湖北省省2021-2022學(xué)年高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回2答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置3請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符4作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

2、要求的。1設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)，使（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD2已知等差數(shù)列中，若，則此數(shù)列中一定為0的是（ ）ABCD3已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（設(shè)點(diǎn)位于第一象限），過點(diǎn)，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，若，則直線的斜率為A1BCD4已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，則（ ）A1B-1C2D-25已知函數(shù)，若對任意，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD6已知定點(diǎn)都在平面內(nèi)，定點(diǎn)是內(nèi)異于的動點(diǎn)，且，那么動點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是（ ）A圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)B橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)C雙曲線

3、，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)D拋物線，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)7復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則等于（ ）A3BC2D8定義，已知函數(shù)，則函數(shù)的最小值為（ ）ABCD9正的邊長為2，將它沿邊上的高翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，此時(shí)四面體的外接球表面積為（ ）ABCD10若點(diǎn)(2，k)到直線5x-12y+6=0的距離是4，則k的值是( )A1B-3C1或D-3或11記單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）ABCD12阿基米德（公元前287年公元前212年）是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)學(xué)家.據(jù)說，他自己覺得最為滿意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且球的表

4、面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個(gè)結(jié)論，要求后人在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱容器里放了一個(gè)球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊，表面積為的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則該球的體積為 （ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在中，角，的對邊長分別為，滿足，則的面積為_14已知多項(xiàng)式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，則a4_，a5_15的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知，則_.16復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）的虛部為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其短半軸長

5、為1，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，且（1）證明：直線與圓相切；（2）設(shè)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求的長18（12分）已知點(diǎn)，且，滿足條件的點(diǎn)的軌跡為曲線（1）求曲線的方程；（2）是否存在過點(diǎn)的直線，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，直線與軸分別交于兩點(diǎn)，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由19（12分）已知函數(shù)f(x)xlnx，g(x)x2ax.（1）求函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1(t0)上的最小值m(t)；（2）令h(x)g(x)f(x)，A(x1，h(x1)，B(x2，h(x2)(x1x2)是函數(shù)h(x)圖像上任意兩點(diǎn)，且滿足1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若x(0,

6、1，使f(x)成立，求實(shí)數(shù)a的最大值20（12分）如圖所示，四棱錐PABCD中，PC底面ABCD，PCCD2，E為AB的中點(diǎn)，底面四邊形ABCD滿足ADCDCB90，AD1，BC1（）求證：平面PDE平面PAC；（）求直線PC與平面PDE所成角的正弦值；（）求二面角DPEB的余弦值21（12分）在平面四邊形(圖)中，與均為直角三角形且有公共斜邊，設(shè)，將沿折起，構(gòu)成如圖所示的三棱錐，且使=. （1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.22（10分）設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

7、是符合題目要求的。1D【解析】利用向量運(yùn)算可得，即，由為的中位線，得到，所以，再根據(jù)雙曲線定義即可求得離心率.【詳解】取的中點(diǎn)，則由得，即；在中，為的中位線，所以，所以；由雙曲線定義知，且，所以，解得，故選：D【點(diǎn)睛】本題綜合考查向量運(yùn)算與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，難度一般.2A【解析】將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此確定數(shù)列為的項(xiàng).【詳解】由于等差數(shù)列中，所以，化簡得，所以為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.3C【解析】根據(jù)拋物線定義，可得，又，所以，所以，設(shè)，則，則，所以，所以直線的斜率故選C4B【解析】根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，并且f（x+1）=f（1-x），便可推

8、出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期為4，而由x0，1時(shí)，f（x）=2x-m及f（x）是奇函數(shù)，即可得出f（0）=1-m=0，從而求得m=1，這樣便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1【詳解】是定義在R上的奇函數(shù)，且；的周期為4；時(shí)，；由奇函數(shù)性質(zhì)可得；時(shí)，；.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求值，此類問題一般根據(jù)條件先推導(dǎo)出周期，利用函數(shù)的周期變換來求解，考查理解能力和計(jì)算能力，屬于中等題.5C【解析】將函數(shù)解析式化簡，并求得，根據(jù)當(dāng)時(shí)可得的值域；由函數(shù)在上單調(diào)遞減可得的值域，結(jié)合存在性成立問題滿足的集合關(guān)系，即可求得的取值范圍.【詳解】依題意，則，當(dāng)時(shí)

9、，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；而函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，則只需，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，恒成立與存在性成立問題的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.6A【解析】根據(jù)題意可得,即知C在以AB為直徑的圓上.【詳解】,，,又，,平面,又平面，故在以為直徑的圓上，又是內(nèi)異于的動點(diǎn)，所以的軌跡是圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)A,B故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直、線線垂直的判定，圓的性質(zhì)，軌跡問題，屬于中檔題.7D【解析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，從而求得，然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求解.【詳解】，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題，涉及到的

10、知識點(diǎn)有復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題目.8A【解析】根據(jù)分段函數(shù)的定義得，則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式，可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得，則,(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“”成立.此時(shí),，的最小值為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求分段函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出，再由基本不等式求得最值，屬于中檔題.9D【解析】如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為，的外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，連接，利用正弦定理可得，利用球心的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，最后利用勾股定理可求外接球的半徑，從而可得外接球的表面積.【詳解】如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為，外接圓的圓心為，

11、四面體的外接球的球心為，連接，則平面，.因?yàn)?，故，因?yàn)?，?由正弦定理可得，故，又因?yàn)?，?因?yàn)?，故平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，故，故，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，故外接球的半徑為，外接球的表面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面圖形的折疊以及三棱錐外接球表面積的計(jì)算，還考查正弦定理和余弦定理，折疊問題注意翻折前后的變量與不變量，外接球問題注意先確定外接球的球心的位置，然后把半徑放置在可解的直角三角形中來計(jì)算，本題有一定的難度.10D【解析】由題得，解方程即得k的值.【詳解】由題得，解方程即得k=-3或.故答案為：D【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，意在考查學(xué)生對該知識的掌

12、握水平和計(jì)算推理能力.(2) 點(diǎn)到直線的距離.11C【解析】先利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到的值，再根據(jù)的方程組可得的值，從而得到數(shù)列的公比，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)和前項(xiàng)和，根據(jù)后兩個(gè)公式可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，故即，由可得或，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，故符合.此時(shí)，所以或（舍，因?yàn)闉檫f增數(shù)列）.故，.故選C.【點(diǎn)睛】一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）公比時(shí)，則有，其中為常數(shù)且；（3） 為等比數(shù)列（ ）且公比為.12C【解析】設(shè)球的半徑為R，根據(jù)組合體的關(guān)系，圓柱的表面積為，解得球的半徑，再代入球的體積公式求解.【詳解】設(shè)球的半徑為R，根據(jù)題意圓柱的表面積為，解

13、得，所以該球的體積為 .故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體的表面積和體積，還考查了對數(shù)學(xué)史了解，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由二次方程有解的條件，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域可求，進(jìn)而可求，然后結(jié)合余弦定理可求，代入，計(jì)算可得所求【詳解】解：把看成關(guān)于的二次方程，則，即，即為，化為，而，則，由于，可得，可得，即，代入方程可得，由余弦定理可得，解得：（負(fù)的舍去），故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的根的存在條件及輔助角公式及余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題1416 4 【解析】只需令x0，易得a5，再由(x1)3(x2)2(x1)5

14、2(x1)4(x1)3，可得a42.【詳解】令x0，得a5(01)3(02)24，而(x1)3(x2)2(x1)3(x1)22(x1)1(x1)52(x1)4(x1)3；則a4258316.故答案為：16,4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式展開中的特定項(xiàng)的求解，可以用賦值法也可以用二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式求解，屬于中檔題.15【解析】利用正弦定理邊化角可得，從而可得，進(jìn)而求解.【詳解】由，由正弦定理可得，即，整理可得，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.161【解析】試題分析：，即虛部為1，故填：1.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算三、解答題：

15、共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）見解析； （2）.【解析】（1）分斜率為0，斜率不存在，斜率不為0三種情況討論，設(shè)的方程為，可求解得到，可得到的距離為1，即得證；（2）表示的面積為，利用均值不等式，即得解.【詳解】（1）由題意，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且，所以所以橢圓的方程為由點(diǎn)在直線上，且知的斜率必定存在，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，于是，到的距離為1，直線與圓相切當(dāng)?shù)男甭什粸?時(shí)，設(shè)的方程為，與聯(lián)立得，所以，從而而，故的方程為，而在上，故，從而，于是此時(shí)，到的距離為1，直線與圓相切綜上，直線與圓相切（2）由（1）知，的面積為，上式中，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，所以面積的最小值為1此時(shí)，

16、點(diǎn)在橢圓的長軸端點(diǎn)，為不妨設(shè)為長軸左端點(diǎn)，則直線的方程為，代入橢圓的方程解得，即，所以【點(diǎn)睛】本題考查了直線和橢圓綜合，考查了直線和圓的位置關(guān)系判斷，面積的最值問題，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于較難題.18（1）（2）存在， 或【解析】（1）由得看成到兩定點(diǎn)的和為定值，滿足橢圓定義，用定義可解曲線的方程.（2）先討論斜率不存在情況是否符合題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線點(diǎn)斜式方程，由，可得，再直線與橢圓聯(lián)解，利用根的判別式得到關(guān)于的一元二次方程求解.【詳解】解：設(shè)，由， ，可得，即為，由，可得的軌跡是以為焦點(diǎn)，且的橢圓，由，可得，可得曲線的方程為；假設(shè)存在過點(diǎn)的直線l符合題意當(dāng)直線的

17、斜率不存在，設(shè)方程為，可得為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，不成立；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，由，可得，即，可得，化為，由可得，由在橢圓內(nèi)，可得直線與橢圓相交，則化為，即為，解得，所以存在直線符合題意，且方程為或【點(diǎn)睛】本題考查求軌跡方程及直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題. （1）定義法求軌跡方程的思路:應(yīng)用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動點(diǎn)的等量關(guān)系式，由等量關(guān)系結(jié)合曲線定義判斷是何種曲線，再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求解；（2）解決是否存在直線的問題時(shí)，可依據(jù)條件尋找適合條件的直線方程，聯(lián)立方程消元得出一元二次方程，利用判別式得出是否有解.19（1）m(t)（2）a22.（3）a22.【解析】

18、（1）是研究在動區(qū)間上的最值問題，這類問題的研究方法就是通過討論函數(shù)的極值點(diǎn)與所研究的區(qū)間的大小關(guān)系來進(jìn)行求解（2）注意到函數(shù)h(x)的圖像上任意不同兩點(diǎn)A，B連線的斜率總大于1，等價(jià)于h(x1)h(x2)x1x2(x1x2)恒成立，從而構(gòu)造函數(shù)F(x)h(x)x在(0，)上單調(diào)遞增，進(jìn)而等價(jià)于F(x)0在(0，)上恒成立來加以研究（3）用處理恒成立問題來處理有解問題，先分離變量轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)函數(shù)的最值，得到a，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)M(x)的最大值，這要用到二次求導(dǎo)，才可確定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)最值【詳解】（1） f(x)1，x0，令f(x)0，則x1.當(dāng)t1時(shí)，f(x)在t，t1上單調(diào)遞增，f

19、(x)的最小值為f(t)tlnt；當(dāng)0t1時(shí)，f(x)在區(qū)間(t,1)上為減函數(shù)，在區(qū)間(1，t1)上為增函數(shù)，f(x)的最小值為f(1)1.綜上，m(t)（2）h(x)x2(a1)xlnx，不妨取0 x1x2，則x1x20，則由，可得h(x1)h(x2)x1x2，變形得h(x1)x1h(x2)x2恒成立令F(x)h(x)xx2(a2)xlnx，x0，則F(x)x2(a2)xlnx在(0，)上單調(diào)遞增，故F(x)2x(a2)0在(0，)上恒成立，所以2xa2在(0，)上恒成立因?yàn)?x2，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取“”，所以a22.（3）因?yàn)閒(x)，所以a(x1)2x2xlnx.因?yàn)閤(0,1，則x1(1

20、,2，所以x(0,1，使得a成立令M(x)，則M(x).令y2x23xlnx1，則由y0 可得x或x1(舍)當(dāng)x時(shí)，y0，則函數(shù)y2x23xlnx1在上單調(diào)遞減；當(dāng)x時(shí)，y0，則函數(shù)y2x23xlnx1在上單調(diào)遞增所以yln40，所以M(x)0在x(0,1時(shí)恒成立，所以M(x)在(0,1上單調(diào)遞增所以只需aM(1)，即a1.所以實(shí)數(shù)a的最大值為1.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于難題.20（）證明見解析（）（）【解析】（）由題知，如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算，證明，從而平面PAC，即可得證；（）求解平面PDE的一

21、個(gè)法向量，計(jì)算，即可得直線PC與平面PDE所成角的正弦值；（）求解平面PBE的一個(gè)法向量，計(jì)算，即可得二面角DPEB的余弦值【詳解】（）PC底面ABCD， 如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，又，平面PAC，平面PDE，平面PDE平面PAC；（）設(shè)為平面PDE的一個(gè)法向量，又，則，取，得，直線PC與平面PDE所成角的正弦值；（）設(shè)為平面PBE的一個(gè)法向量，又則，取，得，二面角DPEB的余弦值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面與平面的垂直，直線與平面所成角的計(jì)算，二面角大小的求解，考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，考查了學(xué)生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力.21（1）證明見解析；（2）【解析】（1）取AB的中點(diǎn)O，連接，證得，從而證得CO平面ABD