(gè)隨機(jī)變量 組成的有序數(shù)組來(lái)描述，則稱此有序數(shù)組為 維隨機(jī)變量。相應(yīng)地，稱 元函數(shù)為 維隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布函數(shù)。特別地，當(dāng) 時(shí)， 為二維隨機(jī)變量。為二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布函數(shù)。 應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，是指與同時(shí)成立的概率。稱 二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布函數(shù)有以下性質(zhì)： 分別對(duì) 和 單調(diào)不減，即當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，對(duì) 和 都是右連續(xù)的，即且，對(duì)任意實(shí)數(shù) ，成立， 對(duì)

2、于二維隨機(jī)變量我們?nèi)苑蛛x散型與連續(xù)型兩種情況來(lái)討論。 一、二維離散型隨機(jī)變量及其分布 對(duì)于二維隨機(jī)變量 ，如果 和 都是離散型隨機(jī)變量，則稱 是二維離散型隨機(jī)變量。 為 的聯(lián)合分布列或分布列。 定義 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 可能取值為 ，相應(yīng)的概率為，則稱的分布列也可由以下矩陣表格表示。由于遍及所有的可能取值，從而成立反之，如果某非負(fù)數(shù)列滿足 ，則它定可作為某二維離散型隨機(jī)變量的分布列。 例1 一口袋中裝有四個(gè)球，上面依次標(biāo)有數(shù)字1，2，2，3。從袋中任取一球后不放回的再取一球，假設(shè)每次取球時(shí)袋中各球被取到的可能性相同，以 和 表示第一次和第二次取出的球上標(biāo)有的數(shù)字，求 的聯(lián)合分布。解 可能取值

3、為由乘法原理，得：類似可得：從而所求的分布列為：二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布 定義 設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布函數(shù)為 ，如果存在一非負(fù)二元函數(shù) ，使對(duì)任意實(shí)數(shù) 有則稱 是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，相應(yīng)的二元函數(shù) 稱為 的聯(lián)合密度。它滿足： 反之，若二元函數(shù)滿足以上條件，則它定可作為某二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度。不難得出，在 的連續(xù)點(diǎn)：且對(duì)平面上的任意區(qū)域試求(1) 常數(shù) 的值；例2 二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度為（3） 的聯(lián)合分布函數(shù)。 取值落入?yún)^(qū)間中的概率；解 （1）由聯(lián)合概率密度的性質(zhì)：從而（2）（3）由聯(lián)合分布的定義，當(dāng) 或 時(shí)， 從而當(dāng) 且 時(shí)， 從而從而所求的聯(lián)合密度為：下面我們介紹兩個(gè)常

4、見的二維分布。 設(shè) 是平面上的有界區(qū)域，其面積為 。若二維隨機(jī)變量 具有概率密度則稱 在 上服從均勻分布。 向平面上有界區(qū)域 上任投一質(zhì)點(diǎn)，若質(zhì)點(diǎn)落在 內(nèi)任一小區(qū)域 的概率與小區(qū)域的面積成正比，而且與 的形狀及位置無(wú)關(guān)。 例3 甲乙兩人各自在0,1區(qū)間上隨機(jī)取數(shù),求甲所取數(shù)超過(guò)乙所取數(shù)兩倍的概率。上的均勻分布,從而所求概率為: 1 解 用 表示甲所取的數(shù), 表示乙所取的數(shù),則（X，Y）服從正方形區(qū)域其中均為常數(shù),且若二維隨機(jī)變量 具有概率密度：則稱 服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布。記作：密度函數(shù)圖形體積為1三、隨機(jī)變量的邊緣分布即是指稱這種由 的聯(lián)合對(duì)于二維隨機(jī)變量 ，隨機(jī)事件分布函數(shù)確定出的一維隨

5、機(jī)變量 的分布函數(shù)為 關(guān)于 的邊緣分布。又稱邊際分布。若 的聯(lián)合分布函數(shù)為則關(guān)于 的邊緣分布函數(shù)記為類似可得 關(guān)于 的邊緣分布函數(shù)為 由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布。 一般地，對(duì)二維離散型隨機(jī)變量 ，聯(lián)合分布列為則 關(guān)于 的邊緣分布列為關(guān)于 的邊緣分布列為 我們常將邊緣概率函數(shù)寫在聯(lián)合概率函數(shù)表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個(gè)名詞。例4 設(shè) 的聯(lián)合分布列為求關(guān)于 及 的邊緣分布列。 解 由邊緣分布列的定義， 同理可計(jì)算出 的邊緣分布。從而關(guān)于 及 的邊緣分布列為： 對(duì)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 ，若聯(lián)合概率密度為 ，則關(guān)于 的邊緣分布也可表示為：其邊緣密度函數(shù)為：同理可知

6、關(guān)于 的邊緣分布函數(shù)和密度函數(shù)為：函數(shù)為：例5 設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度為求 關(guān)于 和 的邊緣概率密度。解 由定義所以同理解 由二元正態(tài)分布函數(shù)定義可知的聯(lián)合概率密度為和 的邊緣概率密度。 例6 設(shè), 試計(jì)算關(guān)于從而 記且對(duì)積分引入變量代換再對(duì)被積函數(shù)中的指數(shù)部分里的配方,可得同理可得注意到積分中函數(shù)恰好為一正態(tài)分布 的概率密度,積分值應(yīng)為1,從而例7 設(shè)隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度是求 (1) c的值； （2）兩個(gè)邊緣密度。解：(1)由(2)1所以四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性 隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性，是事件相互獨(dú)立性的推廣，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用中是一個(gè)重要的概念。 定義 設(shè) 是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對(duì)任意實(shí)數(shù) 有則稱設(shè) 與 是相互獨(dú)立的。 如果用 表示 的聯(lián)合分布函數(shù)，和 分別表示 和 的邊緣分布函數(shù)，則對(duì)于相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 和 有：即對(duì)所有的 設(shè) 是二維離散型隨機(jī)變量，則 與 相互獨(dú)立的充分必要條件是：對(duì) 所有可能的取值 有例8 設(shè) 的聯(lián)合分布列為證明 與 分布相互獨(dú)立。容易算得證明 與 的邊緣分布列為：容易驗(yàn)證：類似可以驗(yàn)證：對(duì)所有的成立，所以 與 分布相互獨(dú)立。 對(duì)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 ，若聯(lián)合概率密度為 ，如果 與 相互獨(dú)立，則：等式兩邊對(duì) 求二階混合偏導(dǎo)數(shù)可得：反之也成立。 因此連續(xù)型隨