廣東省百所高中2021-2022學(xué)年高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為ABC2D2函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）ABCD3過雙曲線左焦點(diǎn)的直線交的左支于兩點(diǎn)，直線（是坐標(biāo)原點(diǎn)）交的右支于點(diǎn)，若，且，

2、則的離心率是（ ）ABCD4中國古代用算籌來進(jìn)行記數(shù)，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式（如圖所示），表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯記數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，其中個(gè)位、百位、方位用縱式表示，十位、千位、十萬位用橫式表示，則56846可用算籌表示為（ ）ABCD5已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過右頂點(diǎn)A且與x軸垂直的直線交雙曲線的一條漸近線于M點(diǎn)，MF的中點(diǎn)恰好在雙曲線C上，則C的離心率為（ ）ABCD6在中，為的外心，若，則（ ）ABCD7已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）ABCD8給定下列四個(gè)命題：若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，則這兩個(gè)平面相互平行；若一

3、個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面相互垂直；垂直于同一直線的兩條直線相互平行；若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直其中，為真命題的是( )A和 B和 C和 D和9已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值等于（ ）ABCD10已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)，且，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）ABCD11已知，復(fù)數(shù)，且為實(shí)數(shù)，則（ ）ABC3D-312已知平面向量滿足，且，則所夾的銳角為（ ）ABCD0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13展開式的第5項(xiàng)的系數(shù)為_.14李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/

4、盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為_15已知變量 (m0)，且，若恒成立，則m的最大值_16已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)，（）當(dāng)時(shí)，證明；（）已知點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，試判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)18（12分）如圖

5、，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，.（1）證明：平面平面ABCD；（2）設(shè)H在AC上，若，求PH與平面PBC所成角的正弦值.19（12分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程；（2）設(shè)曲線與曲線在第二象限的交點(diǎn)為，曲線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)，求的周長的最大值20（12分）若關(guān)于的方程的兩根都大于2，求實(shí)數(shù)的取值范圍21（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，判斷是否是函數(shù)的極值點(diǎn)，并說明理由；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.22（10分）已知?jiǎng)訄AE與圓外切，并與直線相切，記動(dòng)圓圓心E的軌

6、跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點(diǎn)的直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，若曲線C上存在點(diǎn)P使得，求直線l的斜率k的取值范圍.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1A【解析】 由給定的三視圖可知，該幾何體表示一個(gè)底面為一個(gè)直角三角形，且兩直角邊分別為和，所以底面面積為 高為的三棱錐，所以三棱錐的體積為，故選A2D【解析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式和輔助角公式化簡表達(dá)式，再根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，求得的單調(diào)區(qū)間，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋蓡握{(diào)遞增，則（），解得（），當(dāng)時(shí)，D選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)是遞減區(qū)

7、間，A，B選項(xiàng)中有部分增區(qū)間部分減區(qū)間.故選：D【點(diǎn)睛】本小題考查三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識(shí).3D【解析】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接并延長交右支于，連接，設(shè)，利用雙曲線的幾何性質(zhì)可以得到，結(jié)合、可求離心率.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，連接并延長交右支于.因?yàn)椋仕倪呅螢槠叫兴倪呅?，?又雙曲線為中心對稱圖形，故.設(shè)，則，故，故.因?yàn)闉橹苯侨切?，故，解?在中，有，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率，注意利用雙曲線的對稱性（中心對稱、軸對稱）以及雙曲線的定義來構(gòu)造關(guān)于的方程，本題屬于難題.

8、4B【解析】根據(jù)題意表示出各位上的數(shù)字所對應(yīng)的算籌即可得答案【詳解】解：根據(jù)題意可得，各個(gè)數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位，百位，萬位用縱式表示；十位，千位，十萬位用橫式表示，用算籌表示應(yīng)為：縱5橫6縱8橫4縱6，從題目中所給出的信息找出對應(yīng)算籌表示為中的故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的合情推理與演繹推理，屬于基礎(chǔ)題5A【解析】設(shè)，則MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入雙曲線的方程可得的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的齊次方程，求出的值，即可得答案.【詳解】雙曲線的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為， M所在直線為，不妨設(shè)，MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為.代入方程可得，（負(fù)值舍去）.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化

9、歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意構(gòu)造的齊次方程.6B【解析】首先根據(jù)題中條件和三角形中幾何關(guān)系求出，即可求出的值.【詳解】如圖所示過做三角形三邊的垂線，垂足分別為，過分別做，的平行線，由題知，則外接圓半徑，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，由題可知，所以，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外心的性質(zhì)，正弦定理，平面向量分解定理，屬于一般題.7A【解析】所求的分母特征，利用變形構(gòu)造，再等價(jià)變形，利用基本不等式求最值.【詳解】解：因?yàn)闈M足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：【點(diǎn)睛】本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(1)拼

10、湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.8D【解析】利用線面平行和垂直，面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對四個(gè)命題分別分析進(jìn)行選擇【詳解】當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；由平面與平面垂直的判定可知正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面，故錯(cuò)誤；若兩個(gè)平面垂直，只有在一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個(gè)平面垂直，故正確綜上，真命題是.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)

11、系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，是中檔題9D【解析】設(shè)，去絕對值，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿足，設(shè)，恒成立，故則的最小值等于.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平10D【解析】首先對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值，根據(jù)題意，列出參數(shù)所滿足的不等關(guān)系，求得結(jié)果.【詳解】，令，得，其單調(diào)性及極值情況如下：x0+0_0+極大值極小值若存在，使得，則（如圖1）或（如圖2）（圖1）（圖2）于是可得，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問題，涉及

12、到的知識(shí)點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，畫出圖象數(shù)形結(jié)合，屬于較難題目.11B【解析】把和 代入再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡，利用虛部為0求得m值【詳解】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，解得.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念，考查運(yùn)算求解能力.12B【解析】根據(jù)題意可得，利用向量的數(shù)量積即可求解夾角.【詳解】因?yàn)榧炊詩A角為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積求夾角，需掌握向量數(shù)量積的定義求法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。1370【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：第5項(xiàng)為故第5項(xiàng)的的系數(shù)為故答案為：70.【點(diǎn)睛】本題考查的是二項(xiàng)式定理，屬基礎(chǔ)題。

13、14130. 15. 【解析】由題意可得顧客需要支付的費(fèi)用，然后分類討論，將原問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題可得的最大值.【詳解】(1),顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價(jià)為元,元時(shí),李明得到的金額為,符合要求.元時(shí),有恒成立,即,即元.所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力,以實(shí)際生活為背景，創(chuàng)設(shè)問題情境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).15【解析】在不等式兩邊同時(shí)取對數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)f（x），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論【詳解】不等式兩邊同時(shí)取對數(shù)得，即x2lnx1x

14、1lnx2，又即成立，設(shè)f（x），x（0，m），x1x2，f（x1）f（x2），則函數(shù)f（x）在（0，m）上為增函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由f（x）0得1lnx0得lnx1，得0 xe，即函數(shù)f（x）的最大增區(qū)間為（0，e），則m的最大值為e故答案為：e【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的應(yīng)用，根據(jù)條件利用取對數(shù)得到不等式,從而可構(gòu)造新函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵16【解析】設(shè)，判斷 為偶函數(shù)，考慮x0時(shí)，的解析式和零點(diǎn)個(gè)數(shù), 利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,作函數(shù)大致圖象，即可得到的范圍.【詳解】設(shè)，則在是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由得，記，故函數(shù)在增，而，所以在減，在增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此的圖象為因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.【

15、點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，涉及構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法，以及化簡運(yùn)算能力和推理能力，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（）詳見解析；（）1.【解析】（）令，；則易得，即可證明；（），分， ， 當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可【詳解】解：（ ）令，；則令，易得在遞減，在遞增， ，在恒成立 在遞減，在遞增 ；（ ） 點(diǎn)，點(diǎn)， ， 當(dāng)時(shí)，可知， ， 在單調(diào)遞增， 在上有一個(gè)零點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)， ，在恒成立， 在無零點(diǎn) 當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞減， 在存在一個(gè)零點(diǎn)綜上，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)

16、問題，考查了分類討論思想，屬于壓軸題18（1）見解析；（2）【解析】（1）記，連結(jié)，推導(dǎo)出，平面，由此能證明平面平面；（2）推導(dǎo)出，平面，連結(jié)，由題意得為的重心，從而平面平面，進(jìn)而是與平面所成角，由此能求出與平面所成角的正弦值【詳解】（1）證明：記，連結(jié)，中，平面，平面，平面平面（2）中，平面，連結(jié)，由題意得為的重心，平面平面平面，在平面的射影落在上，是與平面所成角，中，與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題19（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)（2）【解析】（1）將代

17、入，可得，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為由可得，將，代入上式，可得，整理可得，所以曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)（2）由題可設(shè)，所以，所以，因?yàn)椋?，所以?dāng)，即時(shí)，l取得最大值為，所以的周長的最大值為20【解析】先令，根據(jù)題中條件得到，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程的兩根都大于2，令所以有，解得，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的分布問題，熟記二次函數(shù)的特征即可，屬于?？碱}型.21（1）是函數(shù)的極大值點(diǎn)，理由詳見解析；（2）1.【解析】（1）將直接代入，對求導(dǎo)得，由于函數(shù)單調(diào)性不好判斷，故而構(gòu)造函數(shù)，繼續(xù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)在左右兩邊的正負(fù)情況，最后得出，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；（2）利用題目已有條件得，再證明時(shí)，不等式 恒成立，即證，從而可知整數(shù)的最小值為1.【詳解】解:（1）當(dāng)時(shí)，.令，則當(dāng)時(shí)，.即在內(nèi)為減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù).綜上，是函數(shù)的極大值點(diǎn). （2）由題意，得，即.現(xiàn)證明當(dāng)時(shí)，不等式成立，即.即證令則當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減， 的最大值為.當(dāng)時(shí)，.即當(dāng)時(shí)，不等式成立.綜上，整數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的極值，最值，判斷函數(shù)的單調(diào)性，由此來求解函數(shù)中的參數(shù)的取值范圍，對學(xué)生要求較高，然后需要學(xué)生能構(gòu)造新函數(shù)處理恒成立問題，為難題22（