高中數學三角函數知識點與試題總結

1、高考三角函數特殊角的三角函數值：sin00=0sin300=1sin450=2sin600=3sin900=120032200coscos300=1cos9=0=12cos600=tan00=02cos450=2tan900無意義2tan300=3tan450=1tan600=332角度制與弧度制的互化：360020,18000300450600900120013501500180027003600023532643234623.弧長及扇形面積公式弧長公式：l.r扇形面積公式:S=1l.r2-是圓心角且為弧度制。r-是扇形半徑4.任意角的三角函數設是一個任意角，它的終邊上一點p（x,y）,r=

2、x2y2y(1)正弦sin=r余弦cos=x正切tan=yrx(2)各象限的符號：yyy+Ox+x2Ocossin+O+sincostan5.同角三角函數的基本關系：1）平方關系：sin2+cos2=1。（2）商數關系：sin=tancos（k,kz）26.誘導公式：記憶口訣：把k的三角函數化為的三角函數，概括為：奇變偶不變，符號2看象限。1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank2sinsin，coscos，tantan3sinsin，coscos，tantan4sinsin，coscos，tantan口訣：函數名稱不變，符號看象限5sincos，cossin226sincos

3、，cossin22口訣：正弦與余弦互換，符號看象限正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質8、三角函數公式：倍角公式兩角和與差的三角函數關系sin2=2sincossin()=sincoscossincos2=cos2-sin2cos()=coscossinsin=2cos2-1tan(tantan=1-2sin2)1tantantan22tan1tan2降冪公式：1+cos=2cos221-cos=2sin229正弦定理：abcsinAsinB2R.sinC余弦定理：a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.升冪公式：21cos2cos2sin21c

4、os22三角形面積定理.S1absinC1bcsinA1casinB.2221直角三角形中各元素間的關系：如圖，在ABC中，C90，ABc，ACb，BCa。2222）銳角之間的關系：AB90；3）邊角之間的關系：（銳角三角函數定義）sinAcosBa，cosAsinBb，tanAa。ccb2斜三角形中各元素間的關系：在ABC中，A、B、C為其內角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。1）三角形內角和：ABC。2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等abc2R。sinAsinBsinCR為外接圓半徑）3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余

5、弦的積的兩倍2222bccosA2222222abcosC。abc；bca2cacosB；cab3三角形的面積公式：（1）1aha1bhb1chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；2222）1absinC1bcsinA1acsinB；222222（3）asinBsinCbsinCsinAcsinAsinB；2sin(BC)2sin(CA)2sin(AB)4）2R2sinAsinBsinC。（R為外接圓半徑）5）abc；4R（6）s(sa)(sb)(sc)；s1(abc)；2（7）rs。4解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內角）中的三個元素（其中至少有一個是邊）求其他未知元

6、素的問題叫做解三角形廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內切圓半徑、外接圓半徑、面積等等解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形解斜三角形的主要依據是：設ABC的三邊為a、b、c，對應的三個角為A、B、C。1）角與角關系：A+B+C=；2）邊與邊關系：a+bc，b+ca，c+ab，abc，bcb；3）邊與角關系：正弦定理abcR（R為外接圓半徑）；sinAsinB2sinC余弦定理c2=a2+b22bccosC，b2=a2+c22accosB，a2=b2+c22bccosA；它們的

7、變形形式有：a=2RsinA，sinAa，cosAb2c2a2。sinBb2bc5三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。（1）角的變換因為在ABC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。sinABcosC,cosABsinC；2222（2）三角形邊、角關系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。r為三角形內切圓半徑，p為周長之半。（3）在ABC中，熟記并會證明：A，B，C成等差數列的充分必要條件是B=60；ABC是正三角形的充分必要條件是A，B，C成等差數列且a，b，c成等

8、比數列。四【典例解析】題型1：正、余弦定理（2009XX一中第四次月考）.已知ABC中，ABa，ACb，ab0，SABC15，4a3,b5，則BAC（）A.30B150C1500D30或1500答案C例1（1）在ABC中，已知00A32.0，B81.8，解三角形；a42.9cm（2）在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精確到10，邊長精確到1cm）。例2（1）在ABC中，已知a23，c62，B600，求b及；A2）在ABC中，已知a134.6cm，b87.8cm，c161.7cm，解三角形解析：（1）b2a2c22accosB=(23)2(62)2223(62)co

9、s450=12(62)243(31)=8b22.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cosb2c2a2(22)2(62)2(23)210A2bc222(62)2,A60.（2）由余弦定理的推論得：cosAb2c2a287.82161.72134.620.5543,2bc287.8161.7A56020；cosBc2a2b2134.62161.7287.820.8398,2ca2134.6161.7B32053；C1800(AB)1800(5602032053)90047.例3在ABC中，sinAcosA2，AC2，AB3，求tanA的值和ABC2的面積。sinAcosA2cos(

10、A45)2,2cos(A45)1.2又0A180,A4560,A105.tanAtan(4560)1323,13sinAsin105sin(4560)sin45cos60cos45sin6026.4SABC1ACABsinA123263(26)。224442009XX卷文）在銳角ABC中，BC1,B2A,則AC的值等于，例（cosAAC的取值X圍為.答案2(2,3)解析設A,B2.由正弦定理得ACBC,AC1AC2.sin2sin2coscos由銳角ABC得0290045，又01803903060，故304523cos，22AC2cos(2,3).例（2009XX理）（本題滿分14分）在ABC

11、中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，5且滿足cosA25AC32，AB5（I）求ABC的面積；（II）若bc6，求a的值解（1）因為cosA25，cosA2cos2A13,sinA4，又由ABAC325255得bccosA3,bc5，SABC1bcsinA22（2）對于bc5，又bc6，b5,c1或b1,c5，由余弦定理得a2b2c22bccosA20，a25例6（2009全國卷理）在ABC中，內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2c22b，且sinAcosC3cosAsinC,求b解法一：在ABC中sinAcosC3cosAsinC,則由正弦定理及余弦定理有:aa2b2c23

12、b2c2a2c,化簡并整理得：2(a2c2)b2.又由已知2ab2bca2c22b4bb2.解得b4或b0(舍）.例7ABC的三個內角為A、B、C，求當A為何值時，cosA2cosBC取得最2大值，并求出這個最大值。解析：由A+B+C=，得B+CAB+C=sinA。2=22，所以有cos22B+CA2AAA123cosA+2cos2=cosA+2sin2=12sin2+2sin2=2(sin22)+2；當sinA=1，即A=B+C取得最大值為3。322時,cosA+2cos22例8（2009XX文）（本題滿分14分）在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且滿足cosA25，ABAC

13、325（I）求ABC的面積；（II）若c1，求a的值解（）cosA2cos2A12(25)213255又A(0,)，sinA1cos2A4，而AB.ACAB.AC.cosA3bc3，所55以bc5，所以ABC的面積為：1bcsinA1542225（）由（）知bc5，而c1，所以b5所以2c22bccosA2512325ab例9在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊長，已知a、b、c成等比數22bsinB的值。列，且ac=acbc，求A的大小及ca、b、c成等比數列，b2=ac。又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc。在ABC中，由余弦定理得：cosA=b2c2a2=bc=1，A=60

14、。2bc2bc2在ABC中，由正弦定理得sinB=bsinA，b2=ac，A=60，absinBb2sin60=sin60=3。cac2例10在ABC中，已知A、B、C成等差數列，求tanAtanC3tanAtanC2222的值。解析：因為A、B、C成等差數列，又ABC180，所以AC120，從而AC60，故tanA2C3.由兩角和的正切公式，2tanAtanC得223。tanAtanC22所以tanAtanC33tanAtanC,2222tanAtanC3tanAtanC3。2222例11在ABC中，若2cosBsinAsinC，則ABC的形狀一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等

15、腰三角形D.等邊三角形答案：C解析：2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又2sinAcosBsinC，sin（AB）0，AB12（2009XX卷文）在ABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且sinA5,sinB10510（I）求AB的值；（II）若ab21，求a、b、c的值。解（I）A、B為銳角，sinA5,sinB10510cosA1sin2A25,cosB1sin2B310510cos(AB)cosAcosB253105102sinAsinB10510.520ABAB4（II）由（I）知C32，sinC42由abcsinAsinB得sinC5a10b2c，

16、即a2b,c5b又ab212bb21b1a2,c521.（2009XX卷文）在ABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且sinA5,sinB10510I）求AB的值；II）若ab21，求a、b、c的值。解（I）A、B為銳角，sinA5,sinB10510cosA1sin2A25,cosB1sin2B310510cos(AB)cosAcosB253105102sinAsinB10510.520ABAB4（II）由（I）知C3，sinC224由abcsinB得sinAsinC5a10b2c，即a2b,c5b又ab212bb21b1a2,c5五【思維總結】1解斜三角形的常規(guī)思維

17、方法是：（1）已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C=求C，由正弦定理求a、b；（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應用余弦定理求c邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C=，求另一角；（3）已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應用正弦定理求B，由A+B+C=求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況；（4）已知三邊a、b、c，應余弦定理求A、B，再由A+B+C=，求角C。2三角形內切圓的半徑：r2S，特別地，r直abc斜；ab2c3三角學中的射影定理：在ABC中，bacosCccosA，4兩內角與其正弦值：在ABC中，ABsinAsinB，5解三

18、角形問題可能出現一解、兩解或無解的情況，這時應結合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”1如果函數的圖像關于點中心對稱，那么的最小值為（）（A）（B）（C）(D)2、右圖所示的是函數圖象的一部分，則其函數解析式是ABC3、已知函數的最小正周期為，則該函數圖象A關于直線對稱B關于點(，0)對稱C關于點(，0)對稱D關于直線對稱4、由函數的圖象A向左平移個單位B向左平移個單位C向右平移個單位D向右平移個單位5、若是函數圖象的一條對稱軸，當取最小正數時AC在在單調遞增單調遞減BD在在單調遞減單調遞增6、函數（）的最小正周期是，若其圖像向左平移個單位后得到的函數為奇函數，則的值為（）ABCD7

19、、（2012年高考（新課標理）已知,函數在上單調遞減.則的取值X圍是（）ABCD8、（2012年高考（XX文）函數的圖像的一條對稱軸是（）ABCD9、下列命題中的真命題是A函數內單調遞增B函數的最小正周期為2C函數的圖象是關于點（，0）成中心對稱的圖形D函數的圖象是關于直線x=成軸對稱的圖形10、已知，則等于ABC5D2511、已知正六邊形ABCDEF的邊長為1，則的值為ABCD12、已知平面向量，與垂直，則是（）A.1B.2C.2D.113、設，O為坐標原點，若A、B、C三點共線，則的最小值是A2B4C6D814、設POQ=60在OP、OQ上分別有動點A，B，若=6，OAB的重心是G，則|的

20、最小值是()A.1B2C3D415、若是夾角為的單位向量，且，則A.1B.4C.D.16、已知圓O的半徑為，圓周上兩點A、B與原點O恰構成三角形，則向量的數量積是ABCD17、如圖，已知點O是邊長為1的等邊ABC的中心，則（）（）等于（）ABCD18、（2012年高考（大綱文）若函數是偶函數,則（）ABCD19、若0，且0，則有在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D第四象限20、函數y=cosx(ox，且x)的圖象為21、在中，內角A、B、C的對邊長分別為、，已知，且b.22、已知函數（）求函數的單調遞增區(qū)間；（）已知求的面積中，角所對的邊長分別為，若，23、已知向量（I）若,求的值;（II）記，在，求函數中，角的對邊分別是的取值X圍。，且滿足24、設=3，計算：（1）；（2）。25、已知向量，（1）當時，求的值；（2）求在上的值域.26、已知函數f(x)=（）求函數（）若函數f(x)f(x)的最小正周期及單調增區(qū)間；的圖像向右平移m(m0)個單位后，得到的圖像關于原點對稱，XX數m的最小值.27、已知函數