初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)：代數(shù)式、恒等式、恒等變形

1、初中數(shù)學(xué)競賽：代數(shù)式、恒等式、恒等變形1某商店經(jīng)銷一批襯衣，進價為每件m元，零售價比進價高a%，后因市場的變化，該店把零售價調(diào)整為原來零售價的b%出售，那么調(diào)價后每件襯衣的零售價是（C）Am（1+a%）（1b%）元Bma%（1b%）元Cm（1+a%）b%元Dm（1+a%b%）元解答：解：根據(jù)題意，這批襯衣的零售價為每件m（1+a%）元，因調(diào)整后的零售價為原零售價的b%，所以調(diào)價后每件襯衣的零售價為m（1+a%）b%元點評：考查列代數(shù)式，得到調(diào)價后的價格的等量關(guān)系是進價本題的關(guān)鍵2如果a、b、c是非零實數(shù)，且a+b+c=0，那么的所有可能的值為（A）A0B1或1C2或2D0或2解答：解：由已知可

2、得：a，b，c為兩正一負或兩負一正當a，b，c為兩正一負時：；當a，b，c為兩負一正時：由知所有可能的值為0點評：本題考查了分式的化簡求值，涉及到絕對值、非零實數(shù)的性質(zhì)等知識點，注意分情況討論未知數(shù)的取值，不要漏解3在ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若B=60，則的值為（C）ABC1D解答：解：過A點作ADBC于D，在RtBDA中，由于B=60，DB=，AD=，在RtADC中，DC2=AC2AD2，（a）2=b2C2，即a2+c2=b2+ac，點評：本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理的內(nèi)容在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方注意作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的好方法4

3、設(shè)ab0，a2+b2=4ab，則的值為（A）ABC2D3解答：解：a2+b2=4ab，a2+b2+2ab=（a+b）2=6ab a2+b22ab=（ab）2=2ab，得= ab0，ab0，a+b0，ab0，=3，=點評：本題考查了完全平方公式及代數(shù)式的求值，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵利用已知條件a2+b2=4ab與完全平方公式（ab）2=a22ab+b2的聯(lián)系找到與所求比值的關(guān)系5已知a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，則多項式a2+b2+c2abbcca的值為（D）A0B1C2D3解答：解：a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2

4、005，ab=1，bc=1，ac=2，a2+b2+c2abbcca=（2a2+2b2+2c22ab2bc2ca），=（a22ab+b2）+（b22bc+c2）+（a22ac+c2），=（ab）2+（bc）2+（ac）2，=（1+1+4），=3點評：本題主要考查公式法分解因式，達到簡化計算的目的，對多項式擴大2倍是利用完全平方公式的關(guān)鍵6設(shè)a、b、c為實數(shù)，則x、y、z中，至少有一個值（A）A大于0B等于0C不大于0D小于0解答：解：因x+y+z=（a1）2+（b1）2+（c1）2+30，則x、y、z中至少有一個大于0，點評：此題考查的知識點是完全平方公式，關(guān)鍵是把x、y、z相加，運用完全平方公

5、式得出x+y+z=（a1）2+（b1）2+（c1）2+307已知abc0，且a+b+c=0，則代數(shù)式的值是（A）A3B2C1D0解答：解：把a=（b+c），b=（a+c），c=（a+b）代入，原式=，=（）（）（），=，=點評：本題考查了分式的化簡求值，屬于基礎(chǔ)題，主要是由已知條件先變形后再代入化簡8若M=3x28xy+9y24x+6y+13（x，y是實數(shù)），則M的值一定是（C）A零B負數(shù)C正數(shù)D整數(shù)解答：解：M=3x28xy+9y24x+6y+13，=（x24x+4）+（y2+6y+9）+2（x24xy+4y2）=（x2）2+（y+3）2+2（x2y）20點評：本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，將

6、M的表達式根據(jù)完全平方公式的特點進行變形是解答本題的關(guān)鍵9某商品的標價比成本高p%，當該商品降價出售時，為了不虧本，降價幅度不得超過d%，若用p表示d，則d=解答：解：設(shè)成本價是1，則（1+p%）（1d%）=11d%=，d%=1d=點評：解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關(guān)系保證不虧本，即讓售價和成本價持平10已知1a0，化簡得解答：解：1a0，a+0，a0；=（a）（a+）=點評：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a+，a的符號11已知實數(shù)z、y、z滿足x+y=5及z2=xy+y9，則x+2y+3z=8解答：解：x+y=5，z2=xy+y9，（x+1）+y=6，（x+1）y=z2+9

7、，x+1，y是t26t+z2+9=0的兩個實根方程有實數(shù)解，=（6）24（z2+9）=4z20，4z20，z20，又z20，z=0解方程t26t+9=0，得x+1=3，y=3，x=2，y=3x+2y+3z=2+23+30=8點評：本題主要考查了一元二次方程的解法，根的判別式（=b24ac）與方程的根的對應(yīng)關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系，平方的非負性及代數(shù)式求值的方法，綜合性較強，有一定難度解題關(guān)鍵在于能夠通過觀察將兩個已知等式改寫，從而發(fā)現(xiàn)x+1，y是方程t26t+z2+9=0的兩個實根12已知x1、x2、x40都是正整數(shù)，且x1+x2+x40=58，若x12+x22+x402的最大值為A，最小值為B，

8、則A+B的值等于 494解答：解：因為把58寫成40個正整數(shù)的和的寫法只有有限種，故x12+x22+x402的最小值和最大值是存在的不妨設(shè)x1x2x40，若x11，則x1+x2=（x11）+（x2+1），且（x11）2+（x2+1）2=x12+x22+2（x2x1）+2x12+x22，所以，當x11時，可以把x1逐步調(diào)整到1，這時x12+x22+x402將增大；同樣地，可以把x2，x3，x39逐步調(diào)整到1，這時x12+x22+x402將增大于是，當x1，x2，x39均為1，x40=19時，x12+x22+x402取得最大值，即A=+192=400若存在兩個數(shù)xi，xj，使得xjxi2（1ij4

9、0），則（xi+1）2+（xj1）2=xi2+xj22（xjxi1）xi2+xj2，這說明在x1，x3，x39，x40中，如果有兩個數(shù)的差大于1，則把較小的數(shù)加1，較大的數(shù)減1，這時，x12+x22+x402將減小所以，當x12+x22+x402取到最小時，x1，x2，x40中任意兩個數(shù)的差都不大于1于是當x1=x2=x22=1，x23=x24=x40=2時，x12+x22+x402取得最小值，即，故A+B=494點評：本題考查的是整數(shù)問題的綜合運用，能根據(jù)完全平方公式得出其最大、最小值是解答此題的關(guān)鍵，此題難度較大13計算=解答：解：x4+4=（x2+2）2（2x）2=（x2+2x+2）（x

10、22x+2）=（x+1）2+1（x1）2+1，原式=點評：本題考查因式分解的應(yīng)用解決本題的關(guān)鍵是找到題目中蘊含的共性規(guī)律x4+4=（x2+2）2（2x）2=（x2+2x+2）（x22x+2）=（x+1）2+1（x1）2+114已知多項式ax3+bx247x15可被3x+1和2x3整除，則a+b=26解答：解：由已知可知，得，解得，a+b=24+2=26點評：本題考查的是多項式除以多項式，注意理解整除的含義，比如A被B整除，另外一層意思也就是說，B是A的公因式，使公因式B等于0的值，必是A的一個解15已知實數(shù)a、b、c、d互不相等，且，試求x的值解答：解：由已知有a+=x，； b+=x，；c+=

11、x，；d+=x，； 即dx3（ad+1）x2（2da）x+ad+1=0由得ad+1=ax，代入得（da）（x32x）=0由已知da0，x32x=0若x=0，則由可得a=c，矛盾故有x2=2，x=點評：此題主要考查了分式的等式變形，運用未知數(shù)簡介代換得出兩式相乘等于0的形式，是解決問題的關(guān)鍵16如果對一切x的整數(shù)值，x的二次三項式ax2+bx+c的值都是平方數(shù)（即整數(shù)的平方），證明：（1）2a，2b，c都是整數(shù)；（2）a，b，c都是整數(shù)，并且c是平方數(shù)；（3）反過來，如（2）成立，是否對一切x的整數(shù)值，x的二次三項式ax2+bx+c的值都是平方數(shù)？解答：證明：（1）對一切x的整數(shù)值，x的二次三項

12、式ax2+bx+c的值都是平方數(shù)，令x=0，a02+b0+c=c，c是整數(shù)且是平方數(shù)，令x=1，1時a12+b1+c，a（1）2+b（1）+c是平方數(shù)，可設(shè)a12+b1+c=m12a（1）2+b（1）+c=n12c=k12（m1n1k1均為整數(shù)），得：2b=m12n12，2b為整數(shù)（整數(shù)相減為依然為整數(shù)），由得：2a=2m122b2c，2a為整數(shù)，2a，2b，c都是整數(shù)；（2）（1）中已證c是整數(shù)且是平方數(shù)，令x=2，2時，可設(shè)a22+b2+c=m22a（2）2+b（2）+c=n22c=k12（m2n2k1均為整數(shù)），得：4b=m22n22=（m2+n2）（m2n2）=2（2b），2b為整數(shù)，

13、2（2b）為偶數(shù)，則m22n22為偶數(shù)，（m2+n2），（m2n2）同奇同偶，則可設(shè)（m2+n2）=2m，（m2n2）=2n（m，n均為整數(shù)），4b=2m2n=4mn，b=mn，b為整數(shù)；（3）令x=1，a=1，b=1，c=1，則ax2+bx+c=3，而3不是平方數(shù)不一定成立點評：本題考查完全平方數(shù)的知識，綜合性較強，難度較大，注意在解決多項式的系數(shù)的和、差以及其奇偶、整問題一般思路都是用特殊值法17若a=19952+1995219962+19962，求證：a是一完全平方數(shù)，并寫出a的值解答：解：設(shè)x=1995，則1996=x+1，所以a=19952+1995219962+19962=x2+x

14、2（x+1）2+（x+1）2=（x+1）22x（x+1）+x2+2x（x+1）+x2（x+1）2=（x+1x）2+2x（x+1）+x（x+1）2=1+2x（x+1）+x（x+1）2=1+x（x+1）2=（1+19951996）2=39820212故a是一完全平方數(shù)，a的值為39820212點評：本題考查了完全平方式，在計算中巧用換元法靈活應(yīng)用公式可化繁為簡，起到簡便計算的作用18設(shè)a、b、c、d是四個整數(shù)，且使得是一個非零整數(shù)，求證：|m|一定是個合數(shù)解答：解：要證明|m|是合數(shù)，只要能證出|m|=pq，pq均為大于1的正整數(shù)即可=因為m是非零整數(shù)，則是非零整數(shù)由于四個數(shù)a+b+cd，a+bc+d，ab+c+d，a+b+c+d的奇偶性相同，乘積應(yīng)被4整除，所以四個數(shù)均為偶數(shù)所以可設(shè)a+b+cd=2m1，a+bc+d=2m2，ab+c+d=2m3，a+b+c+d=2m4，其中m1，m2，m3，m4均為非零整數(shù)所以m=（2m1）（2m2）（2m3）（2m4）=4m1m2m3m4，所以|m|=4|m1m2m3m4|0，所以|m|是一個合數(shù)點評：本題考查的是質(zhì)數(shù)與合數(shù)的定義、因式分解、奇數(shù)與偶數(shù)的定義、絕對值的性質(zhì)，涉及面較廣，難度較大19若a2的十位數(shù)可取1、3、5、